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2021年2月23日发(作者：一生无悔歌曲)

等比数列

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是 提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：



理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及推导．



掌握等比数列的前

n

项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前

n

项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．



能在具体的问题情境中，识别数列 的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．



了解等比数列与指数函数的关系．

重点：



掌握等比数列的定义，会用等比数列的通项公式和前

n

项和公式解决有关等比数列的

S

n

,

a

n

,

< br>a

1

,

n

,

q

中知道三个数

求另外两个数的一 些简单问题；熟悉等比数列的有关性质．

难点：



灵活应用等比数列定义、通项公式、前

n

项和公式、性质解决一些相关问题．

学习策略：



类比等差数列，学习等比数列；



注意方程思想的应用：等比数列的 通项公式和前

n

项和公式中，共涉及

S

n

,

a

n

,

a

1

,

n

,

q

五个量，已知其 中任意三个

量，求另外两个量，归结为解方程（组）问题；且这里解方程组时常用两式相 乘或者相除的方法；



< p>
运用等比数列的求和公式时，注意是否需要分公比

q



1

和

q



1

进行讨论；



解题时，注意等比数列常用性质的应用，减少运算量．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”

．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从

起，每一项与它的

的差都等于

，这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫

做等差数列的

，

通常用字母

d

表示．

即对于数列

{

a

n

}

,

< br>若

，

则此数 列是等差数列，

其中常数

d

叫

做等差数列的

．

（二）等差数列的

{

a

n

}

的通项公式

首相为

a

1

，公差为

d

，则

a

n

< p>
=

第

m

项为

a

m

，公差为

d

，则

a

n< /p>

=

（三）等差数列的前

n

项和公式

S

n

=

=

（四）等差数列的性质

< p>
等差数列

{

a

n

}

中，公差为

d

，则< /p>

（

1

）若

m

,

n

,

p

,

q



N



，且

m



n



p



q

,

则

特别地，当

m



n



2

p

时

．

（

2

）下标成公差为

m

的等差数列的项

a

k

,

a

k



m

< br>,

a

k



2

m

,…

组成的新数列为

< p>

数列，公差为

．

（

3

）连续

k

项的和依然成

数列，即

S

k

,

S

2

k< /p>



S

k

,

S

3

k



< p>
S

2

k

，

…

成

数列，且公差为

．

☆（

4

）若项数为

2n

，则

S

2

n



，

S

偶



S

奇



，

S

奇

S

偶



☆（

5

）若项数为

2n-1

，则

S

2

n



1



，

S

奇



，

S

偶



，

S

奇



S

偶



，

S

奇

S

偶



☆（

6

）若

S

n

为等差数列

{

a

n

}

的前

n< /p>

项和公式，则数列

{

S

< br>n

}

为

．

n

知识要点——预习和课堂学习

认真阅 读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习． 课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源

ID< /p>

：

#tbjx6#211332

知识点一：等比数列

一般地，如果一个数列从

起，每一项与它的

的比等于

，

那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的

；通常用字母

表

示，即：

．

注意：

（

1

）

“

从第二项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数

q

”

，这里的项具 有

性和

性，常数是

；

（

2

）隐含条件：任一项

a

n

< br>

0

且

q

0

；

“

a

n



0

”

是数列

{

a

n

}

成等比数列的< /p>

条件；

（

3

）

常数列都是

数列，

但

等比数列．

不为

0

的常数列是公比为

的

等比数列；

（

4

）

a

n



1



q

(

n



N



，

q



0)



{

a

n

}

成等比数列．

a

n

知识点 二：等比中项

如果三个数

a

、

G

、

b

成等比数列，那么称数

G

为

a

与

b

的

中项．其中

G



．

注意：

（

1

）只有 当

ab

0

时，

a< /p>

与

b

才有等比中项，且

< br>a

与

b

有

等比中项．

当

ab

0

时，

a

与

b

没有等比中项．

（

2

）

任意两个实数

< br>a

与

b

都有

中项，

且当

a

与

b

确定时，

等差中项

．

但

任意两 个实数

a

与

b

不一定有等比中项，且当

a

与

b

有等比中项时，等比中项不唯一．

（

3

）当

ab



0

时，

a

、

G

、

b

成等比数列



．

（

4

）

G

2



ab

是

< p>
a

、

G

、

b

成等比数列的

．

知识点三：等比数列的通项公式

（一）等比数列的通项公式

首相为< /p>

a

1

，公比为

q

的等比数列

{

a

n

}

的通项公式为：

推导过程：

（

1

）归纳法：

根据等比数列的定义

a

n



q

可得

a

n



a

n



1

< p>
q

(

n



2)

