一元二次方程练习题 (含答案)
-
一元二次方程练习题
题号
一、
填
二、
选
三、
多
空题
择题
项选
四、
简
五
、
计
总分
择
答题
算题
得分
评卷人
得分
一、填空题
（每空
5
分，共
30
分）
1
、
关于
x
的一元二次方程（
m
﹣
2
）
x
2
+3x+m
2
﹣
4=0
有一个解是
0
，则
m=
．
2
、已知关于
x
的
一元二次方程
x
2
﹣
< br>2
x+k=0
有两个不相等的实数根，则
k
的取值范围是
．
3
、已知圆锥底面圆的半径为
6cm
，它的侧面积为
60
π
cm
2
，则这个圆锥的高是
4
、已知
m
、
n
是关于
x
的一元二次方程
x
2
﹣
2ax+a
2
+a
﹣
2=0
< br>的两实根，那么
m+n
的最大值是
5
、
若
α
、
β
是一
元二次方程
x
2
+2x
﹣
6=0
的两根，则
α
2
+
β
2
=
．
6
、一元二次方程
x
2
+mx+2m=0
（
m
≠
0
）的两个实根分别为
x
1
，
x
2<
/p>
，则
=
．
评卷人
得分
二、选择题
（每空
5
分，共
35
分）
7
、下列选项中一元二次方程的是（
）
A
．
x=2y
﹣
3
B
．
2<
/p>
（
x+1
）
=3
C<
/p>
．
2x
2
+x<
/p>
﹣
4
D
．<
/p>
5x
2
+3x
﹣
4=0
8
、一元二次方程
x
2
﹣
2x=0
的根是（
）
A
．
x
1
=0
，
x
2
=
﹣
2B
．
x
1
=1
，
x
2
=2C
．
x
1
=1
，
x
< br>2
=
﹣
2D
．
x
1
=0
，
x
2
=2
9
、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为
3cm
的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为
300cm
3
，则
原铁皮的边长为（
< br>
）
A
．
10cm
B
．
13cm
C
．
14cm
D
．
16cm
10
、某服装店原计划按每套
200
元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打
折
处理，最后价格调整为每套
128
元．若两次降价折扣率相同，
则每次降价率为（
）
A
．
8%B
．
18%C
．
20%D
．
25%
11
、如图，在长为
33
米宽
为
20
米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的
部分为草坪，要使草坪的面
积为
510
平方米，则道路的宽为（
）
A
．
1
米
B
．
2
米
C
．
3
米
D
．
4
米
12
、已
知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程
的两根，则此直角三角形的斜边长为
(
).
A.
B.3
C.
D.13
13
、
要组织一次篮球邀请赛，
参
赛的每个队之间都要比赛一场，
计划安排
15
< br>场比赛，
设比赛组织者应邀请
x
个队参赛，
则
x
满足的关系式为（
）
A
．
x
（
x+1
）
=15
B
．
x
（<
/p>
x
﹣
1
）
=15
C
．<
/p>
x
（
x+1
）<
/p>
=15
D
．
x
（
x
﹣
1<
/p>
）
=15
14
、由一元二次方程
x
2
+px+q=0
的两个根为
p
、
q
，则
p
、
q
等于
（
）
A.0
B.1
C.1
或
-2
D.0
或
1
评卷人
得分
三、多项选择
（每空
5
分，共
5
分）
15
、方
程
的两根分别为
，
，且
，则
的取值范围
是
．
评卷人
得分
四、简答题
（每题
10
分，共
110
分）
<
/p>
16
、试求实数
（
≠
1
），使得方程
的两根都是正整数
.
