数学小知识
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数学小知识
阿拉伯数字在生活中，我们经常会
用到
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
这些数字。那么你知
道这些数字是谁发明的
吗？
这些数字符号原来是古代印度人发
明的，后来传到阿拉
伯，
又从阿拉伯传到欧洲，
欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，
就把它们叫做“阿拉伯数字”，因为流传了许
多年，人们叫得
顺口，所以至今人们仍然将错就错，把这些古代印度人发明
的数字符号叫做阿拉伯数字。
现在，阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符号。
九
九
歌
九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。
远在公元前的春秋战国时代，九九歌就已经被人们广泛
使用。在当时
的许多著作中，都有关于九九歌的记载。最初
的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如
四”止，共
36
句。因
为是从“九九八
十一”开始，所以取名九九歌。大约在公元五
至十世纪间，九九歌才扩充到“一一如一”
。大约在公元十三、
十四世纪，
九九歌的顺序才变成和现在所用
的一样，
从“一一
如一”起到“九九八十一”止。
现在我国使用的乘法口诀有两种，一种是
45
句的，通常
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称为“小九九”；还有一种是
81
句的，通常称为“大九九”。
音乐与数学
动人的音乐常给人以美妙的感受。
古人云：余音绕梁，
三日不绝，
这说的是唱得好，
也有的人五音不全，
唱不成调，
这就是唱得不好了。
同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人
的感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声
振动频率
不同。
人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受，但对谐
和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦
振动频率和
弦的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经
得出弦振动的频率公式是
W
=
，这里，
P
是弦的材料的线
密度；
T
是弦的张力，也就是张紧程度；
L
是弦长；
W
是频
率，通常以每秒一次即
赫兹为单位。
< br>那么，决定音乐和谐的因素又是什么呢？人类经过长期
的研究，发现它决定于两音
的频率之比。两音频率之比越简
单，两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。
首先，
最简单之比是２：
１。
例如，
一个音的频率是
160
、
7
赫兹，那么，与它相邻的协和音的频率应该是
2
×
260
、
7
赫兹，这就是高八度音。而与频率为
2
×
260
、
7
赫兹的音和
谐的次一个音是
4
×
260
、
7
赫兹。这样推导下去，我们可以<
/p>
得到下面一列和谐的音乐：
260
、
7
，
2
×
260
、
7
，
22<
/p>
×
260
、
7<
/p>
……
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我们把它简记为
C0
，
C1
，
C2
，……，称为音名。
由于我们讨论的是音的比较，可暂时不管音的绝对高度（频
率），因此又可将音乐简写为：
C0C1C2C3
……
20212223
……
需要说明的是，在上面的音列中，
不仅相邻的音是和谐
的，而且
C
与
C2
，
C
与
C3
等等也都是和谐的。一般说来
这些协和音
频率之比是
2M
。（其中
M
是自然数）
等号与不等号
Ec
等号与不等号的发明权属于英国人。
１５５７年，数学家雷科德在他的
《智慧的激励》一书
中，首先把“＝”作为等号，他说：“最相像的两件东西是两条
平行线，
所以这两条线应该用来表示相等。
”他的书
《智慧的
激励》也因此引起了人们极大的兴趣。
在数学中，等
号“＝”既可表示两个数相等，也可以表示
两个式子相等，但无论何种相等，它们都遵循
以下规则：
（１）若
a=b
，那么对于任何数
c
，有
a
±
c
=b
±
c
；
（２）若
a=b
，那么
b=a
；
（３）若
a=b
，
b=c
，那么
a=c
；
（４）若
a=b
，那么对于任何数
c
，有
ac=b
c
。
人们起初用“
”和“
”。<
/p>
表示大于和小于，
英国人乌特
勒首次在他
的《数学入门》一书中使用了它们。另一英国数
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学家哈里奥特引入了现在的两个符号：＞、＜。他在自己的
书中明确地写道：
“
a
＞
b
表示
a
量大于
b
量，
a
＜
b
表示
a
量
小于
b
量。”
不等号在数学中有着普遍应用，在使用它们时，应遵循
如下原则（
