数列题型与解题方法归纳总结
-
..
知识框架
数列
< br>
数列的分类
的概念
数列的通项公式
函
数角度理解
数列的递推关系
等差数列的定义
a<
/p>
n
a
n
1
d
(
n
2)
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
等差数列
等差数列的求和公式
S
n
(
a
n
(
n
1)
n
1
a
n
)
na
1
< br>
d
2
2
等差数列的性质
a
n
< br>
a
m
a
p
a
q
(
m
两个基
n
p
q
)
等比数列的定义
a
n
本数列
q
a
(
n
2)
n
1
n
1
等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
数列
等比数列
a
1
a
n
q
a
1
(1
q
n
)
(
等比数列的求和公式
S
1
< br>
q
1
q
q
1)
n
<
/p>
na
(
q
1)
1
等比数列的性质
a<
/p>
n
a
m
a
p
a
q
(
m
n
p
q
)
公式法
分组求和
错位相减求和
数列
裂项求和
求和
倒序相加求和
累加累积
归纳猜想证明
分期付款
数列的应用
< br>其他
掌握了数列的基本知识，
特别是等差、
等比数列的定义、
通项公式、
求和公式及性质，
掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，
就有可
.
下载可编辑
.
能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法
1
、求通项公式
（
1
）观察法。
（
2
）由递推公式求通项。
对
于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等
差数列或等比
数列问题。
(1)
递推式为
a
n+1
=a
n
+d
及
a
n+1
=qa
n
（
d
，
q
为常数）
例
1
、
已知
{a
n
}
满足
a
n+
1
=a
n
+2
，而且
a
1
=1
。求
a
n
。
例
1
、解
∵
a
n+1
-a
n
=2
为
常数
∴
{a
< br>n
}
是首项为
1
，公差为
2
的等差数列
∴
a
n
=1+2<
/p>
（
n-1
）
即
a
n
=2n
-1
例
2
、已知
{
a
1
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
，而
a
1
2
，求
a
n
=
？
（
2
）
递推式为
a<
/p>
n+1
=a
n
+
f
（
n
）
<
/p>
例
3
、已知
{<
/p>
a
n
}
中
a
1
1
2
，
a
1
n
1
a
n
4
n
2
1
，求
a
n
.
解：
由已知可知
a
1
n
1
a
n
<
/p>
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
1
2
(
1
< br>2
n
1
1
2
n
1
)
令
n=1
，
2
，…，
（
n-1
）
，
代入得（
n-1
）个等式累加，即（
a
2
-a
1
）<
/p>
+
（
a
3
-a
2
）
+
…
+
（
a
n
-a
n-1
）
..
a
a
1
1
4
n
< br>
3
n
1
2
(
1
2
n
1
)
4
n
2
★
说明
只要和
f
（
1
）
+f
（
2<
/p>
）
+
…
+f
（
n-1
）是可求的，就可以由
a
n+1
=a
n
+f
（
n
）以
n=1
，
2
，…，
（
n-1
）代入，可得
n-1
个等式累加而求
a
n
。
(3)
递推式为
a
n+1
=pa
n
+q
（
p
，
q
为常数）
例
4
、
{
a
n
}
中，
a<
/p>
1
1
，对于<
/p>
n
＞
1
（
n
∈
N
）有
a
n
3
a
n
1
< br>
2
，求
a
n
.
解法一：
由已知递推式得
a
n+1
=3
a
n
+2
，
a
n
=3a
n-1
+2
。
两式相减：
a
n+1
-a
n
=3
（
a
n
-a
n-1
）
因此数列
{a
n+1
-a
n<
/p>
}
是公比为
3
的
等比数列，其首项为
a
2
-a
1
=
（
3
×
1+2
）
-1=4
∴
a
·
3
n-1
∵
a
n-1
n-1
n+1
-a
n
=4
n+1
=3a
n
+2
∴
3a
n
+2-a
n
=4
·
3
即
a
n
=2
·
3
-1
解法二：
上法得
{a
n+1
-a
n
}
是公比为
3
的等比数列，
于是有：
a
< br>2
-a
1
=4
< br>，
a
3
-a
2
=4
·
3
，
a
2
n-2
4
-a
3
=4
·
3
，…，
a
n
-a
n-1
=4
< br>·
3
，
把
n-1
个
等
式
累
加
得
：
∴
an=2
·
3n-1-1
(4)
递推式为
a
n+1
=p
a
n
+q n
（
p
，
q
为常数）
b
n
1
b
n
2
3
(
b
b
< br>解
法
，
得
：
b
2
n
n
1
)
<
/p>
由
上
题
的
n
3
2
(
3
)
n
∴
a
b
n
1
n
2
n
3
(<
/p>
2
)
2
(
1
n
n
3
)
.
