初中数学经典题集
-
1.
小学生小明问爷爷今年多大年龄，爷爷回答说：
“
我今年的岁数是你的岁数的
7
倍
多，过
几年变成你的
6
倍，又过几年变
成你的
5
倍，再过若干年变成你的
4<
/p>
倍。
”
你说，小明的爷
< br>爷今年是多少岁？
2.
某部
队执行任务
,
以每小时
8
千米的速度前进
,
通信员在队伍中间接到任务后
,
以每小时
12
千
米的速度把命令传到队头
,
然后再传到队尾
,
最后返回他在队中原来的位置
,
从离开他在队
中的位置到返回共用
7
分
12
秒
,
问队
伍长多少米
?
3.
如图，
Rt
△
ABC
的面积为<
/p>
20
平方厘米，在
AB
< br>的同侧，分别以
AB,BC,AC
为直径作三个
半圆，求阴影部分的面积。
4.
有一个三角形满足
a
平方
+b
平方
+c
平方
+338=10a+24b+26c
，这是什么三角形？
< br>5.
在平面直角坐标系中有点
A(-1,0),
点
B(4,0),
以
A
B
为直径的半圆交
y
轴的正半轴于点<
/p>
C.(O
为原点
)
(1)
求点
C
的坐标
(2)
求过
A,B,C
三点的解析式<
/p>
(3)
在<
/p>
(2)
的条件下
,
若在抛物线上有一点
D,
使四边形
B
OCD
为直角梯形
,
求直线
BD
的解析式
(4)
设点
M
是抛物
线上任意一点
,
过点
M
做
MN
垂直
y
轴于点
N.
若在线段
AB
上有且只有一
点
P
,
使角
MPN
为直角
< br>,
求点
M
坐标
< br>.
6.
边长为
2
的正方形
ABCD
内有一
点
P
，求
PA+PB+PC
的最小值。请写出过程。
7. AB
，
AC
分别是圆
O
的直径和弦，
D
为劣弧
AC
上一点，
DE
垂直于
AB
于点
H
，交圆
O
于点
E
，交
AC
于点
F
，
P
为
ED
延长线上一
点。
问
题：当点
D
在劣弧
AC
上什么位置时，才能使
AD
的平方
=DE·
DF?
（要求自己画出图形）
8.
已知直角三角形两条直角边长的和为根号
6
，斜边长为
2
，则这
个直角三角形的面积为？
9.
若满
足不等式
8/15
的整数
k
只有一个，则正整数
n
的
最大值为多少？
请写出解答过程
10.
把一个正方形切成两个长方体后，
如果两者表面积之比为
< br>1:2,
那么两者体积之比是多少
?
11.
证明两条角平分线相等的三角形是等腰三角形
.
12.
证明：在⊙
0
中，已知半径为５厘米，弦
AB
为５倍根号２厘米，弦
AC
为５厘米，求
∠
< br>BAC
。
13.
已知三角形一边和它的对角以及另一边的中线，求作三角形。
14.
E
A
B
D
C
AB=AC
D
和
E
在
CA
和
AD
的延长线上
AD=BC=EC=ED
求证角
A
=100
度
15.
如图，
在△
ABC
中，
AC=BC=2,
∠
ACB=90
度
;,D
是
BC
边的中点，
E
是
AB<
/p>
边上一动点，
则
EC+ED
的最小值是？
16.
<
/p>
矩形
ABCD
，
AD=2AB=2
，
E
是
CD
中点，连接
BE
，
BD
，
AE
，
AE
和
BD
交于<
/p>
O
点，
求阴影
AOBED
的面积。
17.
如图所示，如果横行上的两个数字之和相等，竖列上的
两个数字之和相等，那么
A
、
B
、
C
、
D
依次可为
……
（填写一组你认为适合的数字即可，
数字不要相等）
1.