a
、
b<
/p>
为实数）
（１）若
a
＞
b
，则
b
＜
a
（２）若
a
＞
b
，那么对于任何实数
c
，有
a
±
c
＞
b
±
< br>c
；
（３）若
a
＞
b
，
c
为大
于零的实数，那么
ac
＞
bc
；
（４）若
a
＞
b
，
c
为小于零的实数，那么
ac
＜
bc
；
（５）若
a
＞
b
，
b
＞
c<
/p>
，那么
a
＞
c<
/p>
。
加减乘除的来历
加减乘除（＋、－、×
(
•
)
、÷
(
∶））等数学符号是我们每
一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不
开它们，
几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单，
直到１７世纪中叶才全部形成。
法国数学家许凯在１４８４年写成的《算术三篇》中，
使用了一些编写符号，如用
D
表示加法，用<
/p>
M
表示减法。
这两个符号最早出现在德国
数学家维德曼写的《商业速算
法》中，他用“＋”表示超过
,<
/p>
用“─”表示不足。到１５１４年，
荷兰的赫克首次用“＋”表示
加法，用“─”表示减法。１５４４
年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“
＋”和“─”
表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛
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采用。
以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的。
他于１
６３１年出版的《数学之钥》中引入这种记法。据说是由加
法符号＋
变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发
展而来的。后来，莱布尼兹认为“×”
容易与“
X
”相混淆，建议
用“•”表
示乘号，这样，“•”也得到了承认。
除法符号“÷”是英国的瓦里斯最
初使用的，
后来在英国得到
了推广。除的本意是分，符号“÷”
的中间的横线把上、下两部
分分开，形象地表示了“分”。至此，四则运算符号齐备了，
当时还远未达到被各国普遍采用的程度。
零的历史
数学史家把０称作“哥伦布鸡蛋”，这不仅是因为０的形
状像鸡
蛋，其中还含有深刻的哲理。凡事都是开创时困难，
有人开了端，仿效是很容易的。０的
出现就是一个典型的例
子，在发明之前，谁都想不到，一旦有了它，人人都会用简
单的方法来记数。
我们知道，零不仅表示一无所有，它还有以下的一些意
义；在位值制记数法中，零表示“空位”，同时起到指示数码
所在位置
的作用，如３０４中的０表示十位上没有数；零本
身还是一个数，可以同其他的数一起参
与运算；零是标度的
起点或分界，如每天的时间从０时开始。
在古代巴比伦，楔形文字的零号已
起到现今位值制中０
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号的作用，
它一方面表示零位，
另一方面也指明数码的位置。
然而
他们还没有把零看作一个数，也没有将它和“一无所有”
这一概念联系起来。
印度人对零的最大
贡献是承认它是一个数，而不仅仅是
空位或一无所有。婆罗摩笈多对零的运算有较完整的
叙述：
“负数减去零是负数，
正数减去零是正数，
零减去零什么也没
有；
零乘负数、
< br>正数或零都是零。
……零除以零是空无一物，
正数或负数
除以零是一个以零为分母的分数”。
每一个学过除
法的人都知道
，零不可以作除数，因为如果
a
≠
0<
/p>
而
b=0
，那
就
不可能存在一个Ｃ使得
bc=a
。
这个
道理尽人皆知，
但在得
到正确结论之前，却经历了漫长的历史。
我国自
古以来就用算筹来记数，早就用算筹来记数，用
的是１０进位值制。
巴比伦知道位值制，
但用的是６０进制。
印度到公元５９５
年才在碑文上有明确的１０进位值制的
记数法。位值制必须有表示零的办法。起初，中国
使用空格
来表示零，后来以○表示零，后来印度的０就传入了中国。
在我们眼里，零的存在是那么自然、简洁，但就是这么一
个简单的零，却也有这么一段颇
不简单的历史。
数学中的符号
我们知道，数学起源于结绳记数和土地测量。最初，并
没有标准数学符号，符号是后来的实践中逐渐产生并进一步
完善的。<
/p>
但是，
数学符号一旦产生，
就能简化数学
研究工作，
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促进数学的发展。所以，学
习数学，要从数学符号开始。阿
拉伯数字１、２、３、…９、０就是最简单，常用的符号
，
也就是它们引起了数学上的一场革命。
数学家
韦达第一个把符号引入数学，他用元音字母表示未
知量，用辅音字母表示已知量（方程的
正系数）。此前，所
有的已知数都是用具体数字表达的，从而限制数学的应用范
围。现在的符号体系是笛卡尔创立的。他提出，用英文字母
中前面的字母
a
、
b
、
c
表示已知数，最后的字母
x
、
y
、
z
< br>表
示未知数。
符号的使用推动了数学本身的发展
。符号一经形成，便成
为表述概念，说明方法和叙述定理必不可少的工具。建立较
好的符号系统，
便于总结运算法则，
揭示数量
关系利于推理。
一句话，符号是数学前进，发展，运用的工具。
