数列大题专题训练1(老师版)
-
数列大题专题训练
1
1
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）设
b
< br>n
log
3
< br>(1
S
n
)(
n
N
)
，求满足方程
【解析】
试题分析：
（
1
）由<
/p>
*
1
a
n
1(
n
N
*
)
.
2
1
1
< br>1
25
L
的
n
值
.
b<
/p>
2
b
3
b
3
b
4
b
n
b
n
1
51
S
n
< br>与
a
n
关系求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式时，注意分类讨论：当
n
< br>1
时，
a
1
S
1
；当
n
2
时，
1
a
a
n<
/p>
1
n
a
n
S
n
S
n
1
3
，得到递推关系
，再根据
等比数列定义确定公比，由通项公式求通项
1
1
1
1
n
S
n
1
(
)<
/p>
{
a
n
}
n
3
，再代入求得
b
n
n
，因为
b
n
b
n
1
n
n
1
，从而根据裂项
相消法求
（
2
）先求数列
前
项和
1
1
1
1
1
1
1
25
L
b
b
b
3
b
4
b
n
b
n
1
2
n
< br>1
，解
2
n
1
51
得
n
值
和
2
3
a
1
2
3
，
试题解析：
（
1
）当<
/p>
n
1
时，
1
1
S
n
a
n
1
S
n
< br>1
a
n
1
1
2
2
当
n
1
时，
，
，
3
1
1
a
n
a
n
1
0
a
n
a
n
1
2<
/p>
3
∴
2
，即
a
n
2
3
n
.
∴
2
1
< br>(1
(
)
n
)
3
1
(
1
)<
/p>
n
S
n
3
1
1
1
1
3
1
b
n
b
n
b
n
1
n<
/p>
n
1
3
（
2
）
，∴
n
，
，
1
1
1
1
< br>1
L
b
2
b
3
b
3
b
4
b
n
b
n
1
2
n
1
< br>∴
，
1
1
25
即
2
n
1<
/p>
51
，解得
n
101
.
考
点：由
S
n
与
a
n
关系求数列
{
a
n
}
的通项公式，裂项相消法求
和
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，
然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用
c
(
其中
{a
n
}
是各项均不
为零的等差数列，
c
为常数
)
的数列
.
裂项相消法求和，常见的有相邻两项
的裂
于形如
a
n
a
n
＋
1
试卷第
1
页，总
14
页
1
1
项求和
(
如本例
)
，还有一类隔一项的裂项求和
，如
(n≥2)或
.
（
n
－
1
）（
n
＋
1
）
n
（
n
＋
2
）
2
．已知
数列
（
1
）求
a
n
是等
比数列，首项
a
1
< br>1
，公比
q
< br>0
,
其前
n
项和为
S
n
,
且
S
1
a
1
,
S
3<
/p>
a
3
,
S
2
a
2
,
成等差数列．
a
n
的通项公式；
a
n<
/p>
b
n
1
（
2
）若数列
b
n
满足
a
n
1
2
1
【答案】
（
< br>1
）
a
n
2
【解析】
n
1
,
T<
/p>
n
为数列
b<
/p>
n
前
n
项和，若
T
n
m
恒成立，求
m
的
最大值．
；
（
2
）
1
．
试题分析：
（
1
）由题意可知
:
2
S
3
a
3
S
1
a
1<
/p>
S
2
a
2
S
3
S
1
S
3
S
2
a
1
<
/p>
a
2
2
a
3
a
1
1
1
4
a
3
a
1
3
q
2
,
q
a
n
< br>a
1
4
2
2
n
1
1
；
（
2
）由
a
n
1
2
a
n
b
n
1
1
<
/p>
2
2
n
a
n
b
n
b
n
n
g
2
n
1
T
n
1
1
2
< br>2
3
2
2
...
