曲线和方程练习题集
-
曲线与方程
一、选择题
x
→
→
1
．已知两定点
A
(1,1)
，
B
(
－
1
，－
1)
，动点
P
满足
PA
·
PB
＝
，则点
P
的轨迹
2
2
是
(
)
A
．圆
B
．椭圆
C
．双曲线
D
．拋物线
→
＝
(1
－
x
,
1
－
y
)<
/p>
，
PB
→
＝
(
－
1
－
x
，－
1
－
y
)
，
解析
设点
P
(
x
，
y
)
，则
PA
→
→
所以
PA
·
PB
＝
(1
－
x
)(
－
1
－
x
)
＋
(1
－
y
)(
－
1
－
y
)
＝
x
2
＋
y
2
－
2.
由已知
x
2
＋
y
2
－
2
＝
，即
＋
＝
1
，所以点
P
的轨迹为椭圆．
2
4
2
答案
B
1
<
/p>
1
2
．已知点
F
，
0
，直线
l
：
x
＝－
，点
B
是
l
上的动点．
若过
B
垂直于
y
轴的
4
4
直线与线段
BF
的垂直平分线交于点
M
，则点
M
的
轨迹是
(
)
．
A
．双曲线
B
．椭圆
C
．圆
D
．抛物线
解析
由已知：
|
MF
|
＝
|
MB
|.
由抛物线定义知，点
M
的轨迹是以
F
为焦
点，
l
为
准线的抛物线，故选
D.
答案
D
3
．长为
3
的线段
AB
的端点
A
、
B
分别在
x
轴、
y
轴上移动，
AC
＝
2
CB
，则点
x
2
x
2
< br>y
2
C
的轨迹是
(
)
A
．线段
C
．椭圆
B
．圆
D
．双曲线
解析
设
C<
/p>
(
x
，
y
)
，
A
(
a,
0)
，
B
(0
，
b
)
，则
a
2
＋
b
2
＝
9
，①
又
AC
＝
2
CB
，所以
< br>(
x
－
a
，
y
)
＝
2
(
－
x
，
b<
/p>
－
y
)
，
a
＝
3
x
，
即
3
b
＝
y
，
2
②
<
/p>
代入①式整理可得
x
2
< br>＋
＝
1.
4
y
2
答案
C
4
．
设圆
(
x<
/p>
＋
1)
2
＋
y
2
＝
25
的圆心为
C
，
A
(1,0)
是圆内一定点，
Q
为圆周上任一点．
线
段
AQ
的垂直平分线与
CQ
的连线交于点
M
，则
M
的轨迹方
程为
(
)
．
4
x
2
4
y
2
A.
－
＝
1
21
25
4
x
2
4
y
2
C.
－
＝
1
25
21
4
x
2
4
y
2
B.
＋
＝
1
21
25
4
x
2
4
y
2
D.
＋
＝
1
25
21
解析
M
为
AQ
垂直
平分线上一点，则
|
AM
|
＝
|
MQ
|
，
∴
|
< br>MC
|
＋
|
MA
|
＝
|
MC
|
＋
|
MQ
|
＝
|
C
Q
|
＝
5
，故
M
的轨迹为椭圆，
< br>∴
a
＝
，
c
＝
1
，则
2
5
21
，
4
b
2
＝
a
2
－
c
2
＝
4
x
2
4
y
2
< br>∴椭圆的标准方程为
＋
＝
1.
25
21
答案
D
5
．已知二面角
< br>α
－
l
－
β
的平面角为
θ
，点
P
在二面角内，
PA
⊥
α
，
PB
⊥
β
，
A
，
B
为垂足，且
PA
＝
4
，
PB
＝
5
，设
A
，
B
到棱
l
的距离分别为<
/p>
x
，
y
，当
θ
变
化时，点
(<
/p>
x
，
y
)
的轨迹方程是
(
)
A
．
x<
/p>
2
－
y
2
＝
9(
x
≥
0)
B
．
x
2
－
y
2
＝
9(
x
≥
0
，
y
≥
0)
C
．
y
2
－
x
2
＝
9(
y
≥
0
)
D
．
y
2
－
x
2
＝
9(
x
≥
0
，
y
≥
0)
解析
实际
上就是求
x
，
y
所满足的一个等式，
设平面
PAB
与
二面角的棱的交点
是
C
，
则
AC
＝
x
，
BC
＝
y
< br>，
在两个直角三角形
Rt
△
PAC
，
Rt
△<
/p>
PBC
中其斜边相等，
根据勾股定理即可
得到
x
，
y
所
满足的关系式．如图，
x
2
＋
4
2
＝
y
2
＋
5
2
< br>，
即
x
2
－
y
2
＝
9(
x
≥
0<
/p>
，
y
≥
0)
．
答案
B
6
．△
ABC
的顶点
A
(
－
5,0)
< br>、
B
(5,0)
，△
ABC
的内切圆圆心在直线
x
＝
3
上，则顶
点
< br>C
的轨迹方程是
(
)
A.
