一元一次不等式知识点总结
-
一元一次不等式
知识点一：不等式的概念
1.
不等式：
用“＜”
(
或“≤”
)
，“＞”
(
或“≥”
)
等不等号表示大小关系的式子，叫做不等
式
.
用“≠”表示不等关系的式子
也是
不等式
.
要点诠释：
(1)
不等号的类型
:
①
“≠”读作“不等于”，它说明两
个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左
边的数比右边的数大；
③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；
④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；
⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；
(2)
等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系
，但
不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3)
要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”
、“不小于”等数学术语
的含义。
2
．不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解
。
要点诠释：
由不等式的解的定义可
以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个
解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边 利用不等式的概念
进行判断。
3
．不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成
这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
如：不等式
< br>x
－
4
＜
1
的解集是
x
＜
5.
不等式的解集与不等式的解的区别
:
解集是能使不等式成立的未知数的取值范围
,
是所有解
的
集合
,
而不等式的解是使不等式成立
的未知数的值
.
二者的关系是
:
解集包括解
,
所有的解组成了解集。
要点诠释：
不等式的解集必须符合两个条件：
(1)
解集中的每一个数值都能使不
等式成立；
(2)
能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质
基本性质
1
：不等式的两边都加上
(
或减去
)
同一个整式，不等号的方向不变。
符号语
言表示为：如果
，那么
。
基本性质
2
：不等式的两边都乘上
(
或除以
)
同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果
，并且
，那么
（或
）。
基本性质
3
：不等式的两边都乘上
(
或除以
)
同一个负数，不等号的方向改变。
符号语
言表示为：如果
，并且
，那么
（或
）
要点诠释：
(
1)
不等式基本性质
1
的学习与等式的
性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；
(2)
要理解不等式的基本性质
1
中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式
或多项式；
(3)
“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；
如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；
“不等号的方向改变”指的是如果原来是“
＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；
(4)
运
用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质
3
，在乘
(
除
)
同一个
数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，
如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变
。
知识点三：一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，且含未知数的
式子都是整式，未知数的次数是
1
，系数不为
< br>0.
这样的不等式，叫做一元一次不等式。
要点诠释：
(1)
一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：
①左右两边都是整式
(
单项式或多项式
)
；
②只含有一
个未知数；③未知数的最高次数为
1
。
(2)
一
元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。
相同点
：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是
1
，左右
两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等
关系
(
用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接
)
，
一元一次方程表示相等关系
(
用“＝”连接
)
。
知识点四：一元一次不等式的解法
1
.
解不等式：
求不等式解的过程叫做解不等式。
2.
一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类
似，其根据是不等式的基本
性质，解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)
去分母；
(2)
去括号；<
/p>
(3)
移项；
(4)
合并同类项；
(5)
系数化为
1.
要点诠释：
（
1
）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，
可根据具体问题灵活运用（
2
）解不等式应注意：①
去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若 括号前面是负号，括号里的
每一项都要变号；④在不等式两边都乘
(
或除以
)
同一个负数时，不等号的
方向要改变。
3.
