八年级一元一次不等式(教师讲义带答案)资料讲解
-
学习资料
第四章
<
/p>
一元一次不等式
(
组
)
考点一、不等式的概念
（
3
分）
<
/p>
1
、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2
、不等式的解集：对于一个含有未知数的
不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这
个不等式的解。
3
、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的
集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的
解集。
<
/p>
4
、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5
、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质
（
3-5
分）
1
、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等
号的方向不变。
2
、不等式两边都乘
以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3
、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4
、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是
随着加或乘的运算改变。②如果
不等式乘以
0
< br>，那么不等号改为等号所以在题目中，
要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出
现一
元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为
0
，否则不等式不成立；
考点三、一元一次不等式
（
6--
8
分）
1
、一元一次不等式的概念
：
一般地，不等式中只含有一个未知数
，未知数的次数是
1
，且不等式的两
边
都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2
、解一元一次不等式的一般步骤：
（
1
）去分母（
2
）去括号（
3
）移项（
4
）合并同类项（
5
）将
x
项的
系数化为
1
考点四、一元一次不等式组
（
8
分）
<
/p>
1
、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就
组成了一个一元一次不等式组。
2
、
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3
、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4
、当任何数
x
都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5
、一元一次不等式组的解法
（
1
）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（
2
）利用
数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6
、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉
，
=
，
〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
号的方向不变。③不等式的
两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘
以或除以同一个负
数，不等号方向相反。
7
、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
经典例题透析
类型一：解一元一次不等式组
1
、解不等式组
，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：
先求出不等式①②的解集
，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的
解集。
解析：
解不等式①，得
x
≥－
；解不等式②，得
x
＜
1
。
所以不
等式组的解集为－
≤
x
＜
1
在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升
华
：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆
点，无等号画空
心圆圈。
举一反三：
【变式
1
】
解不等式组：
解析：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示这两个不等式的解集为：
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
∴原不等式组的解集为：
<
/p>
【变式
2
】解不等式组：
思路点拨：
在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：
（
1
）不等
式组里不等式的个数并未规定；
（
2
）在同一不等式组里的未知数必须
是同一个
.
（
3
）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区
别
解法一：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
解不等式③，得：
在数轴上表示这三个不等式的解集为：
∴原不等式组的解集为：
解法二：
解不等式②，得：
解不等式③，得：
由
与
得：
再与
求公共解集得：
.
【变式
3
】
解不等式组：
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
解析：
解不等
式①得：
x
＞－
2
解不等式②得：
x
< br>＜－
7
∴不等式组的解集为无解
【变式
4
】解不等式：－
1
＜
< br>≤
5
思路点拨
：
(1)
把连写不等式转
化为不等式组求解；
(2)
根据不等式的性质，直接求出连写不
等式的解集。
< br>解法
1
：原不等式可化为下面的不等式组
解不等式①，得
< br>x
＞－
1
，解不等式②，得
x
≤
8
所以不等式组的解集为－
1
＜
x
≤
8
。即原不等式的解集为－
1
＜
x
≤
8
解法
2
：<
/p>
－
1
＜
≤
5
，－
3
＜
2x
－
1
≤
15
，－
2
＜
2x
≤
16
，－
1
＜
x
≤
8
。
所以原不等式的解集为－
1
＜
x
≤
8
总结升华
：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等
式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法
2.
【变式
5
】求不等式组
的整数解。
思路点拨
：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分
得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
解析
：解
不等式①，得
x
≥
；解不等式②，得<
/p>
x
≤
4
。
在数轴上表示不等式①②的解集<
/p>
(
如图
)
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
所以不
等式组的解集为
≤
x
≤
4
。
所以它的整数解为
3,4
。
类型二、含参数的一元一次不等式组
2
、若不等式组
无解，求
a
的取值范围
.
思路点
拨：
由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，即“大大小小”，也就是说如果<
/p>
x
比一个较大的数
大，而比一个较小的数
小，则这样的数
x
不存在
.
解析：
依题意：
2a-5
≥
3a-2
，
解得
a
≤
-3
总结升华：
特别地，当
2a-5
与
3a
-2
相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对
它们相等时的考虑
.
举一反三：
【变式
1
】
若不等式组
无解，则
的取值范围是什么？
，从而得
.
解析：
要使不等式组无解，故必须
【变式
2
】若关于
的不等式组
的解集为
，则
的取值范围是什么？
解析：
由
而由<
/p>
+1
可解出
可解出
，
，
，
而不等式组的解集为
故
即
，
.
总结升华：
上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高
.
解这类题目的
关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻
理解，如变式
2
，最后归结为对不等式组
求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。
解集的确定，这就要
各种学习资料，
仅供学习与交流
学习资料
【变式
3
】不等式组
的解集为
x
＜
2
，试求
k
的取值范围
.
解析：
由②得
x
＜
k
,
，由①得
x
＜
2,
∵不等式组的解集为
x
＜
2
，
∴
2
≤<
/p>
k.
即
k
≥
2.