数学符号一般有以下几种：
（１）数量符号：如
,
,
,
ｉ，２＋
ｉ，ａ，ｘ，
，自
< br>然对数底
e
，圆周率
。
（２）运算符号：如加号（
+
），减号（<
/p>
-
），乘号（×
或•），除号（÷或／）
，两个集合的并集（∪），交集（∩），
根号（
），对数（
log
，
lg<
/p>
，
ln
），比（∶），微分（
d
），积
分（∫）等。
（３）
关
系符号：
如“
=
”是等号，
“≈”或“
”是近似符号，
“≠”
是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“
”表示变量
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变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，
“⊥”是垂直符
号，“∝”是正比例符号，“∈”是属于符号等。
（４）结合符号：如圆括号“（）”方括号“
[]
”，花括号“
{}
”
括线“—”
B
（５）性质符号：如正号“
+
”，负号
“
-
”，绝对值符号“‖
（６）省略符号：如三角形（△），正弦（
sin
），
X
的<
/p>
函数（
f(x)
），极限（
lim
），因为（∵），所以（∴），总和
（∑），
连乘（∏），从
N
个元素中每次取出
R
个元素所有
不同的组合数（
C
），幂（
aM
），阶乘（！）等。
数学符号的应用，是学习数学、研究数学的重要途径，愿同
学们在数学中学好符号，用好符号。
为什么时间和角度的单位用六十进位制
时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它
们完全没有关
系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相
同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢
？
我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。
原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就
牵涉到时间
和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球
的自转，这里自转的角度和时间是紧密地
联系在一起的。因
为历法需要的精确度较高，时间的单位
小时
、角度的单位
<
/p>
度
都嫌太大，
必
须进一步研究它们的小数。
时间和角度都要
求它们的小数单位具
有这样的性质：使
1/2
、
1/3
、
1/4
、
1/5
、
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1/6
等都能成为它的整数倍。以
1/60
作为单位，就正好具有
这个性质。
譬如：
1/2
等于
30
个
1/60
，
1/3
等于
20<
/p>
个
1/60
，
1
/4
等于
15
个
1/60
……
数学上
习惯把这个
1/60
的单位叫做
分
，用符号
′
来表
示；把
1
分的
1/60
的单位
叫做
秒
，用符
号
″
来表示。
时间
和角度都用分、秒作小数单位。
这个小
数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇
到的
1/3
，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制
中就是一个整数。
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数
法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，
所以也就一
直沿用到今天。
是我国最早创造的
< br>我们知道阿拉伯数字１、２、３、４、５、６、７、８、９
原是印度人发明的，１
３世纪后期传入中国，人们误认为０
也是印度人发明的。其实印度起先发明时没有“０”
，他们把
“２０４”，
写成“２
４”，
中间空着，
把２００４，
写成“２
４”，
怎么区
别中间有几个零呢？为了避免看不清，就用点“·”来表
示，２０４写成“２·４”，那
不和小数混淆了？直到公元８７
６年才把“０”确定下来。
<
/p>
我国却在１２４０年前就已创造了“０”，我国的零，当时是
“○
”，
它是根据写字时缺字用“□”来表示缺字，
“０”表示这个
数
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没有，或这个数位上没有，
用“○”表示，随着人们长期不断地
记数，慢慢发展演变，最后确定为今天的“０”。因
此以“０”
作为零是我国古代数学家的一项杰出贡献。
米的诞生
在公元
1790
年之前世界各国的长度单位几乎各不相同，给
不同
国家的人们之间相互交流带来了很大的麻烦。这时，法
国的一位科学家他雷兰提出了制定
一个世界各国通用单位
的建议。
法国的学者取得世界各国的同意，把地球子午线上从北
极到赤道的长度的一千万分之一作为长度的单位，
叫做
1
米。
当时的科学技术还很
不发达。测量了整整七年，实际还
只是仅仅测量了西班牙的巴赛罗纳和法国的敦刻尔克之
间
的距离。通过计算得到了最初的
1
米
。
后来