17
、已知关于
< br>的一元二次方程
有两个实数根
和
．
（
1
）求
实数
的取值范围；（
2
）当
时，求
的值．
18
、如图，在矩形
ABCD
中，
AB=4cm
，
BC=
cm
，点
P
从点
A
出发以
1cm/s
的速度移动到点
B
；点
P
出发几秒
后，点
P
、
A
的距离是点
P
、
C
距离的
倍？
19
、某
汽车销售公司
6
月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽
车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出
1
部汽车，则该部
汽车的进价为
27
万元，每多售出
1<
/p>
部，所有售出的汽车的进价均降低
0.1
万元
/
部，月底厂家根据
销售量一次性
返利给销售公司，销售量在
10
部以内（含
10
部），每部返利
0.5
万元；
销售量在
10
部以上，每部返利
1
万元．
（
1
）若该公司当月售出
3
部汽车，则每部汽车
的进价为
万元；
（
2
）如果汽车的售价为
28
万元
/
部，该公司计划当月盈利
12
万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利
=
销售利润<
/p>
+
返
利）
20
、
某花圃用花盆培育某种花苗，
经试验发现每盆花的盈利与每盆花中花苗的株数有如下关系：
每盆植入
花苗
4
株时，
平均单株盈利
5
元；以同样的栽培条件，若每盆每增加
1
株花苗，平均单株盈利就会减少
0.5
元．要
使每盆花的盈利
为
24
元，且尽可能地
减少成本，则每盆花应种植花苗多少株？
21
、一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度
可以用二次函数
< br>刻画，其中
表示足
球被踢出后经过的时间．
（
1
）解方程
，并说明其根的实际意义；
（
< br>2
）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？
22
、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿
车的拥有量逐年增加
.
据统计，某小区
2014
年底拥有家庭轿车
64
辆，<
/p>
2016
年底家庭轿车的拥有量达到
10
0
辆
.
（
1
）
若该小区
2014
年底到
< br>2016
年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，
求
该小区到
2017
年底家庭轿
车将达到
多少辆？
（
2
）
为了缓解停车矛盾，该小区决定投资
15
万
元再建造若干个停车位
.
据测算，建造费用分别为室内车位
5000
元
/
个，
露天车位
1000
元
/
个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的
2
倍，求该小区最多可
建室内车位多少个？
23
、某商店销售一种销售成本为
40
元
/
千克的水产品，若按
50
元
/
千克销售，一个月可售出
500
千克，销售价每涨价
1
元，月销售量就减少
10
千克
.
(1)
写出月销售利润<
/p>
y(
单位：元
)
与售价
x(
单位：元
/
千克
)
之间的函数解析式
.
(2)
当售价定为多少时会获得最大利润？求出最大利润
.
(3)
商店想在月销售成本不超
过
10000
元的情况下，使月销售利润达到
< br>8000
元
，销售单价应定为多少？
24
、
.
要制作一个如图所示
(
图中阴影部分为底与盖
,
且
S
Ⅰ
=S
Ⅱ
)
的钢盒子
,
在钢片的四个角上分别截去两个相同的正方形
与两个
相同的小长方形
,
然后折合起来既可
,
求有盖盒子的高
x.
25
、如图，中间用相同的白色正方
形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（<
/p>
1
）问：在第
6
个图中，黑色瓷砖有
__________
块，白色瓷砖有
__________
块；
（
2
）某商铺要装修，准备使用边长为
1
米的正方形白色瓷砖和长为
1
米、宽为
0.5
米的长方形黑色瓷砖来铺地面．且
该商铺按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块
100
元，黑色瓷砖每块
50
元，
贴瓷砖的费用每平方米
15
元
．经测算总费用为
15180
元．请问两种瓷砖各需要买多少块
？
26
、
已知：平行四边形
ABCD
的两边
AB
、
BC
的长是关于
的方程
的两个实数根．
（
1
）试说明：无论
取何值方程总有两个实数根
（
2
）当<
/p>
为何值时，四边形
ABCD
是菱形？求出
这时菱形的边长；
（
3
）若
AB
的长为
2
，那么平行四边形
ABCD
的周长是多少？
评卷人
得分
五、计算题
（每题
5
分，共
35
分）
27
、用恰当的方法解下列方程：
28
、解方程：
29
、
x<
/p>
2
﹣
7x
﹣
18=0
．
30
、
2x
2
+12x
﹣
6=0
31
、解方程：
．
参
考答案
一、填空题
1
、
﹣
2
．
【考点】一元二次方程的解．
【分析
】
一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
将
x=0
代入方程式即得．
【解答】解：把
x=0
代入一元二次方程（
m
﹣
2
）
x
2
+3x+m
2
﹣
4=0
，得
m
2
< br>﹣
4=0
，即
m=
±
2
．又
m
﹣
2
≠
0
，
m
≠
2
，取
m=
﹣
2
．