<
/p>
【变式
4
】已知关于
的不等式组
解析：
∵不等式组
不等式组
的解为
:
的解为
:
的整数解共有
5
个，求
的取值范围。
由于原不等式组有解，∴解集为
在此解集内包含
< br>5
个整数，则这
5
个整数依次是
∴
m
必须满足
【变式
5
】若不等式组
的解集为－
1
＜
x
＜
1
，则
(a
＋
b)
2008
＝＿＿＿。
解析
：由
①知
x
＞
a
＋
2
，由②知
x
＜
，
∵
a
＋
2
＝－
1
，
＝
1
，∴
a
＝－
3
，
b
＝
2
，
2008
∴
a
＋
b
＝－
1
，∴
(a
＋
b)
＝
(
－
1)
2008
＝
1
。
类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题
3
、某校
在一次外出郊游中，把学生编为
9
个组，若每组比预定的人数多
1
人，则学生总数超过
200
人；若
每组比预定的人数少
< br>1
人，则学生总数不到
190
人
，求预定每组学生的人数。
思路点
拨
：运用不等式解应用题的方法，找出题目中的不等关系，列不等式组，本题中的两个不
等关系是：①
9
个小组中每组比预定
的人数多
1
人，学生总数超过
200<
/p>
人；②
9
个小组中每组比预定的人数少<
/p>
1
人，学生总数不到
190
人。
解析
：设预定每组学生有
x
人
，根据题意，得
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
解这个不等式组，得
，所以不等式组的解集是
，
其中符合题意的整数解只有一个<
/p>
x
＝
22
。
答
：预定每组学生的人数为
22
人。
总结升华
：列不等式
(
组
)
解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，
一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。<
/p>
举一反三：
【变式
1
】
某饮料厂为了开发新产品，用
A
、
B<
/p>
两种果汁原料各
19
千克、
17.2
千克，试制甲、乙两种新型饮料共
50
千克，下表是试验的相关数据：
饮料每千克含量
A
（单位：千克）
B
（单位：千克）
甲
0
．
5
0
．
3
乙
0
．
2
0
．
4
（
1
）假设
甲种饮料需配制
x
千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出
其解集。
（
2
）设甲种饮料每千克成本为
4<
/p>
元，乙种饮料每千克成本为
3
元，这两种
饮料的成本总额为
y
元，请用含
<
/p>
有
x
的式子来表示
y
。并根据（
1
）的运算结果，确定
当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料
的成本总额最小？
解析：
（
1
）
0.5x+0.2(50
-x)
≤
19
①
0.3x+0.4(50-x)
≤
17.2
②
由①得
x
≤
30,
由②得
x
≥
28
∴
28
≤
x
≤
30
（
2
）
y=4x+3(50-x)
，即
y=x+150
因为
x<
/p>
越小，则
y
越小，
所以当
x=28
时，甲、乙两种饮料的成本
总额最少。
【变式
2
】
某园林的门票每张
10
元，一次使用。考虑到人们的不同需求，
也为了吸引更多的游客，该园林除保留
原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票
”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票人使用一年）。年
票分
< br>A
、
B
、
C
三类：
A
类年票每张
120
元，持票者进入园林时，无需再购买门票；
B
类年票每张
60
元，持票者进入该
园林时，需再购买门票，每次
2
元；
C
类年票每张
40
元
，持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次
3
元。
（
1
）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用
80
元花在该园林的门票上，试通过计
算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（
2
）求一年中进入该园林至少多少次时，购买
A
类年票才比较合算。
思路点拨：
“合算”是指进园次数多而花钱少，或是花相同的钱进园的次
数最多，显然是通过计算进行代数式比
较和建立不等式（组）关系。
解：
（
1
）不可能选
A
< br>类年票，
若选
B
类年票，则为
10
次；
若选
C
类年
票，则为
13
次；
若不购买年票，则为
8
次
所以计划用
80
元花在该园林的门票上时，选择购买
C
类年票的方法进入园
林的次数最多，
为
13
次。
（
2
）设至少超过
x
次时，购买
A
类年票才比较合算，<
/p>
则
60+2x
＞
120
解得
x
＞
30
40+3x
＞
120
解得
x
＞
26
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
10x
＞
120
解得
x
＞
12
∴
x
＞
30
所以，一年中进入该园林至少超过
30
次时，购买
A
类年票才比较合算。
【变式
3
】
若干名学生，若干间宿舍，若每间住
4
人将有
< br>20
人无法安排住处；若每间住
8
人，则有一间宿舍的人
不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？
< br>
解析：设宿舍共有
x
间。
解得：
5
＜
x
＜
7
∵
x
为整数
∴
x
＝
6
学生人数
4
×
6
＋
20
＝
44(
人
)
答：学生
44
人，宿舍
6
间。
【变式
4
】某学校计划组织
385
名师生租车旅游，现知道出租车公司有
42
座和<
/p>
60
座客车，
42
座客车的租金为每
辆
320
元，
60
座客车的租金为每辆
460
元，
（
1
）若学校单独租用这两种客车各需多少钱？
（
2
）若学校同时租用这两种客车
8
辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节
省的租车方案。
解析：（
1
）
385
÷
42
≈
9.2
单独租用
42
座客车需
10
辆，租金为
320
×
10
＝
3200(
元
)
385
÷
60
≈
6.4
单独租用
60
座客车需
7
辆，租金为
460
×
7<
/p>
＝
3220(
元
)
（
2
）设租
用
42
座客车
x
辆，则
60
座客车需
(8
－
x)
辆
解得：
因
x
取整数
x
＝
4
，
5
当<
/p>
x
＝
4
时，租金
为
320
×
4
＋
460
×
(8
－
4)
＝
3120(
元
)
当
x
< br>＝
5
时，租金为
320
×
5
＋
460
×
(8
－
5)
＝
2980(
元
) <
/p>
所以租
5
辆
42
座，
3
辆
60
座最省钱。
【变式
5
】
解方程
。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上
与
1
和－
2
的距离之和为
5
的点对应的
x
的值。在数轴上，
1
和－
2
的距离为
3
，满足
方程的
x
对应点在
1
< br>的右边或
－
2
的左边，若
x
对应点在
1
的右边
，由图（
17
）可以看出
x
＝
2
；同理，若
x
对应点在－
2
的左边，可得
< br>x
＝－
3
，
故原方程的解是
x=2
或
x=
－
3
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
参考阅读材料，解答下列问
题：
（
1
）方程
（
2
）解不等式
各种学习资料，仅供
学习与交流
≥
9
；
的解为