不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解
集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的
解集有很大帮助。
要点诠释：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（
1
< br>）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（
2
）方向：大向右，小向左
规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）
1
、不等
式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质
2
、
3
要倍加小心）
2
、检验一个数值是不是已知不等式
的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；
若不成立，则就不是不等式的解。
3
、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式
变形，最终目的是将原不等式变为
或
的形式，
< br>其一般步骤是：（
1
）去分母；（
2
）去括号；（
3
）移项；（
4
）合并同类项；（
5
）化未知数的系数为
1
。这五个步骤根据具体题
目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为
1
时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，
如果是个正数
，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。
解一元一次不等式的一般步骤及注意事项
变形名称
具体做法
注意事项
（
1
）不含分母的项不能漏乘（
2
）注意
分数线有括号作用，
去分母
在不等式两边同乘以分母的最小公倍数
去掉分母后，如分子是多项式，要加括号（
3
）不等式两边同
乘以的数是个负数，不等号方向改变。
去括号
根据题意，由内而外或由外而内去括号均可
< br>把含未知数的项都移到不等式的一边
（通常是左
边），不
含未知数的项移到不等式的另一边
把不等式两边的同类项分别
合并，
把不等式化为
合并同类项
或
的形式
，
若
（
1
）运用分配律去括号时，不要漏
乘括号内的项（
2
）如果
括号前是“—
”号，去括号时，括号内的各项要变号
移项（过桥）变号
移项
合并同类项只是将同类项的系数
相加，字母及字母的指数不
变。
在不
等式两边同除以未知数的系数
且
若
且<
/p>
，
则不等式的解集为
，则不等式的解集为
；
（
1
）分子
、分母不能颠倒
系数化
1
；若
且
（
2
）不等号改不改变由系数
的正负性决定。
，则不等式的解
（
3
）计算顺序：先算数值后定符号
集为
；若
且
，则不等式
的解集为
；
4
、将一元一次不等
式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，
二是定方向，三是定空实。
5
、用一元一次不等式解答实际问题
，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际
问题。
6
、常见不等式的基本语言的意义：
（
1
）
，则<
/p>
x
是正数；（
2
）
，则
x
是负数；
（
3
）
，则<
/p>
x
是非正数；（
4
）
，则
x
小于
y
；（
7
）
，则
x
是非负数；（
5
）
，则
x
不小于
y
；
< br>（
8
）
，则
x
大于
y
；
，则
x
不大于
y
；
（
6
）
（
9
）
或
，则
x
，
y
同号；
（
10<
/p>
）
或
，则
x
，
y
异号；
（
11
）
x
，
y
都是正数，若
，则
；若
，则
；
（
12
）
x
，
y
都是负数，若
知识点
1
：不等式的定义
，则
；若
，则
一元一次不等式（组）
1
．下列各式中不是不等式的为（
）
A
．
2
5
B
．
x
< br>9
2
C
．
5
x
8
知识点
2
：列不等式
2
．代数式
3
x
4
的值不小于
0
，则据此可列不等式为（
）
A
．
3
x
4
0
B
．
3
x
< br>4
0
C
．
3
x
4
0
D
．
3
x
4
0
D
．
6
< br>y
1
0
知识点
3
：不等式的基本性质的应用
3
．已
知
x
<
y
，则
2
2
x
y
(
用不等号填
空
)
。
<
/p>
3
3
D
．
a
－
4
＜
b
－
4
4
．已知
a
＜
b
，下列四个不等式中不正确的是
(
) <
/p>
A
．
4
a
＜
4
b
5
．若
k
B
．－
4
a
＜－
4
b
C
< br>．
a
+4
＜
b
+4
0
，则下列不等式中不能成立的是
(
) <
/p>
B
．
6
k
A
．
k
5
k
4
5
k
C
．
3
k
1
k
D
．
< br>
k
k
6
9
知
识点
4
：不等式的解与解集
6
．当
x
取下列数值时
，能使不等式
x
1
< br>
0
，
x
2
0
都
成立的是
(
)A
．－
2.5
B
．－
1.5
C
．
0
D
．
1.5
7
．下列说法①
x
< br>0
是
2
x
1
0
的
解；②
x
x
1
1
不是
3
x
1
0
的解；③
<
/p>
2
x
1
0
的解集是
x
2
；④
的解集是
x
2
3
x
1
，其中正确的个数是
(
)A
．
1
个
B
．
2
个
<
/p>
C
．
3
个
D
．
4
个
知识点
5
：不等式的解集的数轴表示
8
< br>．在数轴上表示不等式
x
≥
－<
/p>
2
的解集，正确的是
(
)
A
B
C
D <
/p>
知识点
6
：一元一次不等式的定义
9
．下列属于一元一次不等式的是（
）
A
．
10>8
B
．
2
x
1
3
y
2
C
．
< br>2(1
y
)
< br>
知识点
7
：一元一次不等式的
整数解
1
y
1
D<
/p>
．
x
2
3
5
2