设小明今年的年
龄是
x
岁，那么爷爷年龄是
7x
。
过
n
年后，爷爷的年龄是小明的
6
< br>倍，所以
6(x+n)=7x+n,
x=5n.
所以
x
除得尽
5
。
过
m
年后，爷爷年龄是小明年龄的
6
倍，所以
5(x+m)=7x+m
。所以
x=2m.
因此
x
是偶数。
因此
x
是
10
的倍
数。爷爷的年龄是
70
的倍数。
(14
0
岁，也可能啊：
))
所以爷爷年龄是
70
岁
设小明的年龄为
x
< br>岁，爷爷是
7x
岁。
过了
a
年，
小明的年龄为
x+a
岁，爷爷是
7x+
a
岁。有
（
x+a
）
*6
=
7x+a
，化简得
x
=
5a
………………………………
（
1
）<
/p>
又过了
b<
/p>
年，小明的年龄为
x+a+b
岁，爷爷是
7x+a+b
岁。有
（
x+a+b
）
*5
=
7x+a+b
，化简得
x
=
2*
（
a+b
）
…………………
（
2
）
又过了
c
年
，小明的年龄为
x+a+b+c
岁，爷爷是
7x+a+b+c
岁。有
（
x+a+b+c
）
*4
=
7x+a+b+c
，化简得
x
=
a+b+c
…………………
（
3
）
由（
1
）、（
2
）、（
3
）式得
x
=
5a
，
3x
=
10b
，
x
=
2c
x
，
a
，
b<
/p>
，
c
都是正整数，
x
是
5
、
1
0
、
2
的倍数，
b
是
3
的倍数。
所以
x
是
10
的倍数，最小的数是
10
。
因为小明是小学生，所以只能是
10
岁，而不能
是
20
岁。所以首先考虑
x
=10
。
因此，
a
=
2
，
b
=
3
，
c
=
5
当小
明是
10
岁时，爷爷是
70
岁
——
爷爷是小明的岁数的
7
倍；
过了
2
年，小明是
12
岁，，爷爷是
72
岁
——
爷爷是小明的岁数的
6
倍；
又过了
3
年，小明是
15
岁，，爷爷是
75
岁
——
爷爷是小明的岁数的
5
倍；
又过了
5
年，小明是
2
0
岁，，爷爷是
80
岁
——
爷爷是小明的岁数的
4
倍
；
小明
的爷爷今年是
70
岁
.
2.
设队
伍长
x
米
,
通
信员来回地跑
,
往队头跑时
,
相对于队伍的速度是
12-8=4(
千米
/
小时
),
而往
后跑时
,
相对于队伍的速度是
12+8=20(
千米
/
小
时
),
他总共相对于队伍跑了
2
倍队伍的路程
,
一
段
速度为
4000
米
/
< br>小时
,
一段为
20000
米
/
小时
,
所以
x/4000 + x/20000 =
(7×
60+12)/3600
解得
x=400
< br>则队伍长
400
米
.
设队伍长
2x
。因为通信员在队伍中间，所以他
到队头和队尾的距离均为
x
。
那么，设他传到队头用的时间
t1(
也就是他追上最前面的那个人所用的时间
)
，则：
12t1=x+8t1
即：
t1=x/4
那么，
当他后来从队尾回到原来自己
所在位置
（队伍中间）的运动过程与上面相同，所用的
时间也是
t2=t1=x/4
当他从队头传
到队尾时候，设时间为
t3
（也就是他与最后面的那个人相遇的
时间）
，则：
t3=2x/(8+12)=x/10
故，整个过程用的时间
t=t1+t2+t3=(x/4)+(x/4)+(x/1
0)=3x/5
所以：
3x/5=60)
解得：
x=0.2km=200m
所以，整个队伍的长
=2x=400m
如果以部队为参照物
(
速度为
0)
通信员同向
(
通信员行进与部队前进方向相同
)
速度为
12-8=4km/h
反向速度为
12+8=20km/h
同向所用的时间应该是反向的
5
倍
,
等于
7
分
12
秒的
5/6<
/p>
，
即
6
分钟，<
/p>
所以队伍长度为：
4000*
（
6/60
）
=400
米
3
．设顶点
A
、
B
、
C<
/p>
的对边分别为
a,b,c
，由于
ABC
为等边三角形，则
a^2+b^2=c^
2
。以
c
为直径的半圆除三角形之外的
部分面积为
π（
c/2)^2/2-20,
所以阴影部分的面积为
[π（a/2)^2]/2+[π
(b/2)^2]/2
-
[π(c/2)^2]/2+20=[
π(a^2+b^2
-c^2)]/8+20=20
三角形
ABC
的面积
+
以
BC,AC
为直径的两个半圆面积
-<
/p>
以
AB
为直径的半圆面积
4.
