【奥赛】小学数学竞赛：统筹规划.学生版解题技巧 培优 易错 难
-
统筹规划
教学目标
1.
掌握合理安排时间、地点问题
.
2.
掌握合理布线和调运问题．
知识点拨
知识点说明：
统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好
先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲
自带领
小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本
中，曾有一篇名为《统
筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用
数学来研究人力、物力的运用和筹划，
使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常
广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对
策、实验最优等等，每类问题都有
特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知
识及方法，但是其
中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索
的
方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最
好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设
置问题等。这些都是人们日常生活、工
作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合
理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“
节省跑空车的距离
”
是物资调运问题的一个原则。<
/p>
“
发生对流的调运方案
”
不可能是最优方案。
“
小往大
靠，支往干靠
”
。
例题精讲
板块一、合理安排时间
【例
1
】
一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎
1
张饼需要
2
分钟
(
正面、反面各
1
分钟
)
．问：煎
3
张饼需几分钟？怎样煎？
【巩固】
烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去
3
分钟，那么用一次可容下
2
块饼的锅来烙
21
块饼，至少需要多少分钟？
【巩固】
一只平底锅上最多只能煎两
张饼，用它煎
1
张饼需要
2
分钟
(
正面、反面各
1<
/p>
分钟
)
．问：煎
2009
张饼需几分钟？
【例
2
】
星期天妈妈要做好多事情。擦玻
璃要
20
分钟，收拾厨房要
15
分钟，洗脏衣服的领子、袖口要
10
分钟，打
开全自动洗衣机洗衣服要
40
分钟，晾衣服要
< br>10
分钟。妈妈干完所有这些事情最少
用多长时间？
【巩固】
妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用
1
< br>分钟，烧开水要用
15
分钟，洗茶壶要用
1
分钟，
洗茶杯要用
1
分钟，拿茶叶要用
2
分钟。小明估算了一下，
完成这些工作要花
20
分钟。为了使
客
人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了
?
【巩固】
小明在家的一面墙上贴奖状
，一共有
32
张，给一张奖状涂满胶水需要
2
分钟，涂完胶水后要过
2
分钟才
能往墙上贴，
贴的过程需要
1
分钟，<
/p>
但是如果等待超过
6
分钟的话胶水就会干
掉不能再
贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？
【例
3
】
小明骑在牛背上赶牛过河．共有
甲、乙、丙、丁
4
头牛．甲牛过河需要
1
分钟，乙牛过河需要
2
分钟，丙牛过
河需要
5
分钟，丁牛过河需要
6
分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把
这
4
头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？
【巩固】
有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让
2
个人同时通过，否则桥会倒
塌．过桥的人必须要用到手电筒，
不然会一脚踏空．只有一个手电筒．
4
个人的行走速度不同：<
/p>
小强用
1
分种就可以过桥，中强要
2
分中，大强要
5
分
中，最慢的太强需要
10
分中．
17<
/p>
分钟后
桥就要倒塌了．请问：
4
个人要用什么方法才能全部安全过桥？
【巩固】
有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要
12<
/p>
分钟；孩
子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时
间也较长，
8
分钟；母亲则一直坚持劳
作，动作还算敏捷，过桥要
6
分钟；两个孩子中姐姐需要
3
分钟，弟弟只要
1
分钟．当时正是
初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五
指．所幸的是他们有
一盏油灯，
同时可以有两个人借助灯光过桥
．
但要命的灯油将尽，
这盏灯只能再维持
30
分钟了！
他们焦急万分，该怎样过桥呢？
【巩固】
小强、小明、小红和小蓉<
/p>
4
个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过
一
座小木桥到西岸，但是他们
4
个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过
2
人，因
此必须先由
2
个人
拿着手电筒过桥，
并由
1
个人再将手电
筒送回，
再由
2
个人拿着手电筒过桥<
/p>
……
直到
4
人都
通过小木桥．已知，小强单独过桥要
1
分钟；小明单独过桥要<
/p>
1.5
分钟；小红单独过
桥要
2
分钟；小蓉单独过桥要
2.5
< br>分钟．那么，
4
个人都通过小木桥，最少要多少分钟？<
/p>
【例
4
】
6
个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满
6
个人的水桶所需时间分别是
5
分钟、
4
分钟、
3
< br>分钟、
10
分钟、
7
分钟、
6
分钟．
现在只有
这一个水龙头可用，
问怎样安排这
6
人
的打水次序，
可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？
【例
5
】
有甲、乙两个水龙头，
6
个人各拿一只
水桶到水龙头接水，水龙头注满
6
个人的水桶所需时间
分别是
5
分钟、
4
分钟、
3
分钟、
1
0
分钟、
7
分钟、
6
分钟．怎么安排这
6
个人打水，
才能使他
们等候的总时间最短，最短的时间是多少？
【巩固】
车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为
< br>18
，
30
，
< br>17
，
25
，
< br>20
分
钟，每台车床停产一分钟造成经济损失
5
元．现有两名工作效率相同的修理工，⑴
怎样安排才
能使得经济损失最少？⑵
怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
【巩固】
理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要<
/p>
10
、
12
、<
/p>
15
、
20
和<
/p>
24
分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所
用时间的总和最少？
最少时间为多少？
【巩固】
设有十个人各拿着一只提桶
同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要
1
分钟，
注
满第二个人的桶需要
2
分钟，
……
．如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人
打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？
【例
6
】
右图是一张道路示意图，
每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间
(
单位：
分
)
．
小明从
A
到
B
最快要几分钟？
G
6
5
E
4
5
0
3
F
3
H
7
6
4
6
B
D
C<
/p>
A
1
4
【巩固】
下图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口
A
，
B
，
C
< br>的机动车辆
数如图所示，图中
x
1
，
x
2
，<
/p>
x
3
分别表示该时段单位时间通过路段<
/p>
AB
，
BC
，<
/p>
CA
的机动车辆数
(
假
设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等
)
，问：
x
1
，
x
2
，
x
3
的大
小关系．
50
55
X
3
X
1
20
30
X
2
30
35
【例
7
】
某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去
.
