(完整版)数列难题训练
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数列难题训练
1
、<
/p>
在数列
前
项和
中，
（
I<
/p>
）
设
，
求数列<
/p>
的通项公式
（
II
）
求数列
的
2
、（满分
12
分）已知各项均为正数的数列
< br>满足
,
且
,
< br>其中
．
（
I
）
求数列
的通项公式
;
（
II
）
设
数列
的前
项和为
,
令
,
其中
,
试比较
与
的大小
,
< br>并证明．
3
、（本小题满分<
/p>
14
分）在数列
中，
，
.
（
I
）求证：数列
是等比数列；（
II
）
设数列
的前
项和为
，求
的最小值
.
4
、已知数列
设
，求数列
的前
项和。
（
1
）证明数列
为等差数列，并求
的通项公式；
< br>2
）
5
、
（本题满分
14
分）
对于函数
，若存在
成立，则称
的不动点
.
如果函数
有且只有两个不动点
0
，
2
，且
（
1
）求
函数
的解析式；
（
2
< br>）已知各
项不为零的数列
有
成立
.
，求数列通项
< br>；
（
3
）如果数列
满足
，求证：当
时，恒
6<
/p>
、（本小题满分
14
分）设函数
，方程
有唯一解，其中实数
为常数，
，
（
1
）求
求证：
的表达式；（
2<
/p>
）求
的值；（
3
）若
且
，
7
、
已知函数
的图象经过坐标原点，且
的前
（
I
）求数列
的通项公式；（
II
）若数列
（
III
）若正数数列
中的最大值
8
、已知
（
m
为常数，
m>0
且
），设
是首项为
4
，公差为
2
的
，且数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
，当
时，
等差数列
.
（Ⅰ）求证：数列
{a
n
}
是等比数列；（Ⅱ）若
b
n
=a
n
・
求
S
n
；（Ⅲ）若
c
n
=
存在，说明理
由
.
，问是否存在
m
，使得
{c
n
}
中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出
m
的范围
；若不
9
、已知各项均为正数的数列
，
满足：
=3
，且
，
．（
1
）求数列
的通项公
式；
（
2
）设
整数．
，
，求
，并确定最小正整数
，使
为
< br>10
、已知
S
n
是数列
的前
n
项和，且
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
，
是否存在最大的正整数
k
，
使得对于任意的正整数
n
，
有
若存在，求出
k
的值；若不存在，说明理由
.
恒成
立？
12
、（理）已知函数
的定义域为
R
，当
时，
，
且对任意的实数
，
，等式
恒成立
.
若数列
{
}
满足
，且
=
，则
的值为
（
）
A.4018
B.4019
C.4020
D.4021
13
、函数
是定义在
R
上恒不
为
0
的函数，对任意
都有
，若
，则数列
的前
n
项和
S
n
的取值范围
是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
1
、分析：（
I
）由已知有
利用累差迭加即可求出数列
的通项公式
:
(
)
（
II
）由（
I
）知
,
=
2
、解：（Ⅰ
)
.
（
II
）
则
又
.
法一
：数学归纳法猜想
①当
时，
,
上面不等式显然成立；
②假设当
时，不等式
成立当
时，
综上
①②对任意的
均有
.
…
法二：二项式定理：因为
,
所以
.
即对任意的
均有
.
又
,
所以对任意的
均有
.
3
、
解：（
I
）
，
，
是以
-1
5
为首项，
为公比的等比数列
.
（
II
）
，
，
当
时，
∴数列
是单调递增数列，
，
当且仅当
时，
的最小
值是
.4
< br>、
（Ⅰ）
因为
，
所以
两式相减，
得
所以
，
即
是首项为
3
，公比为<
/p>
3
的等比数列。
从而
的前
n
项和为
< br>T
n
。则
又
的通项公式是
即
（
II
）由（
I
）知
两式相减得
，
5
解：设
得：
由违达定理得：
解得
代入表达式
，由
得
不止有两个不动点，
………………………………………
5
分
（
2
）由题设得
（
A
）
且
（
B
）由（
A
）
（
B
）得：
解得
这与
矛盾，
（舍去）或
；由
，若
< br>，即
{
是以
1
< br>为首项，
1
为公差的等差数列，
（
3
）证法（一）：运用反证法，假
设
则由（
1
）知
∴
，而当
这与假设矛盾，故假设不成立
，∴
.
………………………………………
14
分证法（二）：由
得
<0
或
结论成立；若
，
此时
从而
即数列
{
}
在
时单调递减，由
，可知
上成
立
.
……………
…………………………………………………………………………
14
分
6
、（本小题满分
14
分）解：（
1
）由
，可化简为
-------2
分
当且仅当
时，方程
有唯一解．
---3
分
从而
-------4
分
（
2
）由已知
，得
-------5
分
，即
分
数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．
-------6