（
a-5
）
^2+
（
b-12
）
^2+
（
c-13
）
^2=0
a^2+b^2+c^2
+338=10a+24b+26c
，
答案就是：（
a-5
）
^2+
（
b-12
）
^2+
（
c-13
）
^2=0,
a=5
，
b=12
，
c=13
为直角三角形
5.
在平面直角坐标系中有点
A(-1,0),
点
B(4,0),<
/p>
以
AB
为直径的半圆交
< br>y
轴的正半轴于点
C.(O
为原
点
)
(1)
求点
C
的坐标
OC=√[
（）
2-
（）
2]=2
∴点
C
的坐标为（
0
，
2
）
(2)
求过
A,B,C
三点的解析式
设
y=a
（
x+1
）（
x-4
），把（
0
，
2
）代入得
a=-1/2
∴
y=-1/2
（
x+1
）（
x-4
）
=-1/2x2+3/2x+2
，
(3)
在
(2)
的条件下
,
若在抛物线上有一点
D,
使四边形
BOCD
为直角梯形
,
求直线
BD
的解析式
∵由图象知，
DC‖x
轴，四边形
BOCD
为直角梯形∴点
D
的纵坐标为
2
，当
y=2
时，
-1/2x2+3/2x+2=2
，<
/p>
x1=0
，
x2=3
点
D
的坐标
为（
3
，
2
）
∴直线
BD
为
y=-2x+8
(4)
设点
M
是抛物线上任意一点
,
过点
M
做
MN
垂直
y
轴于点
N.
若在线段
AB
上有且只有一
点
< br>P,
使角
MPN
为直角
,
求点
M
坐标
.
设点
M
坐标为（
x
，
y
）由图象知，当
y=±
1/2x
时，线段
AB
上有且只有一点
P,
使∠
MPN
为直角∴
-1/2x2+3/2x+2=±
1/2x
∴<
/p>
x=1±√5
或
x=2±2√2
∴点
M
坐标为（
1+√
5
，
1/2+1/2√5
）
或（
1-
√5
，
1/2-
1/2√5
）或（
2+2√2
，
-1-
√2
）或（
2-2
√2
，<
/p>
-
1+√2
）
(
△
MPN
为等腰直角三角形）
6.
边长为
2
的正方形
ABCD
内有一点
P
，求
PA+PB+PC
的最小值。请写出过程。
解
命题就是求等腰直角三角形
ABC
的费马点问题。证明过程不列出了，仅给出结论和最
小值。
过
AB
向形外作正三角形
ABE
，连
CE
，
BD
< br>，
BD
与
CE
< br>的交点为
P
，
P
点即为所求
PA+PB
+PC
为最小值的点，
CE
就是
PA+PB+
PC
的最小值。
< br>在三角形
CBE
中，由余弦定理得
:
CE^2=BE^2+BC^2-2BE*BC*co
s
∠
CBE=4+4-
8cos150°=8+4√3
故
CE=√6+√2
。
7.
