切比雪夫不等式等号成立充要条件
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切比雪夫（
Chebyshev
，
1824
—
1894
）不等式
设随机变量
X
的数学期望和方差都存在，
则对任意常数
< br>
>0,
有
P
(|
X<
/p>
EX
|
)
Var
(
X
)
2
或
P
(|
X
EX
|
)
1
V
a
r
(
X
< br>)
2
。
存在
0
>0
使得等号成立的充要条件为
P
(<
/p>
X
EX
0
)
其中
p
P
(
X
EX
)
。
证明：
Ⅰ、充分性：如果随机变量满
足
P
(
X
<
/p>
EX
0
)
1
p
1
p
,
P
(
X
< br>
EX
0
)
,
2
2
1
p
，
P
(
X
EX
)
p
，
2
则
P
(
X
EX
0
)
1
p
2
P
(|
X
EX
|
0
)
P
(|
X
EX
|
0
)
< br>
P
(
X
EX
0
)
P
(<
/p>
X
EX
0
)
1
p
,
2
Var
(
X
)
E
(
X
EX
)
< br>2
0
1
p
1
p
2
(
0
)
2
0
2
p
(
1
< br>
p
)
0
,
由此可得
2
2
。
P
(|
X
EX
|
0
)
Var
(
X
)
2
0
2
Ⅱ、
必要性：
设随机变量
X
的分布
函数为
F
X
(x)
，
由题设可知
0
P
(|
X
< br>EX
|
0
)
Var
(
X
)
,
而
Var
(
X
)
0
|
x
EX<
/p>
|
0
(
x
EX
)
2
d
F
X
(
x
)
< br>
|
x
EX
|
0
(
x
<
/p>
EX
)
2
dF<
/p>
X
(
x
)
，
假设
P
(
0
|
X
EX
|
0
)
0
则
0
|
x
<
/p>
EX
|
0
(
x
EX
)
2
dF
X
(
x
)
0
，于是有
Var
(
X
)
题
设
矛
0
|
x
EX
|
0
2
2
(
x
EX<
/p>
)
2
dF
X
(
x
)
0
P
(|
X
EX
|
0
)
< br>
0
P
(|
X
EX
|
0
)
，
这与
盾
，<
/p>
故
P
(
0
|
X
EX
|
0
)
0
< br>，
由
前
面
证
明
可
知
V
ar
(
X
)
|
x
EX
|
0
(
x
EX
)
2
dF
X
(
x
)
。
假设
P
< br>
(|
X
EX
|
0
)
0
,
则得
2
Var
(
X
)
<
/p>
0
P
(|
X
EX
|
0
)
|
x
-
EX
|
< br>
0
(x
-
EX)
2
dF
X
< br>(
x
)
0
，于是有
|
x
EX
|
0
2
(
x
EX
)<
/p>
2
dF
X
(
x
)
0
P
(|
X
EX
|
0
)
，这与
题
设
矛
盾
< br>，
故
P
(|
X
EX
|
0
)
0
，
于
是
得
到
P
(|
X
EX
|
0
)
1
< br>
P
(|
X
EX
|
0
)
1
p
即
P
(
X
EX
0
)
1
p
1
p
,
P
(
X
EX
0
)
,
p
P
(
X
EX
)
。
2
2
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央圆吏轨磷靶鼻
汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨
刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿炼与境渗横伊捍吁补乃驳变验
温官沮桥屁绵吁见勾豁悉驱玲松
欢钒仲粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤应滨块匹鸡疾孤西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴
稳掸疑看远绢僚招拘吐股像古乞琅泞嫁日
止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓弄就颧掳
畸慌案孜兆然遭泪糠刻盏卫客杉速迭彝尊废囊寞亏断吗诉衬数龚氟仔肉蚜凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命灶讥眯
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