1960
年的国际会议规定。一米为氪（
K8
）原子在
真空中发射的橙色光波波长的
< br>1650763.73
倍。
圆周率
圆的周长与直径的比。圆周率
是一个常数，通常用希腊字母
π表示。如果设圆的直径为
1
，并把圆内接正六边形的周长
（
P6=3<
/p>
）
看作是圆周长的近似值，
那么圆周率的
近似值就为
3
。这是我国古代最早所用的圆周率“径一周三（即
取π≈
3
）”
的来历，后人称为古率。
把圆内接正六边形的边数加倍，可
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以得到圆内接正十二边形，再加倍，可以得到圆内接正二十
四边形，
……。
这一些圆内接正多边形，
当边数成倍增长时，
它们的周长
Pn
也不断增大，
越来越接近于圆的周长，
因此，
Pn
< br>与直径的比值也越来越接近于圆周率准确值。这种求圆
周率的方法称为“割圆术”
。三国时魏人刘徽用割圆术求得
3.141024
＜π＜
3.1412704
。南北朝的祖冲之进一步算得
比
西方达到这一结果要早
110
0
多年。圆周率π是一个无理数，
即是一个无限不循环小数。<
/p>
圆的历史
古
代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，
那么是什么人作出第一个圆的呢
？
18000
年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻
不透，再从另一面钻。石器的尖是
圆心，它的宽度的一半就
是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一
个圆的孔。
到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土
放在一个
转盘上制成的。
6000
年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。
古代人还发现圆的木头滚着走比较
省劲。后来他们在搬
运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样就比
扛着走省劲得多。
大约在
6000
年前，美索不达米亚人
，做出了世界上第
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一个轮子——圆的木轮。约
在
4000
年前，人们将圆的木轮
固定
在木架上，这就成了最初的车子。
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在
2000
多年前，
是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，
圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数
学家欧几里
得给团下定义要早
100
年。
奇妙的圆形
圆形，是一个看来简单，实际上是很奇妙的圆形。
古代人最早是从太阳，从阴历十五
的月亮得到圆的概念
的。一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻
孔，那些孔有的就很圆。
以后到
了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将
泥土放在一个转盘上制成的。
当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。
古代人还发现圆的木头滚着走比较
省劲。后来他们在搬
运重物的时候，
就把几段圆木垫在大树、<
/p>
大石头下面滚着走，
这样当然比扛着走省劲得多。
大约在
6000
年前，美索不达米亚人，做出了世界上第
一个
轮子
--
圆的木盘。
大约在
4000
多年前，
人们将圆的木盘
固定在木架下，这就成了最初的车子。
会作圆，
但不一定就懂得圆的性质。
古代埃及人就认为：
圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多
年前我国的墨子
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（约公元前
468-
前
376
年）才给圆
下了一个定义：
一中同
长也
。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。
这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前
330-
前
275
年）
给圆下定义要早
100
年。
圆周率，也就是圆周与直径的比值，是一个非常奇特的数。
《周髀算经》上说
径一周三
，把圆周率看成
3
，这只是<
/p>
一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只
知道圆
周率是
3
。
魏晋时期的刘徽于公元
263
年给《九章算术》作注。他
发现
径一周三
只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他
创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长
就越
逼近圆周长。他算到圆内接正
