数列方法总结
-
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比
数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类
型的题目．
2
< br>a
S
n
a
n
a
1
,
a
3
,
a
9
S
5
a
5
例
1
．
等差数列
是递增数列，
前
n
项和为
，
且
成等比数列，
．
求数列
n
的通项公式
.
解：设数列
a
n
公差为
d
(
d
0
)
2
∵
a
1
,
a
3
< br>,
a
9
成等比数列，∴
a
3
a
1
a
9
，
< br>
即
(
a
1
2
d
)
a
1
(
a
1
8
d
)
d
a
1
d
< br>
∵
d
0
，
∴
a
1
d
………………………………①
2
∵
S
5
a
5
∴
5
a
1
2
2
5
4
d
< br>(
a
1
4
d
)
2
…
………②
2
3
3
，
d
5
5
3
3
3
∴
a
n
(
n
1
)
< br>
n
5
5
5
由①②得：
a
< br>1
点评：
利用定义法求数列通
项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写
出通项。
< br>
二、公式法
若
已
知
数
列
< br>的
前
n
项
和
S
n
与
a
n
的
关
系
，
求
数
列
a
n
的
通
项
a
< br>n
可
用
公
式
S
1
n
< br>
1
求解。
< br>a
n
S
S
n
2
n
1
n
例
2
．
< br>已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
满足
S
< br>n
2
a
n
(
1
)
n
,
n
1
．求数列
<
/p>
a
n
的通项公
式。
解：由
a
1
S
1
2
a
1
1
a
1
1
当
n
2
时，有
a
n
S
< br>n
S
n
1
2
(
a
n
a
n
1
)
2
(
1
)
n
< br>,
n
1
a
n
2
a
n
1
2
(
1)
,
a
n
1
2
a
n
2
2
(
1
)<
/p>
n
2
,
……，
a
2
2
a
1
2
.
a
n
2
n
1
a
1
2
n
1
< br>
(
1)
2
n
2
(
1)
2
L
2
(
1)
n
1
2
2
n
1
(
1
)
[(
2
)
n
n
n
1
(
2
)
n
2
(
< br>
2
)]
n
1
2
[
1
(
2<
/p>
)
n
1
]
(
1
)
3
2
[
2
n
2
(
1
)
n<
/p>
1
].
3
经验证
a
1
1
也满足上式，所以
a
n
2
n
2
[
2
<
/p>
(
1
)
n
1
]
3
S
n
<
/p>
n
1
点评：
利用公式
a
n
求解时，
要注意对
n
分类讨论，
但若能合写时
S
S
n
2
n
1
n
一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推
公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比
数列问题
，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型
1
递推
公式为
a
n
1
a
n
<
/p>
f
(
n
)
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
< br>a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相加法
)
求解。
(2004
全
国
卷
I.22)
已
知
数
列
a
n
中
,
a
1
1,
且
a
2
k
a
2
k
1
(
1)
k
,
a
2
k
1
a
2
k
3
k
,
其
中
k
< br>
1,2,3,
……，求数列
a
n
的通项
公式。
P24
（
styyj
）
1
1
，
a
n
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
1
1
1
1
解：由条件知：
a
n
1
a
n
2
n
n
< br>n
(
n
1
)
n
n
1
分
别
令
n
1
,
2
,
3
,
< br>
,
(
n
1
)
，
代
入
上
式
得<
/p>
(
n
1
)
个
等
式
累
加
之
，
即
(
a
2
a
1
)
(
a
3
<
/p>
a
2
)
(
a
4
a
3
)
(
a
n
a
n<
/p>
1
)
1
1
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
(
)
<
/p>
(
)
2
2
3
3
4
n
1
n
1
所以
a
n
a
1
1
n
1
1
1
3
1
a
1
< br>，
a
n
1
2
2
n
2
n
类型
2
（
1
）递推公式
为
a
n
1<
/p>
f
(
n
)
a
n
a
解法：把原递推公式转化为
n
< br>
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
例
3
.
已知数列
a
n
满足
a
1
(2004
全国卷
I.15)
已知数列
{
a
n
}
，满足
a
1
=1
，
a
n
=
a
1
+2
a
2
+3
a
3<
/p>
+
…
+(
n
－
1)
a
n
－
1
(
n
≥
2)
，则
{
a
n
}
的通
项
a
n
例
4
.
已知
数列
a
n
满足
a
1
<
/p>
解：由条件知
即
n
1
1
P24
（
styyj
）
n
2
___
2
n
a
n
，求
a<
/p>
n
。
，
a
n
1
3
n
1
a
n
1
n
，分别令
n
< br>
1
,
2
,
3
,
,<
/p>
(
n
1
)
，代入上式得
(
n
1
)
个等式
累乘之，
a
n
n
1
1
2
3
n
1
a
a
a
2
a
3
a
4
1
•
•
•
< br>
•
n
n
a
1
< br>a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
a
1
n
n
2
2
又
a
1
，
a
< br>n
3
3
n
（
2
）
．由
a
n
<
/p>
1
f
(
n
)
a
n
和
a
1
确定的递推数列<
/p>
a
n
的通项可如下求得：
由已知递推式有
a
n
f
(
n
1
)
a
n
1
，
a
n
1
f<
/p>
(
n
2
)
a
n
2
，
•
•
•
，
a
2
f
(
1
)
a
1
依次向前代入，