n
g
2
n
1
，再由错位相减法求得
T
n
1
n
1
2
n
,
T
n
<
/p>
1
T
n
n
1
g
2
n
0
T
n
为递增数列
当
n
1
时，
T
n
m
in
1
,
．
又原命题可转化
T
n
min
m
m
1
m
的最大
值为
< br>1
．
试题解析：
（
1
）由题意可知
:
2
S
3
a
3
S
1
a<
/p>
1
S
2
a
2
S
3
S
1
S
3
S
2
a
1<
/p>
a
2
2
a
3
,
a
1
1
1
2
即
4
a
3
a
1
,
于是
3
q
,
Q
q
0,
q
,
Q
a
1
1,
a
< br>n
．
a
1
4
2
2
1
（
2
）
Q
a
n
1
< br>
2
a
n
b
n
n
1
1
1
,
< br>
2
2
n
a
n
b
n
,
b
n
n
g
2
n
1
,
< br>T
n
1
1
2
2
3
2
2
...
n
g
2
n
1
,
①
2
T
n
1<
/p>
2
2
2
2
3
2
3
...
n
g
2
n
,
②
①
-
②得
:
T
n
1
2
2
...
2
2
n
1
1
< br>2
n
n
g
2
n
g
2
n
1
n
2
n
1
,
T
< br>n
1
n
1
2
n
,
1
2
n
Q
T
n
m
恒成立，只需
T
n
min
m
Q
T
n
1
T
n
n
g
2
n
1
n
1<
/p>
g
2
n
n
1
g
2
n
0
,
T
n
为递增数列，
< br>当
n
1
时，
T
n
min
1
,
m
1<
/p>
,
m
的最大值
为
1
．
考点
：
1
、等差数列；
2
< br>、等比数列；
3
、数列的前
n<
/p>
项和；
4
、数列与不等式．
【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前
n
项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思
想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．第二小题首
1
先由<
/p>
a
n
1
2
a
n
b
n
1
1
<
/p>
2
2
n
a
n
b
n
b
n
n
g
2
n
1
T
n<
/p>
1
1
2
2
3
2
2
...
n
g
2
n
1
再由错位相减法求得
T
n
1
n
1
2
n
T
n
1
T
n
<
/p>
n
1
g
2
n
0
T
n
为递增数列
当
n
1
时，
试卷第
2
页，总
14
页
T
n
min
1
．再利用特殊与一
般思想和转化化归思想将原命题可转化
T
n
min
m
m
1
m
的最大值为
1
．
3
．已知数列
a
n
中，
a
1
2
,
a
2
3
，其前
n
项和
S
n
满足
S
n
1
S
n
1
2
S
n
1
，其中
n
2
,
< br>n
N
．
（
1
）
求证：数列
a
n
为等差数列，并求其通项公式；
n
（
2
）
设
b
n
a<
/p>
n
2
，
T
n
为数列
b
n
的前
n
项和．
①求
T
n
的表达式；
<
/p>
②求使
T
n
<
/p>
2
的
n
的取值范
围．
【答案】
（
1
）证明见解析；
（
2
）①
T
n
3
n
< br>3
；②
，且
< br>．
n
N
n
3
n
2
【解析】
试题分析：
（
1
）借助题设条件运用错
位相减法推证；
（
2
）借助题设运用函
数的单调性探求．
试题解析：
（
1
）由已知，
(
S
n
1
S
n
)
(
S
n
S
< br>n
1
)
1
(
n
2
,
n
N
)
，即
a
n
1
a
n
1
(
n
2
,
n
N
)
，
a
2<
/p>
a
1
1
，∴数列
a
n
是以
a
1
2
为首项，公差
为
1
的等差数列，∴
a
n
n
1
．
（
2
）∵
a
n
n
1
，∴<
/p>
b
n
(
n
1
)
1
，
n
2
1
1
1
1
T
n
2
3<
/p>
2
n
n
1
(
n
1
)
n
，①
2
2
2
2
1
1
1
1
1
T
n
2
2
3
3
< br>
n
n
(
n
1
)
n
1
，②
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
①
-
②得：
T
n
1
2
3
<
/p>
n
(
n
1
)
n
1
，
2
2
2
2
2
n
3<
/p>
n
3
n
3
∴
T
n
3
n
代入不等式得
3
n
2
，即
n
1
0
，
2
2
2
n
3
n
2
设<
/p>
f
(
n
)
n
1
，则
f
(
n
1
)
< br>f
(
n
)
n
1
0