3072
边形的圆周率，π
=
3927/1250
。刘徽已经把极限的
概念运用于解决实际的数学
问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。
祖冲之（公元<
/p>
429-500
年）在前人的计算基础上继续推
< br>算，
求出圆周率在
3.1415926
< br>与
3.1415927
之间，
是
世界上
最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：
22/7
称为约率，
355/113
称为密率。
在欧洲，直到
1000
年后的十六世纪，德国人鄂图（公<
/p>
元
1573
年）和安托尼兹才得到这个数
值。
现
在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后一千
万以上了。
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天文与数学
有这么一张画，下面是一
只小船，上面是三个太阳。这是什
么意思呢？这表示，
坐了三天
船。
太阳升落一次，
就是一天，
所以一
天又叫一日。日，是人们认识时间的基础。向上，将
日积累为月、年、世纪；向下，将日
分为时、分、秒。为了
记载日数，
原始人曾经用刀在树上刻记号
，
过一天刻上一道。
我国古代很早就发展了畜牧业和农业，因此很重视历
法，天文学非常发达。而天文学只有借助于数学才能发展，
因此，很早就
开始了数学的研究。我国最早的一部数学著作
《周髀算经》
，<
/p>
是两千多年前成书的。
它既是一部数学著作，
也是一部天文学著作。它总结了古代劳动人民天文学和数学
的成就。
我国古代曾经用干支记
日。十干就是：甲、乙、丙、丁、
戍、已、庚、辛、壬、癸。十二支即：子、丑、寅、卯
、辰、
巳、午、未、申、酉、戌、亥。将十干和十二支依次循环组
合，就得甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到任戌、癸亥等六
十个数（现在称六十甲子）
。一个数代表一天，从甲子到癸
亥，
一共六十天，
再从甲子开始，
周而复始。
例如公元前
632
年
4
月
4
日，爆发了著名的“城濮大战”，在《左传》上记载
的是：“夏月己已。”
干支不仅可以记时和日，也可以用来记月和年。月，是
从月亮来的。月
亮，每晚有变化。不但月出月落时间上有变
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化，月亮形状也有变化；圆了又缺，缺了又圆。这是古代人
观察得到的。从新月在天上出
现，一天天过去了，月亮圆了
又缺了，不见了，到下次新月又在天上出现，古代人根据刻
的日子计算得到，一个月
29
天半。（
现在知道：一个朔望
月有
29
日
12
小时
44
分
3
秒，或
29.53
日）为了使一个月
的日子是整数，以后又规定大月
30
天，小月
29
天。
《诗经》上说：“十月之交，朔日
辛卯，日有食之，亦孔
之丑。”根据我国天文学史家推算：公元前
776
年
10
月
1
日
早上
7-9
< br>点发生过日食，这天正是辛卯日。这里的“朔”字是
我国第一次使用的，意思是整
晚见不到月亮。
计年的方法比记月的多。如果开始计算的时候是收获季
节，过了
12
个多月，地球绕太阳走了一圈，果子、谷物又
成熟
了，那就叫做一年。我国古代黄河流域的人和古代斯拉
夫人都是这么计算的。埃及的尼罗
河每年
7
月开始泛滥，古
代埃及人就将
两次泛滥之间的日子称为一年。美洲印第安人
计算年以初雪为标志，澳洲人则根据雨季计
算。我国黑龙江
一带的居民，以吃大马哈鱼作为一年的标准。因为大马哈鱼
定年定时由海里进入黑龙江。这些计算年的方法当然都是很
原始，很不精确的
。我们现在都知道，地球绕太阳一周，也
就是一个太阳年，等于
365
天
5
小时
48
分
46
秒或
365.242194
天。
如果根据月亮来算，
一年
12
个月却只有
35
4
天或
355
天，平均差了
10
天
21
小时。一年差
10
天多，如
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果过上两三年就不得了，这对游牧民族和农业民族定季节就
大大
不利。于是每过两三年就增加一个月，叫做闰月，有闰
月的年叫闰年。闰年一年就有
384
或
385
天
。
我国
早在四千年前的夏朝就开始制定历法，所以叫做夏
历。在三千年前，就有十三月的名称了
。到两千多年前，人
们知道了一年等于
12
又
7/19
阴历的月，
就采用“<
/p>
19
年
7
闰”<
/p>
的方法设置闰月。
夏历既是根据月亮
（太
阳）
，
也根据太阳，
所以是阴阳历的一
种，
两千多年前秦始皇的时候
（公元前
246
年）就测得了一年平均是
365
又
1/4
天。它比阴历优越，只
是平年
和闰年，日数相差太大了。
现在世界通用的公历（阳历）也经过一个长期演变的过
程。我们先看
，公历每个月的日数是固定的：“七前单大，八
后双大”。也就是说，一、三、五、七、
八、十、腊月（十二
月）是
31
天，四
、六、九、十一月是
30
天，只有二月，平
年
28
天，闰年
29
天。
二月平年为什么只有
28
天？原来，我们今天用的公历
是从儒略历变来的。在公元前
46
年，
罗马的统帅叫儒略·恺
撒。
据说他的生日在
7
月，