下载可编辑
.
(5)
递推式为
< br>a
n
2
pa
n
1
qa
n
思路：设
a
n
2
pa
n
1
qa<
/p>
n
,
可以变形为：
a
n
2
a
n
1
(
a
n
1
a
n
< br>)
，
想
于是
{a
n+1
-
< br>α
a
n
}
是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。
求
a
n
。
(6)
递推式为
S
n
与
a
n
的关系式
关系；
（
2
）试用
n
表示
a
n
。
∴
S
n
1
S
n
(
a
n
a
n
< br>1
)
(
1
2
n
2
1
2
n
1
)
∴
a
a
1
n
1
< br>a
n
n
1
2
n
1
∴
a
1
n
1
2
a
1
n
< br>2
n
上式两边同乘以
2
n+1
得
2
n+1
a
n
n
n+1
=2
a
n
+2
则
{2
a
n
}
是公差为
2<
/p>
的等差数列。
∴
2
n
a
n
=
2+
（
n-1
）
·
2=2n
.
下载可编辑
.
..
数列求和的常用方法：
1
、
拆项分组法
：即把每一项拆成几项，重新组合分
成几组，转化为特殊数
列求和。
2<
/p>
、
错项相减法
：适用于差比数列（如果<
/p>
a
n
等差，
b
n
等比，那么
a<
/p>
n
b
n
叫做差比数列）
即把每一项都乘以
b
n
的公比
q
，向后错一项，再对应同次
项相减，转化为等比数列求和。
3
< br>、
裂项相消法
：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵
消，只余有限几
项，可求和。
适用于数列
1
a
和
1
（其中
a
n
等差）
n
a
n
1
< br>
a
n
a
n
1
可
裂
项
为
：
1
a
a
1
(
< br>1
1
)
，
n
n
1
d
a
n
a
n
1
1
a
1
d
(
a
n
< br>1
a
n
)
n
a
n
1
等差数
列前
n
项和的最值问题
：
1
、若等差数列
a
n
的首项
a
1
0
，公差
d
0
，则前
n
项和
S
n
有最大值。
（ⅰ）
若已知通项
a
a
n
0
n
，则
S
n
最大
；
<
/p>
a
n
1
0
..
（ⅱ）若已知
S
pn
< br>2
qn
，则当
n
取最靠近
q
n
2
p
< br>的非零自然数时
S
n
最
大；
2
、若等差数列
a
n
的首项
a
1
0
，公差
d
0
，则前
n
项和<
/p>
S
n
有最小值
（ⅰ）若已知通项
a
a
n
0
n
，则
S
n
最小
a
；
n
<
/p>
1
0
（ⅱ）若
已知
S
2
q
n
pn
qn
，则当
n
取最靠近
2
p
的非零自然数时
S
n
最
小；
数列通项的求法：
⑴公
式法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵
已
知
S
n
（
即
a
< br>1
a
2
L
a
n
f
(
n
)
）
求
a
n
，
用
作
差
法
：
a
< br>S
n
S
1
,(
n
S
1)
。
n
n
1
,(
n
2)
f
(1),(
已
知
a
1
g
a<
/p>
g
L
g
a
a
n
1)
2
n
f
(
n
< br>)
求
n
，
用作商法：
a
n
< br>
f
(
n
)
f
(
n
1)
,(
n
2)
。<
/p>
⑶已知条件中既有
S
< br>n
还有
a
n
，有时先求
S
n
，再求
a
n
；有时也可直接求
a
n
。
⑷
若
a
n
1
a
n
f
(
n
< br>)
求
a
n
用
累
加
法
：
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
< br>
1
a
n
2
)
L
(
a
2
a
1
)
a
1
(
n
< br>2)
。
⑸已知
a
n
1
f
(
n
)
求
a
a
n<
/p>
a
1
a
2
a
n
，
用累乘法
：
a
n
n
L
a
< br>1
(
n
2)
。
n
a
n
1
a<
/p>
n
2
a
1
⑹已知递推关系求
a
n
，
用构造法
（构造等差、等比数列
）
。
.
