圆的一般方程练习题
-
课时作业
23
圆的一般方程
(
限时：
10
分钟
)
1
．若圆
x
2
＋
y
2
－
< br>2
x
－
4
y
＝
0
的圆心到直线
x
－
y
＋
a
＝
0
的距离为
< br>2
2
，
则
a
的值为
(
)
1
3<
/p>
A
．
－
2
或
2
B.
2
或
2
C
．
2
< br>或
0
D
．－
2
或
0
解析：
圆的标准方程为
(
< br>x
－
1)
2
＋
(
y
－
2)
2
＝
5
，
圆心为
(1,2)
，圆心
到直线的距离
|1
－
2
＋<
/p>
a
|
2
＝
2
，解得
a
＝
0
或
2.
1
2
＋
－
1
2
< br>
答案：
C
2
．
若圆
x
2
< br>＋
y
2
－
2
ax
＋
3
by
＝
0
的圆心位于第三象限
，
那么直线
x
＋
ay
＋
b
＝
0
一定不经过
(
)
A
．
第一象限
B
．第二象限
C
．
第三象限
D
．第四象限
3
a
，－
解析：
圆心为
2
b
，则有
a
<0
，
b
>0.
直线
x
＋
ay
＋
b
＝
0
变为
1
b
1
b
y<
/p>
＝－
a
x
－
a
.
由于斜率－
a
>0
，在
y
轴
上截距－
a
>0
，故直线不经过第
四象限．
答案：
D
3
．
直线
y
＝
2
x
＋
b
恰好平
分圆
x
2
＋
y
2
＋
2
x
－
4
y
＝
0
，
则
b
的值为
(
)
A
．
0
B
．
2
C
．
4
D
．
1
解析
：
由题意可知，直线
y
＝
2
x
＋
b
< br>过圆心
(
－
1,2)
，
∴
2
＝
2
×
(
－
1)
＋
b
，
b
＝
4.
答案：
C
4
．
M
(3,0)
是圆
< br>x
2
＋
y
2
－
8
x
－
2
y
＋
10<
/p>
＝
0
内一点
，<
/p>
过
M
点最长的弦
所在的直线方程为
________
，
最短的弦所在的直线方程是
________
．
解析：
由圆的几何性质可知，过圆内一点
M
的最长的弦是直径，
最短的弦是与该点和圆心的
连线
CM
垂直的弦．
易求出圆心为
C
(4,1)
，
k
CM
＝
1
－<
/p>
0
4
－
3
＝
1
，
∴
最短的弦所在的直线的斜率为－
1
，由点斜式，分
别得到方程：
y
＝
x
－
3
和
y
＝－
(
x
－
3)
，即
x
－
y
－
3
＝
0
和
x
＋
y
－
3
＝
0.
答案：
x
－
y
－
3
＝
0
x
＋
y
－
3
＝
0
5
．
求
经过两点
A
(4,7)
，
B
(
－
3,6)
，
且圆心在直线
2
x
＋
y
－
5
＝
0
上
的圆的方程．<
/p>
解
析
：
设
圆
的
方
程
为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0
，
其
圆
心
为
E<
/p>
D
－
，－
，
2
2
< br>－
3
＋
6
－
3
D
＋
6
E
＋
F
＝
0
，
由题意得<
/p>
D
E
2·
－
2
< br>＋
－
2
－
5
＝
0.
2
2<
/p>
4
2
＋
7
2
＋
4
D
＋
7
E
＋
F
＝
0
，
4
D
＋
7
E
＋
F<
/p>
＝－
65
，
<
/p>
即
3
D
－
6
E
－
F
＝
45
，
2
< br>D
＋
E
＝－
10
，
D
＝－
2
，
解得
E
＝
－
6
，
<
/p>
F
＝－
15.
所以，所求的圆的方程为
x
2
＋
y
2
－
2
x
－
< br>6
y
－
15
＝
0.
(
限时：
30
分钟
)
1
．
圆
x
2
＋
y
2
＋
4
x
－
6<
/p>
y
－
3
＝
0
的圆心和半径分别为
(
)
A
．
(2
，
－
3)
；
16
B
．
(
－
2,3)
；
4
C
．
(4
，<
/p>
－
6)
；
16
D
．
(2<
/p>
，
－
3)
；
4
解析：
配方
，得
(
x
＋
2
)
2
＋
(
y<
/p>
－
3)
2
＝
16
，所以，圆心为
(
－
2,3)
，半
径为
4.
答案：
B
2
．
方程
x
2
＋
y
2
＋
4
x
－
2
y
＋
5
m
＝
0
表示圆的条件是
(
)
< br>1
A.
4
<
m
<1
B
．
m
>1
1
C
．
m
<
4
D
．
m
<1
解析：
由
4
2
＋
(
－
2)<
/p>
2
－
4
×
5
m
>0
解得
m
<1.
答案：
D
3
．
过坐标原点
，
且在
< br>x
轴和
y
轴上的截距分别是
2
和
3
的圆的
方程为
(
)
A
．
x<
/p>
2
＋
y
2
－
2
x
－
3
y
＝
0
B
．
x
2
< br>＋
y
2
＋
2
x
－
3
y
＝
0
C
．<
/p>
x
2
＋
y
2
－
2
x
＋
3
y
＝
0
D
．
x
< br>2
＋
y
2
＋
2
x
＋
3
y
＝
0
解析
：
解法一
(
排除法
)
：由题意知，圆过三点
O
(0,
0)
，
A
(2,0)
< br>，
B
(0,3)
，分别把
A
，
B
两点坐标代入
四个选项，只有
A
完全符合，故
选
A.
解法二
(<
/p>
待定系数法
)
：设方程为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0
，
F
＝<
/p>
0
，
则
2
D
＋
F
＝－
4
，
3
< br>E
＋
F
＝－
9
，
解法三
(
几何法
)
：
由题意知，直线过三点
O
(0,0)
，
A
(2,0)
，
< br>B
(0,3)
，
由弦
AB
所对的圆心角为
9
0°
，
知线段
AB
为圆的直径，
即所求的
3
1
13
1
，
圆是以
AB
中点
2
为圆心，
2
|
AB
|
＝
2
为半径的圆
，其方程为
(
x
3
2
13
2
2
，化为一般式得
< br>x
2
＋
y
2
－
2
x
－
3
y
＝
0.<
/p>
－
1)
＋
y
－
2
＝
2
答案：
A
4
．
设圆的方程是
x
2
＋
y
2
＋
2
ax
＋
2
y
＋
(
a
－
1)
< br>2
＝
0
，
若
0<
a
<1
，
则原
点
(
)
A
．
在圆上
B
．
在圆外
C
．
在圆内
D
．
与圆的位置关系不确定
解析：
圆的标准方程是
(
x
＋
a
)<
/p>
2
＋
(
y
＋
1)
2
＝
2
a
，因为
0<
a
<1
，所以
(0<
/p>
＋
a
)
2
＋
(0
＋
1)
2
－
2
a
＝
(
a
－
1)
2
>0
，即
0
＋
a
< br>
2
＋
0
＋
1
2
>
2
a
，所以
D
＝－
2<
/p>
，
解得
E
＝－
3
，
F
＝
0
，
故方程为
x
2
＋
y
2
－<
/p>
2
x
－
3
y
＝
0.