，
2
2
∴
f
(
n
)
在
N
上单调递减，
∵
f
(
1
)
1
0
,
f
(
2
)
1
1
0
,
f<
/p>
(
3
)
0
，
4
4
∴当
n
1
,
< br>n
2
时，
f
(
n
)
0
，当
n
3
时，
f
(<
/p>
n
)
0
，
所以
n
的取值范围为
n
3<
/p>
，且
n
N
．
考点：等差数列等比数列及函数的单调
性等有关知识的综合运用．
4
．
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和，且
a
1
1
，
S
7
28
，记
b
n
[lg
a
n
]
．其中
[
x
]
表示不超过
x
的最大整数，如
< br>[0.9]
0
，
[lg99]
1
．
（
1
）求
b
1
，
b
11
，
b
101
；
试卷第
3
页，总
14
页
（
2
）求数列
{
b
n
}
的前
1000
项和．
【答
案】
（
1
）
b
1
0
，
b
11
1
，
b
101
2
；
（
2
）
1893
．
【解析】
试题分析
：
（
1
）先求公差、通项
a
n
，再根据已知条件求
b
1
，
b
11<
/p>
，
b
101
；<
/p>
（
2
）用分段函数表示
< br>b
n
，再由等差数列的前
n
项和公式求数列
b
n
的前
1000
< br>项和．
试题解析：
（
1
）
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且
a
1
1
，
S
7
28
，
7
a
4
28
．
< br>
可得
a
4
4
，则公差
d
< br>
1
，
a
n
n
，
b
n
[lg
n
]
，则<
/p>
[
b
1
]
[lg1]
0<
/p>
，
b
11
[lg
11
]<
/p>
1
，
b
101
[lg1
01]
2
．
（
2
）由（
1
）可知：
b
1
b
2
b<
/p>
3
L
b
9
0
，
b
10
b
11
b
12
L
< br>b
99
1
，
b
100
b
101
b
102
b
103
L
b
999
2
，
b
1000
< br>3
．
数列
{
b
n
}
的前
1000
项和为：
9
0
90
1
900
2
3
1893
．
< br>考点：
1
、新定义问题；
2
、数列求和．
【技巧点睛】解答新颖的数
学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”
攻
“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点．
2
5
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
2
n
n
（
n
< br>N
）
，数列
< br>{
b
n
}
满足
a
n
4
log
2
b
n
3
（
n<
/p>
N
）
.
（
1
）求
a
n
，
b
n
；
（
2
）求数列
{
a
n
b
< br>n
}
的前
n
项和
T
n
.
n
1
【答案】
（
1
）
a
n
<
/p>
4
n
1
，
n
N
，
b
n
2
；
（
2
）
T
n
(
4
n
5<
/p>
)
2
5
,
n
N
．
n
【解析】
2
试题分析：
（
1
）
由
S
n
2
n
n<
/p>
可得，
当
n
<
/p>
1
时，
可求
a<
/p>
1
3
，
当
n
2
时，
由
a
n
S
n
< br>S
n
1
可求通项进而可求
b
n
；
n
1
（
2
）由（
1
）知，
a
n
b
n
(4
n
< br>
1)
2
，利用乘公比错位相减法求解数列的和
.
试题解析：
（
1
）由
S
n
2
n
n
，得当时，
a
1
S
1
3
；
< br>
当
n
2
时，
a
n
S
n
S<
/p>
n
1
4
n
1
，
所以
a
n
4
n
< br>
1
，
n
N
.
由
4
n
1
a
n
4
log
2
b
n
3
，得
b
n
2
n
1
2
，
n
N
.
试卷第
4
页，总
14
页
（
2
）
由（
1
）知
a
n
b
n
<
/p>
(
4
n
1
)
2
2
n
1
，
n
N
，
n
1
所以
T
n
3
7
2
11
2
(
4
n
1
)
2
2
T
n
3
2<
/p>
7
2
2
(
4
n
5
)
2
n
1
(
4
n
1<
/p>
)
2
n
，
所以
2
T
n
T
n
(
4
< br>n
1
)
2
[
3
4
(
2
2
2
故
T
n
(
< br>4
n
5
)
2
5
,
n
N
n
n
2
n
1
)]
(
4
n
5
)
2
n
5
.