下载可编辑
.
特别地
，
（
1
）形如
a
b
、
a
n
n
ka
n
1
n
ka
n<
/p>
1
b
（
k
,
b
为常数）的递
推数列都可以用待定系数法转化为公比为
k
的
等比数列
后，再求
a
n
；
形
如
a
n
n
n
ka
n
1
k
的
递推数列都可以除以
k
得到一个等差数列后，再求
a
n
。
< br>（
2
）形如
a
< br>1
n
a
n
ka
b
的递推数列都可以用倒数法求通项。
n
1
（
3
）形如
a
k
n
1
a
n
的递推数列都可以用对数法求通项。
<
/p>
（
7
）
（理科）
数学归纳法
。
（
8
）当遇到
a
n
1
a
n
1
<
/p>
d
或
a
n
1
a
q
时，
分奇数项偶数项讨论
，
结果可
n
1
能是分段形式
。
数列求和的常用方法：
（
1
）公式法
：①等差数列求和公式；②等比数列求
和公式。
（
2
）
分组求和法
：
在直接运用公式法求
和有困难时，
常将
“和式”
中
“同类项”
先合并在一起，再运用公式法求和。
（
3
）
倒序相
加法
：
若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项
与
组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是
等差数列前
n
和公式的推导方法）
.
（
4
）
错位相减法
：
如果数列的通项是由一个等差数列的通项
与一个等比数列的
通项相乘构成，
那么常选用错位相减法
（这也是等比数列前
n
和公式的推导方
法）
.
（
5
）
裂项相消法
：如果数列的通项可“分裂成两
项差”的形式，且相邻项分裂
后相关联，那么常选用裂项相消法求和
.
常用裂项形式有：
①
n
(
n
1
1)
1
n
n
1
1
；
②
n
(
n
1<
/p>
k
)
1
k
(
1
n
n
1
k
)
；
..
1
1
1
1
1
，
(
)
k
2
k
2
1
2
k
1
k
<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
2
；
k
k
1
(
k
1)
k
k
(
k
1)
k
k
1
k
n
1
1
1
1
1
1
[
]
；⑤
④
；
<
/p>
(
n
1)!<
/p>
n
!
(
n
1)!
n
(
n
1)(
n
2)
2
n
(
n
1)
(
n
1)(
n
2)
③
∴
a
n
［练习］
14
(
n
1
)
2
n
1
(
n
2
)
数列
a
n
满足
S
n
S
n
1
5
a
n
1
，
a
1
4
，求
a
n
3
⑥
2(
n
1
n
)
2
n
n
1
1
n
2
n
n
1
< br>2(
n
n
1)
二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：
1
、
公式法
2
、
由
S
n
求
a
n
（
n
1
时，
a
1
S
1
，
n
2
< br>时，
a
n
S
n
S
n
1
）
3
、求差（商）法
如：
a
1
n
满
足
2
a
1
1<
/p>
1
2
2
a
2
……
2
n
a
n
2
n
< br>
5
1
解：
< br>n
1
时，
1
2
a
1
2
1
<
/p>
5
，∴
a
1
14
n
2
时，<
/p>
1
2
a
1
2
……
1
1
2
a
2
2
n
< br>
1
a
n
1
2
n
1
5
2
1
2
<
/p>
得：
1
2
n
a
n
2
∴
a
1
n
2
n
.
下载可编辑
.
（注意到
a
< br>S
n
1
n
1
S
n
1
S
n
代入得：
S<
/p>
4
n
又
S
n
1
4<
/p>
，∴
S
n
是等比数列，
S
n
4
n
2
时，<
/p>
a
n
1
n
S
n
S
n
1
……
< br>3
·
4
4
、叠乘法
例如：数列
a
n
1
n
中，
a
1
< br>3
，
a
a
n
，求
a
n
n
n
<
/p>
1
解：
a
2
·
a
3<
/p>
……
a
n
1
·
2
……
n
1
，∴
a
n
1
a
1
a
2
< br>a
n
1
2
3
n
a
1
n
又
a
1
3
，∴
a
3
n
n
5
、等差型递推公式
由
a
n
a
n
1
f
(
n
)
，
a
1
a
0
，求
a
n
，用迭加法
n
2
时，
a
2
a
1<
/p>
f
(
2
)
a
a
3
2
f
(
3
)
……
……
两边相加，得：
a
n
a
n
1
f
(
n
< br>)