AB
，
AC
分别是圆
O
的直径和弦，
D
为劣
弧
AC
上一点，
DE
< br>垂直于
AB
于点
H
，交圆
O
于点
E
，交
AC
于点
F
。
问题：当点
D
在劣弧
AC<
/p>
上什么位置时，才能使
AD
的平方
=DE·
DF?
解
连
AE<
/p>
，
AF
。因为
A
B
是直径，
DE
⊥
AB
，所以
AD=AE
。当
AF=DF
时，此时
D
点在劣
弧
AC
的中点。有
AD^2=DE·
DF
。
等腰
ΔAFD
∽等腰
ΔDAE
，
AD/DE=DF
/AD
<==>
AD^2=DE*DF
。
8.
设：这个直角三角形的两直角边分别为
< br>a
、
b
，斜边为
c
。
则
a+b=√6,c=2
所以
(a+b)^2=6
即
a^2+2ab+b^2=6
又因为
a^2+b^2=c^2=2^2=4
所以
2ab=6-4=2
所以
ab=1
所以这个三角形面积为
1/2ab=1/2*1=1/2=
9.
8/15
＜
n/(n+k)
＜
7/13
<
/p>
化简得
6n/7
因整数
k
只有一个，固有
7n/8-6n/7
<=2.
解得
n<=
不超过
112
，检验知
11
2
满足
k=97.
故最大是
112.
8/15
＜
n/(n+k)
＜
7/13
--->13/7
＜
(n+k)/k
＜
15/8--->6/7
＜
n/k
＜
7/8
--->8/7
＜
< br>k/n
＜
7/6
--->(8/7)n
＜
k
＜
(7/6)n
k
只有一个
--->(7/6)n-
(8/7)n≤1
---
>n≤42
即
n
的最大值
=42
10.
正方体边长是
a
，沿着
x,a-x
的刻度切下，一方表面积为
2a^2+4a*x,
另一方表面积为
2a^
2+4a*(a-x),
设前者是后者
2
倍，即
2a^2+4a*x=4a^2+8a*(a-x),
解得
x=
5a/6,
则体积之比为
x:(a-x)=5:1.
11.
已知：三角形
ABC
中，
BE,CF
是角
B
,C
的平分线，
BE=CF
求证：
AB=AC
证明一：设
AB>AC,
于是角
ACB>
角
ABC
角
BCF=FCE=ACB>1/2
角
ABC=CBE
=CBF
在三
角形
BCF
和三角形
CBF
中
BC=BC
BE=CF
角
BCF>CBE
所以
BF>CE
<1>
作平行四边形
BEGF,
则角
EBF=FGE
EG=BF
FG=BE=CF
连接
CG,
三角形
FCG
为等腰三角
形
则角
FCG=FGC
因为角
FCE>FGE
所以角
<
br> <
br>BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c)
ABC
<
br>，连结 <
br>易知 CBF
ECG
则
CE>EG=BF
<2>
显然〈
1
〉
〈
2
〉矛盾
同理
AB
矛盾
则
AB=AC
证明二：
引证
:
若三角形
AD
为角平分线，
则
所以
BD=ac/(b+c)
CD=ab/(b+c)
由斯特瓦
尔特定理得：
c2(ab/(b+c))+b2(ac/(b+c))-aAD2=aa
2bc/(b+c)2
则
AD2=bc(1-(a/(b+c
)2)
三角形
中
BE
CF
为角
B
C
的平分线
由
BE=CE
得
ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2)
所
以
a(a+b+c)((a+b+c)(a2+bc
)+bc)(b-c)=0
所以
b=c
12.
答案有两个分别为
15
度或
6
0
度
13.
15.
作
D
关于
AB
的对称点
F
DF
交
AB
于
E
，则
CE+DE
为所求最小值，连结
BF
，
BF=1,
CE+DE
=CE+EF=CF=√5
---[
三角形
中用勾股定理得］
-