为了表示他的伟大，
于是他
决定：
将
7
月叫“儒略月”，连同所有
单月都定为
31
天，双日定为
30
天，只有
2
月平年
29
天，闰年
30
天。因为
2
月是行刑
的月份，所以减少一天。恺撒的继承人
叫奥古斯都，他的生
日在
8
月。伟大人
物生日的那个月只有
30
天那怎么行？他
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决定将
8
月叫“奥古斯都月”，并且将
8
月、
10
月、
12
月都
改为
31
天，
9
月、
11
月都改为
30
天。
这一来不就多了一天
< br>吗？于是又从
2
月里拿出一天来。从此
< br>2
月平年就只有
28
天，闰年只
有
29
天了。
闰年为什么要多一天呢？前面我们
说过，地球绕太阳一
周要
365
天
5
小时
48
分
46
秒。为了方便，一年算
365
天。
那么，多出的
5
小
时多怎么办呢？人们想，每隔
4
年，就差
不多可以凑上一天了，于是四年一闰，在闰年
2
月加一天，<
/p>
现在，
公历年数，
凡是能被
4
整除的，
如
1984
、
1988
、
19
92
、
1996
年都定为闰年的。可是
，问题还没有完，因为四年实
际上只多了
23
< br>小时
15
分
4
< br>秒，还差
44
分
56
秒。这个差
数积累
400
年，
又少了
3
天。
也就是说，
每隔
400
年要少设<
/p>
三个闰年才行。于是又规定，整百年的数必须能被
400
整除
才算闰年，否则不算。例如
1600
、
2000
、
240
0
才算闰年。
1700
、
1800
、
1900
年都不
算闰年。这样，每
400
年差的三
天就
扣出来了。当然，还有一点点差距，但是那只要
3000
年以后
再调整就行了。
“数学”这一名称的由来
古希腊人在
数学中引进了名称，概念和自我思考，他们很早
就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们
的猜测仅是匆匆记
下，但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。古希腊人随意
记下的东西在１９世纪变成了大堆文章，而在２０世纪却变
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成了令人讨厌的陈辞滥调。
在现存的资料中，希罗多德（Ｈｅ
ｒｏｄｏｔｕｓ，公元前
４８４－－４２５年）是第一个开始猜想的人。他只谈论了
几何学，他对一般的数学概念也许不熟悉，但对土地测量的
准确意思
很敏感。作为一个人类学家和一个社会历史学家，
希罗多德指出，古希腊的几何来自古埃
及，在古埃及，由于
一年一度的洪水淹没土地，为了租税的目的，人们经常需要
重新丈量土地；他还说：希腊人从巴比伦人那里学会了日晷
仪的使用，以
及将一天分成１２个时辰。希罗多德的这一发
现，受到了肯定和赞扬。认为普通几何学有
一个辉煌开端的
推测是肤浅的。
柏拉图关心数学的各个方面，在他
那充满奇妙幻想的神
话故事《费德洛斯篇》中，他说：
故事发生在古埃及的洛克拉丁（区
域），在那里住着一
位老神仙，他的名字叫赛斯（Ｔｈｅｕｔｈ），对于赛斯来
说，朱鹭是神鸟，他在朱鹭的帮助下发明了数，计算、几何
学和天文学，
还有棋类游戏等。
柏拉图常常充满了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是
否正亚里士多德最后终
于用完全概念化的语言谈论数学了，
即谈论统一的、有着自己发展目的的数学。在他的《
形而上
学》（Ｍｅｔａ－ｐｈｙｓｉｃｓ）第１卷第１章中，亚里
士多德说：数学科学或数学艺术源于古埃及，因为在古埃及
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< br>
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有一批祭司有空闲自觉地致力于数学研究。亚里士多德所说
的是
否是事实还值得怀疑，但这并不影响亚里士多德聪慧和
敏锐的观察力。在亚里士多德的书
中，提到古埃及仅仅只是
为了解决关于以下问题的争论：
１．<
/p>
存在为知识服务的知识，
纯数学就是一个最佳的例子：２．知识的
发展不是由于消费
者购物和奢华的需要而产生的。亚里士多德这种“天真”的观
点也许会遭到反对；但却驳不倒它，因为没有更令人信服的
观点．
就整体来说，
古希腊人企图创造两种“科学”的方法论，
一种是实体论，而另一种是他们的数学。亚里
士多德的逻辑
方法大约是介于二者之间的，而亚里士多德自己认为，在一
般的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。古希
腊的实体论带有明显
的巴门尼德的“存在”特征，也受到赫拉
克利特“理性”的轻微影响，实体论的特征仅在
以后的斯多葛
派和其它希腊作品的翻译中才表现出来。数学作为一种有效
的方法论远远地超越了实体论，但不知什么原因，数学的名
字本身并不如“存在
”和“理性”那样响亮和受到肯定。
然而，
数
< br>学名称的产生和出现，却反映了古希腊人某些富于创造的特
性。下面我们将说明数
学这一名词的来源。
“数学”一词是来自希腊语，它意味着某种‘已学会或被理
解的东西’或“
已获得的知识”，
甚至意味着“可获的东西”，
“可
