初中数学竞赛试题及答案汇编
-
才哥数学
481659882
全国初中数学竞赛初赛试题汇编
（<
/p>
1998-2018
）
目录
1998
年全国初中数学竞赛试卷
.
..................................................
..................................................
............
1
1999
年全国初中数学竞赛试卷
.
..................................................
..................................................
............
6
20
00
年全国初中数学竞赛试题解答
.............
..................................................
...........................................
9
2001
年
TI
杯全国初中数学竞赛试题
B
卷
............................
..................................................
...............
1
4
2002
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
1
5
200
3
年“
TRULY®
信利杯”全国初中
数学竞赛试题
................................
...........................................
1
7
2004
年
“
TRULY®
信利杯
”
全国初中数学竞赛试题
.
.....................................
..........................................
2
5
2005
年全国初中数学竞赛试卷
.
..................................................
..................................................
..........
3
0
2006
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
3
2
2007
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
3
8
2008
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
4
6
2009
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
4
7
2010
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
5
2
2011
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
5
7
2012
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
6
0
2013
年全国初中数学竞赛试题
.
..................................................
..................................................
..........
7
3
2014
年全国初中数学竞赛预赛
.
..................................................
..................................................
..........
7
7
2015
年全国初中数学竞赛预赛
.
..................................................
..................................................
..........
8
5
201
6
年全国初中数学联合竞赛试题
..............
..................................................
........................................
9
4
2017
年全国初中数学联赛初赛试卷
.........................
..................................................
...........................
1
03
2018
年初中数学联赛试题
..................
..................................................
................................................
1
05
才哥数学
481659882
才哥数学
481659882
1998
年全国初中数学竞赛试卷
<
/p>
一、选择题：
（每小题
6
分，共
30
分）
1
、已知
a
、
b
、
c
都是实数，并且<
/p>
a
b
c
，那么下列式子中正确的是（
）
（Ａ）
ab
bc
（
Ｂ）
a
b
b
c
（Ｃ）
a
b
b
c
（Ｄ）
2
2
、如果方程
x
px
1<
/p>
0
p
0
的两根之差是
1
，那么
p
的
值为（
）
（Ａ）
2
（Ｂ）
4
（Ｃ）
3
（Ｄ）
5
3
、
在△
ABC
中，
已知
BD
和
< br>CE
分别是两边上的中线，
并且
BD
⊥
CE
，
BD=4
，
CE=6
，
那么△
ABC
的面积等于
（<
/p>
）
（Ａ）
1
2
（Ｂ）
14
（Ｃ）
< br>16
（Ｄ）
18
4
、已知
abc
0
，并且
a
b
c
c
a
b
b
c
c
a
p
，那么直线
y
px
< br>
p
一定通过第（
）象限
c
a
b
（Ａ）
一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四
5
、如果不等式组
9<
/p>
x
a
0
的整数解仅为
1
，
2
，
3
，那么
适合这个不等式组的整数
a
、
b
的有序数对（
a
、
b
）共有
8
x
b
0
（
）
（Ａ）
17
个（Ｂ）
64
个（Ｃ）
72
个（Ｄ）
81
个
二、填空题：
（每小题
6
分，共
30
分）
6
、在矩形
ABCD
中，已知两邻边
AD=12
，
AB=5
，
P
是
AD
边上任意一点，<
/p>
PE
⊥
BD
，<
/p>
PF
⊥
AC
，<
/p>
E
、
F
分别是垂
足，
那么
PE+PF=___________
。
7
、
已知直线
y
< br>2
x
3
与抛物线
y
x
相交于
A
、
B
两点，
O
为坐标原点，
那么△
OAB
的面积等于
___________
。
8
、已知
圆环内直径为
acm
，外直径为
bcm
，将
50
个这样的圆环一个接一个环套