显然公共汽车的速度
比自行车速度快，但乘公共汽车
有一个等候时间
(
候车时间可以看成是固定不变的
)
，在任何情
况下，
他总是
采用时间最少的最佳方案
.
下表表示他到达
A
、
B
、
C
三地采用最佳方案所需要的时
间
.<
/p>
为了到达离住地
8
千米的地方，他需要花
多少时间？并简述理由
.
板块二、合理安排地点
【例
8
】
如图，在街道上有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车
站的距
离之和最短，车站应该设在何处？
A
B
C
D
E
F<
/p>
【巩固】
如图，在街道上有
A
、
B
、
C
、
D
< br>、
E
五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最
短，车
站应立于何处？
A
B
C
D
E
【巩固】
如图，在街道上有
A
、
B
、
C
、
D
、
< br>E
五栋居民楼，每栋楼里每天都有
20
< br>个人要坐车，现在设立
一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设
在何处？
【巩固】
有
1993
名少先队员分散在一条公路
上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点
集合，可以使他们从各自的宣
传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
【巩固】
道路沿线有一些垃圾回收站点，现需要将每个回收站点的垃圾都运送到一个处理场
(
处理场也可
以设在站点上
< br>)
，希望所有站点到处理场的距离总和最短．⑴若有
2<
/p>
个回收站点，请在下面线上
用
▲
标出这个处理场的位置．
站点
1
站点
2
< br>A
B
C
D
E
⑵若有
3
个回收站点，请在下面线
上用
▲
标出这个处理场的位置．
站点
1
站点
2
站点
3
⑶若有<
/p>
4
个回收站点，请在下面线上用
▲
标出这个处理场的位置．
站点
1
站点
2
站点
3
站点
4
⑷若有
5
个回收站点，请在下面线上用
▲
标出这个处理场的位置．
站点
1
站点
2
站点
3
站点
4
站点
5
⑸若有
59
个回收站点，请说明这个处理场应设的位置．
【例
9
】
在一条公路上每隔
100
千米，有一个
仓库
(
如图
)
共有
5
个仓库，一号仓库存有
10
吨货物，二号
仓库有
20
< br>吨货物，五号仓库存有
40
吨货物，其余两个仓库是空的
．现在想把所以的货物集中
存放在一个仓库里，如果每吨货物
运输
1
公里需要
0.5
元运输费，那么最少要多少运费才行？
一
二
三
四
五
【巩固】
在一条公路上，每隔
10
千米有一座仓
库
(
如图
)
，
共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重
量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓
库里，如果每吨货物运输
1
千米需要运费
0.9
元，那
么集中到哪个仓库运费最少？
< br>
10
吨
20
< br>吨
40
吨
10
< br>吨
A
30
吨
B
20
吨
C
10
吨
D
【巩固】
在一条公路上，每隔
100
千米有一座仓库，共有
8
座，图中数字表示各仓库库存货物的重量
(
单
位：吨
)
，其中
C<
/p>
、
G
为空仓库．现在要把所有的货物集中
存入一个仓库里，如果每吨货物运输
1
千米需要
0.5
元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？
A
10
B
< br>30
C
D
20
< br>E
5
F
10
G
H
60
60
吨
E
【巩固】
一条直街上有
5
栋楼，从左到右编号为
1
，
2
，
3
，<
/p>
4
，
5
，相邻两
楼的距离都是
50
米．第
1
号楼
有
1
名职工在
A
厂上班，第
2
号楼
有
2
名职工在
A
厂上班
……
，第
5
< br>号楼有
5
名职工在
A
厂上
班．
A
厂计划在直街
上建一通勤车站接送这
5
栋楼的职工上下班，
< br>为使这些职工到通勤车站所走
的路程之和最小，车站应建在距
1
号楼多少米处？
【例
10
】
某个班的
20
个学生的家庭住址在城市
中的分布如图（圆点是各个学生的家庭住址，线段是街
道），如果这个班的学生举行一个
聚会，为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该
选择
十字路口附近的地点。（横线上填十字路口的坐标，如
标为
D
3
）。
所在的十字路口的坐