故答案为：
m=
﹣
< br>2
．
【点评】此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
<
/p>
2
、
k
＜
3
．
【考点】根的判别式．
【分析】根据
一元二次方程的根的判别式，建立关于
k
的不等式，求出
k
的取值范围．
【
解答】解：∴
a=1
，
b=
﹣
2
，
c=k
，方程有两个不相等的实数根，
∴△
=b
2
﹣
4ac=12<
/p>
﹣
4k
＞
0
，
∴
k
＜
3
．
故填：
k
＜
3
．
3
、
8
cm
．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】设圆锥的
母线长为
l
，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆
锥底面圆的周长，扇形的半径等于
圆锥的母线长，则
l
•
2
π
•
6=60
π
，然后利用勾股定理计算圆
锥的高．
【解答】解：
设圆锥的母线长为
l
，
根据题意得
l
•
2
π
•
6=60
π
，
解得
l=10<
/p>
，
所以圆锥的高
=
=8
（
cm
）．
故答案为
8
．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆
的周长，扇形的半径等于圆
锥的母线长．也考查了勾股定理．
4
、
4
．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】
先根据判别式的意义确定
a
≤
< br>2
，
再根据根与系数的关系得到
m+n=2a
，
然后利用
a
的取值范围确定
m+n
的最大
值．
【解答】解：根据题意得△
=4a
2
﹣
4
（
a
2
+a
﹣
2
）≥
0
，解
得
a
≤
2
，<
/p>
因为
m+n=2a
，
所以
m+n
< br>≤
4
，
所以
m+n
的最大值为
4
．
故答案为
4
．
【点评】
本题考查了根与系数的关系
：
若
x
2
1<
/p>
，
x
2
是一元二
次方程
ax
+bx+c=0
（
a
≠
0
）
的两根时，
x
1
+x
2
=
﹣
，
x
1
x
2
=
．
也
考查了一元二次方程根
的判别式．
5
、
16
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】
利用根与系数的关系可得出
α
+
β
和
α
β
，且
α
2
+
β
2
=
（
α
+
β
）
2
﹣
2
α
β
，代入计算即可．
【解答】解：
<
/p>
∵
α
、
β
是一元二次方程
x
2
+2x
﹣
6=0
的两根，
∴
α
+
< br>β
=
﹣
2
，
α
β
=
﹣
6
，
∴
α
2
+
β
2
=
（
α
+
β
）
2
< br>﹣
2
α
β
=
（﹣
2
）
2
﹣
2
×（﹣
6
）
=4+12=16
，
故答案为：
16
．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，把
α
2
+
β
2
化成（
α
+
β
）
2
﹣
2
α
β
是解题的关键．
6
、
﹣
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】
由根与系数的关系可得
x
1
+x
2
=
﹣
m
，
x
1
•
x
2
=2m
，继而求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程
x
2
+mx+2m=0
（
m
≠
0
）的两个实根分别为
x
1
，
x
2
，
∴
x
1
+x
2
< br>=
﹣
m
，
x
1
•
x
2
=2m
，
∴
=
=
﹣
．
二、选择题
7
、
D
【考点
】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定
义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（
1
）未知数的最高
次数是
2
；（
2
）
二次项系数不为
0
；（
3
）是整式方程；（
4
）
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件
者为正确答案．<
/p>
【解答】解：
A
、是二元一次方程，故此选项错误；
B
、是一元一次方程，故此选项错误；
C
、不是方程，故此选项错误；
D
、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；
故选：
D
．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看
是否是整式方程，然后看化
简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2
．
8
、
D
【考点】解一元二次方程
-
因式分解法．<
/p>
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的
解即可．
【解答】解：
x
2
﹣
2x=0
，
x
（
x
﹣
2
）
=0
，
x=0
，
x
﹣
2=0
，
x
1
=0
< br>，
x
2
=2
，
故选
D
．
9
、
D
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设正方形铁皮的边长应是
x
厘米，则
做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（
x
﹣
3
×
2
）厘米，高为
3
厘米，根
据长方体的体积计算公式列方程解答即可
．