：

a

< br>n



1

2



1

∴

a

2



a

1

q



a

1

q

；

a

3



，

a

4



，

……

当< /p>

n=1

时，上式也成立

a

n



∴归纳得出等比数列的通项公式为：

．

（

2

）叠乘法：

根 据等比数列的定义

a

n



q

可得：

a

n



1

a

< br>2



，

a

1

a

3



，

a

2

a

4



，

a

3

……

a

n



，

a

n



1

把以上

n



1

个等式的左 边与右边分别相乘（叠乘）

，并化简得：

即

a

n



(

n



2)

又

a

1

< p>
也符合上式

∴

a

n



．

（

3

）迭代法：

注意：

（

1

）通项公式由

和

完全确定，一旦一个等比数列的

和

确定，

该等比数列就唯一确定了．

< /p>

（

2

）通项公式中共涉及

四个量，已知其中任意

个量，通过解方

< br>程，便可求出余下的量．

（二）等比数列的通项公式的推广

已 知等比数列

{

a

n

}

中，第

m

项为

< br>a

m

，公比为

q

，则：

a

n



，

a

1

证明：

（三）等比数列与指数函数的关系

等 比数列

{

a

n

}

中，

a

n



a

n



1

1



q



a

1

q



q

n

，若设

c



a

1

q

< br>,

则：

a

n



（

1

）当

q



1

时，等比数列

{

a

n

}

是

数列．它的图象是

．

（

2

）

当

q



0

且

q



1

时，

等比数列

{

a

n

}

的通项公式

a

n



c



q

n

是关于

n

的

函

数；它的图象是分布在曲线

y



< p>
a

1

q



q

x

（

q



0

且

q



1

）上的

的点．

①当

q



1

且

a< /p>

1



0

时，等比 数列

{

a

n

}

是

数列；

②当

q



1< /p>

且

a

1



0

时，等比数列

{

a

n

}

是

数列；

③当

0



q



1< /p>

且

a

1



0

时，等比数列

{

a

n

}

是

数列；

④ 当

0



q

< /p>

1

且

a

1



0

时，等比数列

{

a

n

}

是

数列．

（

3

）当

q< /p>



0

时，等比数列

{

a

n

}

是

数列．

注意：

常数列不一定是

数列，只有

才是公比为

1

的等比数列．

知识点四：等比数 列的前

n

项和公式

< br>（一）等比数列的前

n

项和公式

推导方法一：错位相减法

推导方法二：利用等比性质

推导方法三：构造方程

注意：

（

1

）错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于

的数列求和问题，要求理解并掌握此法．

（

2

）在求等比数列前

n

项和时，要注意区分

q

1

和

q

1

两种情况．

（

3

）当

q



1

时，等比数列的两个求和公式，共涉及

五个量，已知

其中任意

个量，通过解方程组，便可求出其余

个量．

知识点五：等比数列的性质

设等比数 列

{

a

n

}< /p>

的公比为

q

（

1

）若

m

,< /p>

n

,

p

,

q



N



< p>
，且

m



n



p



q

< br>,

则

。特别地，当

m



n



2

p

时< /p>

（

2

）

下标成等差数列且公差为

m

的项

a

k

,

a

k



m

,

a

k



2

m

,…

组成的新数列仍为

< p>

数

列，公比为

．

（

3

）若

{

a

n

}

，

< p>
{

b

n

}

是项数相同的等比数列，则



a

2

n



、



a

2

n



1



、



ka

n



（

< p>
k

是常

数且

k

< p>


0

）

、

{

1

m

a

}

、

{

a

}

(

m



N< /p>

a

n

n



,

m

是常数

)

、



a

n

< p>


b

n



、

{

}

也是

< br>

数列；

n

b

n

（

4

）连续

k

项和（不为零）仍是

数列．即

S

k

,< /p>

S

2

k



S

k

,

S

< p>
3

k



S

2

k

，

…

成

数列．

经典例题——自主学习

认真分析、解 答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完

成举一反三．

课堂笔记或者其它补充填在右栏．

更多精彩内容请学习网校资源

ID

：

< br>#jdlt0#211332

类型一：等比数列的通项公式

例

1

．

等比数列

{< /p>

a

n

}

中，

a

1



a

9



64

,

a

3



a

7



20

,

求

a

11

．

< br>

解：

总结升华：

举一反三：

【变式

< br>1

】

{a

n

}

为等比数列，

a

1

=3

，

a

9

=768

，求

a

6

< p>
．

【变式

2

】

{a

n

}

为等 比数列，

a

n

＞

0

，且

a

1

a

89

=16

，求

a

44

a

45

a

46

的值．

【变式

3

】已知等比数列

{

< br>a

n

}

，若

a

1



a

2



a

3

< /p>

7

，

a

1

a

2

a

3

< p>


8

，求

a

n

．

类型二：等比数列的前

n

< p>
项和公式

例

2

．

设等比数列

{a

n< /p>

}

的前

n

项和为

S

n

，若

S< /p>

3

+S

6

=2S

9

，求数列的公比

q

< br>．

解：

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