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2021年2月24日发(作者：名词解释健康)

常微分方程基础练习题答案

求下列方程的通解

dy

dy

x

2

2

Ce

，

C

为任意常

分离变量

xdx

，

y

数

dx

y

1 x

2

dy 0

dy

x

分离变量

dx

，

y

Ce

1 x

2

，

C

任意常数

y

1

x

2

y ln y 0

分离变量

dy

1

dx

，

y Ce

x

y ln y

x

4.( xy

2

2

ydy

xdx

2

2

x)dx ( x

y y)dy 0

分离变量

2

2

，

(1

y

)(1

x

) C

1

y

1 x

5.

dy

(2 x y 5)

2

令

u

2x y 5

则

du

2

1

u

dy

，

du

dx

，

arctan

x C

1

dx

dx

dx

u

2

2

2

2

1

y

6.

dy

x

y

，原方程变为

dy

x

，令

u

y

，

dy

u x

du

2

，代入得

1

u

du

1

dx

dx

x

y

dx

1

y

x dx

dx

1

u

2

x

x

2arctan u

u

ln x

C

，

u

y

x

回代得 通解

y

2arctan

ln x

y

x

x

C

y x

2

dy

y

2

y

2

0

方程变形为

dx

x

x

y

y

x

du

2

1 u

1

0

，令

u

，代入得

arctanu ln x C

y

u

y

回代得通解

arctan

ln x

y

C

，

x

x

x

8.x

dy

y

y ln

y

，方程变形为

dy

y

ln

，令

u

y

du

dx

，

，

u

e

Cx 1

，

yxe

Cx 1

dx

x

dx

x x

x

u(ln u 1)

x

dx

x

9.

2xy 4x

，一阶线性公式法

y e

dx

10.

dy

2xdx

( 4 xe

2 xdx

dx C) Ce

x

2

2

dy

y

2x

2

1

dx

( 2x

2

e

1

dx C) x

3

dx

Cx

dx

x

2

11.( x

1)y

2xy 4x

，方程变形为

y

2

2x

2

y

1

x

4x

2

2

一阶线性公式法

y

1

1 x

2

(

4

x

3

C)

x

1

3

12.( y

2

6x)

dy

2y

0

，方程变形为

dx

dx

，方程变形为

1

dy

3

x

dy

y

1

y

一阶线性公式法

y

2

1

1

y

2

Cy

3

2

2

3x

1

x

伯努利方程，令

z y

,

dz

y

2

dy

代入方程得

13. y 3xy xy

y

2

dx

y

Ce

dx

2

3

x

2

dx

dz

3xz

dx

x

一阶线性公式法再将

z

回代得

1

1

y

1 1

3 y

3

3

14.

dy

1

y

1

3

z

(1 2x) y

4

，方程变形为

1

dy

y

4

dx

dx

3

1

(1 2x)

伯努利方程，令

3

y

3

,

dz

1

Ce

x

3y

2x 1

4

dy

dx

代入方程得

dz

z 2x 1

，一阶线性公式法再将

z

回代得

dx

dx

y

3

15.y

5y

6 y

0

，特征方程为

r

2

5r

6

0

，特征根为

r

1

y

C

1

e

2x

C

2

e

3x

2, r

2

3

，通解

16.16y 24y 9y

0

，特征方程为

16r

3

x

2

24r 9 0

，特征根为

r

1,2

3

4

，通解

y

(C

1

C

2

x)e

4

17.y

y

0

，特征方程为

r

2

r

0

，特征根为

r

1

0, r

2

1

，通解

y

C

1

C

2

e

x

18.y

4y

5y

0

，特征方程为

r

2

4r

5

0

，特征根为

r

1

2

i, r

2

2

i

，通解

y

e

2 x

(C

1

cos x

C

2

sin x)

19.( x

2

y)dx xdy

0

，全微分方程

x

2

dx

( ydx

xdy)

0

，

d

x

d( xy)

0

，通解

3

程

3

x

3

xy

C

3

0

20.( x

3

y)dx ( x

y)dy 0

，

2

y

d

全

微

分

方

x

3

dx

( ydx

xdy ) ydy

，

4

x

d

d( xy)

4

4

x

0

，通解

xy

2

4

y

2

2

C

21.( x

2

y

2

)dx

(2 xy

y)dy

0

全微分方程

x

2

dx

( y

2

dx

2xydy )

ydy

0

，

d

x

3

d ( xy

) d

2

y

2

0

，通解

x

3

xy

2

3

2

3

y

2

2

C

22.(x cosy

cosx) y

ysin x

sin y

0

，全微分方程

ysin xdx)

0

，

d( x sin y)

d( y cosx)

0

，通解

( xcos ydy

sin ydx)

(cos xdy

xsin y

y cosx

C

1

x

23.(3 x

2

y)dx (2 x

2

y x)dy

C

，

3x

2

dx 2x

2

ydy

ydx

xdy 0

，积分因子

2

，方程变

为

3dx 2ydy

ydx

xdy

0

，

d3x dy

2

x

2

d

y

0

，通解

3x y

2

x

y

C

x

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