考点：等差数列与等比数列的通项公式；数列求和
.
6
．
已
知
等
比
< br>数
列
a
n
的
公
比
q
1,
a<
/p>
1
1
，
且
a
1
,
a
3
,
a
2
14
成
< br>等
差
数
列
，
数
列
b
n
满
足
：
a
1
b
1
a
2
b
2
L
< br>
a
n
b
n
n
1
g
3
n
1
n
N
*
．
（
< br>1
）求数列
a
n
和
b
n
的通项公式；
（
2
）若
ma
n
b
< br>n
8
恒成立，求实数
m
的最小值．
【答案
】
（
1
）
b<
/p>
n
2
n
1
；
（
2
）
【解析】
试题分析：
（
1
）数列
a
n
是首项为
1
，公比为
q
的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解
< br>方程可得
a
n
3
n
1
1
．
81
，再将
n
换为
n
1
，两式相减可得
b
n
2
n
1
；
（
2
）若
ma
n
b
n
8
恒成立，即为
m
< br>2
n
9
的
3
n
1
最大值，由
c
n
2
n
9
作差，判定函数的单调性，即可得到最大值，进而得到
m
的最小值．
n
<
/p>
1
3
试题解析：
（
1
）因为等比数列
a
n
满足：
a
1
1,
< br>a
1
,
a
3
,
a
2
14
成等差数列，
< br>所以：
2
a
3
< br>
a
1
a
2
14
，即
2
a
1
q
a
1
a
1
q
14
，
所以：
2
q
q
15
0
，所以
q
3
（因为
q
1
）
所以
a
n
3
n
1
2
2
，
n
因为：
a
1
b
1
<
/p>
a
2
b
2
L
a
n
b
n
n
1
g
3
1
，①
所以当
n
2
时，有
a
1
b
1
a
2
b
2
L
a
n
1
b
n
1
< br>
n
2
g
3
①
-
②得：
a
n
b
n
2
n
1
g
3
n
1
n
1
< br>
1
，②
n
2
，
所以
b
n
2
n
1
n
2
，当
n
1
时也满足，所以<
/p>
b
n
2
n
1
．
2
n
9
恒成立，
3
n
1
2
< br>n
9
20
4
n
令
c
n
n
<
/p>
1
，则
c
n
1
c
n
．
n
3
3
（
< br>2
）若
ma
n
< br>
b
n
8
恒成立，则
m
< br>试卷第
5
页，总
14
页
当
n
5
时，
c
< br>5
c
6
，
当
n
5
时，
c
1<
/p>
c
2
c
3
c
4
c
5
，
当
n
5
时，
c
6
c
7
c
8
L
．
所以
c
n
的最大值为
c<
/p>
5
c
6
1
1
1
，所以
m
，
m
的最小值为
．
81
81
81
考点：
等比数列的通项公式；数列的求和．
n
1
7
．已知数列
< br>
a
n
，
a
n
0
，其前
n
项和
S
n
满足
S
n
2
a
n
2
，其中
n
N
*
．
（
1
）设
b
n
a
n
，证明：数列
b
n
是等差数列；
<
/p>
2
n
n
（
2
）设
c
n
b
n
2
，
T
< br>n
为数列
c
< br>n
的前
n
项和，求证：
T
n
3
；
n
< br>n
1
（
3
）
设
d
n
4
(
1)
2
n
（
为非零整数，
n
N
*
）
，
试确定
的值，
使得对任意
n
N
*
，
都有
d
n
<
/p>
1
d
n
成
b
立．
【答案】
（
1
）证明见
解析；
（
2
）证明见解析；
（
3
）
1
.
【解析】
试题分析：
（
1
）借助题设条件运用等差数列的定义推证；
（
2
）依据题设运用错位相减法推证；
（
3
）借助题设建立不
等式分类探求
.