学会的东西”，即“通过学习可获得的知识”，数学名称的这些
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意思似乎和梵文中的同根词
意思相同。甚至伟大的辞典编辑
人利特雷
（Ｅ．
Ｌｉｔｔｒｅ
也是当时杰出的古典学者）
，
在他编辑的法语字典（１８７７年）中也收入了“数学”一词。
牛津英语字典没有参照梵文。公元１０世纪的拜占庭希腊字
典“Ｓｕｉｄ
ａｓ”中，引出了“物理学”、“几何学”和“算术”的
词条，但没有直接列出“数学”
—词。
“数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经
历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图
时代，这
一过程才完成。数学名称的专有化不仅在于其意义
深远，而在于当时古希腊只有“诗歌”
一词的专有化才能与数
学名称的专有化相媲美。“诗歌”原来的意思是“已经制造或完<
/p>
成的某些东西”，“诗歌”一词的专有化在柏拉图时代就完成
了。
而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的知识问
题从来没有提到诗歌，也没有提到
诗歌与数学名称专有化之
间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注
意。
首先，亚里士多德提出，
“数学”一
词的专门化使用是
源于毕达哥拉斯的想法，但没有任何资料表明对于起源于爱
奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次在爱奥尼亚人中，只
有泰勒斯（公元
前６４０？－－５４６年）在“纯”数学方面
的成就是可信的，
因为除了第欧根尼·拉尔修
（Ｄｉｏｇｅｎ
ｅｓ
Ｌａｅｒｔｉｕｓ）简短提到外，这一可信性还有一
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个较迟的而直接的数学来源
，即来源于普罗克洛斯（Ｐｒｏ
ｃｌｕｓ）对欧几里得的评注：但这一可信性不是来源于
亚
里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是
来源于早期的希罗多德，尽管他知道塞利斯是一个政治、军
事战术方面的“爱好者”，甚
至还能预报日蚀。以上这些可能
有助于解释为什么在柏拉图的体系中，几乎没有爱奥尼亚
的
成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：
“
万物都在运动中，物无常往”，
“人们不可能两次落进同一<
/p>
条河里”。
这段名言使柏拉图迷惑了，
但
赫拉克赖脱却没受到
柏拉图给予巴门尼德那样的尊敬。巴门尼德的实体论，从方
法论的角度讲，比起赫拉克赖脱的变化论，更是毕达哥拉斯
数学的强有力
的竞争对手。
< br>对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种“生活的方式”。
事实上，从公元２世纪的
拉丁作家格利乌斯（Ｇｅｌｌｉｕ
ｓ）
和公元３世纪的希腊哲学
家波菲利
（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）
以及公元４世纪的希腊哲学家扬
布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃ
ｈｕｓ）的某些证词中看出，似乎毕达哥拉斯学派对于成年<
/p>
人有一个“一般的学位课程”，其中有正式登记者和临时登记
者。
临时成员称为“旁听者”，正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员，而并不是他们精通数
学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德
神奇的发
明所深深吸引的人来说，阿基米德是唯一的独特的
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数学家，从理论的地位讲，牛顿是一个数学家，尽管他也是
半个物理学家，一般公众和新
闻记者宁愿把爱因斯坦看作数
学家，尽管他完全是物理学家。当罗吉尔·培根（Ｒｏｇｅ
ｒ
Ｂａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通过提倡接近科学
的“实体论”，向他所在世纪提出挑战时，他正将科学放进了
一
个数学的大框架，尽管他在数学上的造诣是有限的，当笛
卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１
５９６－－１６５０年）还
很年轻时就决心有所创新，于是他确定了“数学万能论”的名
称和概念。然后莱布尼茨引用了非常类似的概念，并将其变
成了
以后产生的“符号”逻辑的基础，
而２０世纪的“符号”逻辑
变
成了热门的数理逻辑。
在１８世纪，数学史的先驱作家蒙托克莱（Ｍｏｎｔｕ
ｃｌａ）
说，
他已听说了关于古希腊人首先称数学为“一般知
识”，
这一事实有两种解释：
一种解释是，
数学本身优于其它
知识领域；而另一种解释是，作为一般知识性的学科，数学<
/p>
在修辞学，辩证法，语法和伦理学等等之前就结构完整了。
蒙托克