－
＝
1
9
16
x
2
y
2
B.
－
＝
1
16
9
D.
－
＝<
/p>
1(
x
>4)
16
9
x
2
y
2
C.
－
＝<
/p>
1(
x
>3)
9
16
x<
/p>
2
y
2
x
2
y
2
解析
如图
|
AD
|
＝
|
AE
|
＝
8
，
|
BF
|
＝
< br>|
BE
|
＝
2
，
|
CD
|
＝
|
CF
|
，
所以
|
CA
|
－
|<
/p>
CB
|
＝
8
－
2
＝
6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以
A
、
B
为焦点，
实轴长
为
6
的双曲线的右支，方程为
－
＝
1(
x
>3)
．
9
16
答案
C
7
．
|<
/p>
y
|
－
1
＝
A
．抛物线
C
．两个圆
1
－
x
－
1
2
表示的曲线是
(
)
．
B
．一个圆
D
．两个半圆
x
2
y
2
解
析
|
y
|<
/p>
－
1
≥
0
原方程等价于
1
－
x
－
1
2
≥
0
|
y
|
－
1
2
< br>＝
1
－
x
－
1
2
|
y
|
－
1
≥
0
⇔
2
x
－
< br>1
＋
y
≥
1
⇔
x
－
1
答案
D
二、填空题
|
y
|
－
1
2
＝
1
2
＋
y
－
1
2
＝
1
y
< br>≤
－
1
或
x
－
1
2
＋
y
＋
1
2
＝
1
8.
在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的中心为原点，焦点
F
1
,
F
2
在
x
轴上，离<
/p>
心率为
2
。过
l
的直线
交于
A
,
B
两点，且
ABF
2
的周长为
16
，那么
C
的方程
2
为
。
答案
<
/p>
a
a
9
．在△
ABC
中，
A
为动点，
B<
/p>
、
C
为定点，
B
－
，
0
，
C
，
0
(
a
>0)
，且满足
2
2
1
条件
sin
C
－
sin
B
＝
sin
A
，则动点
A
的轨迹方程是
________
．
2
|
AB
|
|<
/p>
AC
|
1
|
BC
|
解析
由正弦定理：
－
＝
×
，
2
R<
/p>
2
R
2
2
R
1
∴
|
AB
|
－
|
AC
|
＝
|
BC
|
，且为双曲线右支．
2
16
x
2<
/p>
16
y
2
答案<
/p>
－
2
＝
1(
x
>0
且
y
≠
0)
a
2
3
a
10
．已知圆的方程为
x
2
＋
y
2
＝
4<
/p>
，若抛物线过点
A
(
－
1,0)
、
B
< br>(1,0)
且以圆的切线
为准线，则抛物线的焦点轨迹方
程是
____________
．
解析
设抛物线焦点为
F
，过
A
、
< br>B
、
O
作准线的垂线
AA
1
、
BB
1
、
OO
1
，则
|
AA
1
|
＋
|
BB
1
|
＝
2|
< br>OO
1
|
＝
4
，由抛物线定义得
|
AA
1
|
＋
|
BB
1
|
＝
|
FA
|
＋
|
FB
|
，∴
|
FA
|
＋
< br>|
FB
|
＝
4
，故
F
点的轨迹是以
A
、
B
为焦点，长轴长为
4
的椭圆
(
去
掉长轴两端点
)
．
答案
x
2<
/p>
y
2
＋
＝
1(
y
≠
0)
4
3
11
．已知<
/p>
P
是椭圆
2
＋<
/p>
2
＝
1
上的任意
一点，
F
1
、
F
2
是它的两个焦点，
O
为坐标
x
2
y
2
b
→
a
< br>→
→
原点，
OQ
＝
PF
1
＋
< br>PF
2
，则动点
Q
的轨迹方程是
______________
．
→
→
→
解析
由
OQ
＝
PF
1
＋
PF
2
，
→
→
→
→
< br>→
又
PF
1
＋
PF
2
＝
PM
＝
2
PO
＝－
2
OP
，
→
1
→
1
设
Q
(
x
，
y
)
，则
OP
＝－
OQ
＝－<
/p>
(
x
，
y
)
2
2