试题解析：
（
1
）当
n
1
时，
S
1
2
a
1
4
，∴
a
1
4
，
n
1
n
当
n
2
时，
a
n
S
n
S
n
1
2
a
n
2
2
a
n
1
2
< br>，
n
∴
a
n
2
a
n
1
2
，即
a
n
a
n
1
n
1
1
，
n
2
2
∴
b
n
b
n<
/p>
1
1
（常数）
，
a
1
2
，∴
b
n
是首项为
2
，公差为
1<
/p>
的等差数列，
b
n
n
1
．
2
1
n
（
2
）
c
n
b
n
2
< br>(
n
1)
n
，
2
2
3
n
<
/p>
1
T
n
2
…
n
，
2
2
2
1
2
n
n
1
T
n
2
…
n
n
1
,
2
2
2
2
1
< br>1
(1
)
2
n
1
1
1
1
1
n<
/p>
1
n
1
3
1
n
1
2
2
相减得
T
n
1
2
3
…
n
n
1<
/p>
1
n
1
n
n
1
，
1
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
1
2
2
n
1
n
3
∴
T
n
3
n
n
3
n
<
/p>
3
．
2
2
2
又
b
1
（
2
）由
d
n
< br>1
d
n
得
4
n
1
(
1)<
/p>
n
2
n
2
4
n
(
1)
n
< br>1
2
n
1
，
3
4
n
(
1)
n
2
n
2
(
1)
n
< br>
2
n
1
0
，
试卷第
6
页
，总
14
页
3
4
n
<
/p>
(
1)
n
2
n
1
3
0
，
< br>2
n
1
(
1)
n
0
，<
/p>
当
n
为奇数时
，
2
n<
/p>
1
，∴
1
；
，∴
2
，
当
n
为偶数时，
2
n
1
∴
2
1
，
又
为非
零整数，
∴
1
．
考点：等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用．
【易错点晴】本题以数列的前
n
项和与通项之
间的关系等有关知识为背景
,
其目的是考查等差数列等比数列等
有关
知识的综合运用
,
及推理论证能力
、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题
.
求解时
n
1
充
分
借
助
< br>题
设
条
件
中
的
有
效
信
息
S
n
2
a
n
2
,
借
助
数
列
前
n
< br>项
和
S
n
与
通
项
a
n
之
间
的
关
系
a
n
S
n
S
n
1
(
< br>n
2
)
进行推证和求解
.
本题的第一问
,<
/p>
利用等差数列的定义证明数列
{
则借助错
位相减的求和方法先求出
T
n
3
取值范围
.
8
．设数列
<
/p>
a
n
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
1
S
n
1
2
S
n
n
< br>1
n
N
*
.
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
< br>（
2
）若
b
n
n
，求数列
< br>
b
n
的前项和
T
n
.
a
n
1
a
n
a<
/p>
n
}
是等差数列；第二问中
2
n
2
n
< br>
1
n
3
3
3
；
第三问
是依据不等式成立分类推得参数
的
n
n
n
2
2
2
【答案】<
/p>
（
1
）
a
n
2
n
1
n
N
*
；
（
2
）
n
2
【解析】
试题分析：
（
1
< br>）根据数列的递推关系式，可得
n
2
.
2
n
a
n
1
1
2
，利用数列
a
n
1
为等比数列，即可求解数列
a
n
的通
< br>a
n
1
项公式；
（
2
）由（
1
）得出
b
n
项和
.
< br>n
n
n
，利用乘公比错位相减法，即可求解数列
b
n
的前
< br>n
1
n
n
n
1
n
2
2
2
2
1
2
1
试题解析：
（
1
）∵
S
n
1
2
S
n
n
1
，当
n
2
时，
S
n
2
S<
/p>
n
1
n
，∴
a
n
1
2
a
n
1
< br>，
∴
a
n
1
1
2
a
n
1
，即
a
n
1
1
2
，
a
n
1
又
S
2
2
S<
/p>
1
1
，
a
1
S
1
1
，∴
a
2
3
< br>，∴
∴
a
n
1
2
n
，即
a
n
2
n
1
n
N
*
.
（
2
）∵
a
n
2
n
1
，∴
b
n
a
2
1
2
，
a
1
1
n
n
n
.
< br>n
1
n
n
n
1
n
2
2
2
2
1
2
1
试卷第
7
页，总
14
页