莱接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在
普罗克洛斯关于欧几里得的评注中，
或在任何古代资料中，
都没有发现适合这种解释的确证。然而１９世纪的语源学家
却倾向于第一种解释，而２０世纪的古典学者却又偏向第二
种解释。但
我们发现这两种解释并不矛盾，即很早就有了数
学且数学的优越性是无与伦比的。
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数的发展
计数方法的出现
一般说来，最古老的数学应当从人类把大小、形状和数
的概念系统化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因
此，有数的
概念和懂得计数方法的原始人的出现可以看作是
数学的第一起点！
数的概念和计数方法还在有文
字记载以前就发展起来
了。但是，关于这些数学的发展方式则多半来源于揣测。人
类的在最原始的时代就有了数的意识，至少在为数不多的一
些东西中增
加几个或从中取出几个时，能够辨认其多寡。随
着逐步进化，简单的计算成为了生产和生
活中必不可少的活
动。一个部落首领必须知道自己的部落有多少成员、有多少
敌人；一个人需要知道他羊群里的羊是否少了。或许最早的
计数方法是使用
简单算筹以一一对应的原则来进行的。例
如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个指头
。显然，古
人也能够使用一些简单的方法计数，例如集攒小石子或小木
< br>棍；在土块或石头上刻道或在木头上刻槽；或在绳上打结，
作为对应于为数不多的
东西的数目的语言符合。以后，随着
书写方式的改变，逐渐形成了一族代表这些数目的书
写符
号。
在语言计数的较早阶段，即使是同样的数字，但如果实
际物体不
同，表示方法也大不一样。例如，对于两只羊和两
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个人所用的语音词是不同的。例如，在英语中有
team
of
horse
表示共同拉车，拉犁
的两匹马，
yoke
of
oxen
共扼的
两头牛，
brace of
partridge
一对鹧鸪，
pair of shoes<
/p>
一双鞋。
把
2
种
共同性质加以抽象，并采用与任何具体事物都无关的
某个语音来代表它，或许人类经过很
长时间以后才实现的，
虽然在今天看来，这是如此的简单。
计数方法的系统化
随着社会生产的发展，更为广泛的计数成为了生活和生
产的必需。要完成这样复杂的计数就必须将计数的方法系统
化。
古人采取的方法是这样的：把数目排列成便于考虑的基
本群；群的大小多半
以所用的匹配方式而定。也就是说：选
取某一数
b
作为计数的基（
base
）也叫记数根（
radix
）或进
位制（
scale
）并定出数目
1
，
2
，
3
……
b
的名称。这时，大
于
b
的数目用已选定名称的数目的组合表示。
由于人的手指提供了一个方便的匹
配工具，所以，人们
大多选用
10
个数
作为数基
b
，
这是不奇怪的。
例如，
考虑我
们现在用的数词，
它们就是以
10
为基而形成的。
1
，
2
，
…
…
10
这十个数，
英语中均有基特殊的
名称：
one,two,
……
ten
。
当我们数到十一时，
我们说
；
语言学家告诉我们，
它是从
ein
lifon
导出的意思是剩下或比
10
多
1
。类似地，
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twelve
（
12
）
是从
twe lif
比
10<
/p>
多
2
导出的；
还
有，
thirteen13
，
即
3
和
10
；
fourteen14
，即
4
< br>和
10
；一直到
ninetee
n19
，
即
9
和
10
。然后有
twenty20
，即
twe-tig
，或两个
10
。
Twenty-one
（两个
10
和
1
）等等。
< br>有证据表明：
2
，
3
和
4
也曾被当作原始的数基。例如，
澳洲东部昆士兰的土人就是这么计数的：
，
2
，
2
和
1
，两
个
2
，多
一些非洲矮人以
1
，
2
，
3
，
4
，
5
和
6
就是这么计
教的：
和
oa-oa-oa
。
阿根廷火地
岛的某部落，
头几个数的名称，
就是以
3
为基的；
与此相似，
南美的一些部落用
4
为基。
可以设想：五进制即以
5
为基的数系，是最初用得很广
泛的计数法。到现在，一些南美的部落还是用
手计数
-
，
2
，
3
，
4
，手
，手和
1
等等。西伯利亚的尤卡吉尔人用的是混合
基计数法：
，
2
，
3
，
3
和
1
，
5
，两个
3
，多
1
< br>个，两个
4
，
10
去
1
，
10
。
德国农民日历，
一直到
1800
年还以
5
为数基。
也有证据表明，在有史以前
12
曾被用作数基，即采用
十二进制，这主要与量度有关，使用这样的一个数基，可能
是由于一年
大约有
12
年朔望月；
也可能是上于<
/p>
12
能被许多
整数整除。例如，
1
英尺是
12
英寸，古
代的一英磅是
12
盎
斯，
1
先令是
12
便士，
1
英寸是
12
英分，
钟有
12
个小时，
一年有
12
个月。
Dozen
（打
），
gross
（箩）这些词在英语
中
还用作更高级的单位。（一打是
12
个，一箩是
12
打）。