地连成一条锁链，那么这条锁链拉
直后的长度为
_______
____cm
。
9
< br>、
已知方程
a
x
3
a
8
a
x
2
a
13
a
15
0<
/p>
（其中
a
是非负整数）
< br>，
至少有一个整数根，
那么
a=
___________
。
10
、
B
船在
A
船的西偏北
450
处，两船相距
10
2
km
，若
A
船向西航行，
B
船同时
向南航行，且
B
船的速度为
A
船
速度的
2
倍，那么<
/p>
A
、
B
两船的最
近距离是
___________km
。
2
2
2
2
2
三、解答题：
（每小题
20
分，共
60
分）
11
、如图，在等腰三角形
ABC
中，
AB=1
，∠
A=900
，点
在底边
BC
上
，且
FE
⊥
BE
，求△
CEF
的面积。
12
、设抛物线
y
x
2
2
a
<
/p>
1
x
2
a
18
6
A
E
E
为腰
AC
中点，点
F
5
的图象与
x
轴
4
只有一个交点，
（
1
）求
a
的值；
（
2
）求
a
323
a
的值。
F
B
C
13
、
A
市、
B
市和
C
市有某种机器
10
台、
10
台、
8
台，
现在决定把这
些机器
支援给
D
市
18
台，
E
市
10
台。已知：从
A
市调运一台机
器到
D
市、
E
市的运费为
200
元和
800
元；从
B
市调运一
台机
器到
D
市、
E
市的运费为
300
元和
700
元；从
C
市调运一台机器到
D
市、
E
市的运费为
400
元和
500
元。
（
1
）设从
A
市、
B
市各调<
/p>
x
台到
D
市，当
28
台机器调运完毕后，求总运费
W<
/p>
（元）关于
x
（台）的函数关系式，
并求
W
的最大值和最小值。
（
2
）设从
A
市调
x
台到
D
市，
B
市调
y
台到
D
市，当
28
台机器调运完毕后，用
x
、
y
表示总运费
W
< br>（元）
，并求
W
的最大值和最小
值。
解
答
1
．根据
不等式性质，选
B
．
．
1
才哥数学
481659882
2
．由△
=
p2-4
＞
0
及
p
＞
2
，设
x1
，
x2
为方程两根，那么有
x1+x2=-p
，
x1x2=1
．又由
(x1-x2)2=(x1
＋
x2)2-4x1x2
，
3
．如图
3
－
271
，连
ED
，则
又因为
DE
是△
ABC
两边中点连线，所以
故选
C
．
4
．由条件得
三式相加得
2(a+b+c)=p(
a+b+c)
，所以有
p=2
或
a+b
＋
c
＝
0
．
当
p=2
时
，
y=2x
＋
2
，则直线通过第一、二、三象限．
限．
综合上述两种情况，直线一定通过
第二、三象限．故选
B
．
，
y=-x-1
，则直线通过第二、三、四象
的可以区间，如图
3
－
272
．
+1
，
3<
/p>
×
8
＋
2
，
3
×
8
＋
3
，……
3
×
8
＋
8
，共
8
个，
9
×
8=72(
个
)
．故选
C
．
6
．如图
3
－
273
，过
A
作<
/p>
AG
⊥
BD
于<
/p>
G
．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的
高，所
2
才哥数学
481659882
以
PE
＋
PF=AG
．因为
AD=12
，
AB=5
，所以
BD=13
，所
7
．
如图<
/p>
3-274
，
直线
y=-2x+3
与抛物线
y=x2
的
交点坐标为
A(1
，
1)
，
B(-3
，
9)
．
作
AA1
，
BB1
分别垂直于
x
轴
，
垂足为
A1
，
B1
，所以
8
．如图
3
－
275
，当圆环为
3
个时，链长为
当圆环为
50
个时，链长为
9
．因为
a
≠
0
，解得
故
a
可取
1
< br>，
3
或
5
．
10
．
如<
/p>
图
3
－
276<
/p>
，
设
经
过
t
小
时
后
，
A
船
、
B
船
分
别
航
行
到
A1
，
A1C=|10-x|
，
B1C=|10-2x|
，
所以
3
才哥数学
481659882
11
．解
法
1
如图
3
－
277
，过
C
作
CD
⊥
CE
与
EF
的延长线交于
D
．因为
∠
ABE
＋∠
AEB=90
°，
∠
CED
＋∠
AEB=90
°，
所以
∠
ABE=
∠
CED
．
于是
Rt
△
ABE
∽
Rt
△
CED
，所以
又∠
ECF=
∠
DCF=45
°，所以
CF
是∠
DCE
的平分线，点
F
到
CE
和
CD
的距离相等，所以
所以
解法
2
如图
3
－
278
，作
FH
⊥
CE
于
H
，设
FH=h
．因为
∠
ABE
＋∠
AEB
＝
90
°，
∠
FEH+
∠
AEB=90
°，
所以
∠
ABE
=
∠
FEH
，
于是
Rt
△
EHF
∽
R
t
△
BAE
．因为
所以
12
．
(1
)
因为抛物线与
x
轴只有一个交点，所
以一元二次方程
有两个相等的实根，于是
(2)
由
(1)
知，
a2=a
< br>＋
1
，反复利用此式可得
a4=(a
＋
1)2=a2
＋
2a+1=3a+2
，
4
才哥数学
481659882
又
a8=(3a
＋
2)2=9a2
＋
12a
＋
4=21a
＋
13
，
a16=(21a+13)2=441a2
< br>＋
546a
＋
169
＝
987a
＋
610
，
a18
＝
(987a
＋
610)(a
＋
1)
＝
987a2
＋
1597a
＋
610
=2584a
＋
1597
．
因为
a2-a-1=0
，所以
64a2-64a-65=-1
，即
(8a+5)(8a-13)=-1
．
所以
<
/p>
a18
＋
323a
－
6=2584a
＋
1597
＋
323(-8a
＋
13)=5796
．
13
．
(1
)
由题设知，
A
市、
< br>B
市、
C
市发往
D
市的机器台数分别为
x
，<
/p>
x
，
18-2x
，
发往
E
市的机器台数分别为
10-x
，
10-x
，
2x-10
．于是
W=200x
＋
300x+400(18-2x)
＋
800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x
＋
17200
．
W=-800x
< br>＋
17200(5
≤
x
≤
9
，
x
是整数
)
．
由上式
可知，
W
是随着
x
的增加而减少的，所以当
x=9
时，
W
取到最小值
10000
元；当
x=5
时，
W
取到
最大
值
13200
元．
(2)
由题设知，
A
市、
B
市、
C
市发往
D
市的机器台数分别为
x
，
y
，
18-x-y
，发往
E
市的机器台数分别为
10-x
，
10-y
，
x
＋
y-10
．于是
W=200x+800(10-x
)+300y
＋
700(10-y)+400(18-x-y)
+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200
．
W=-500x-300y+17200
，
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥
-20
0
×
10-300
×
< br>18
＋
17200=9800
．
当
x=10
，
y=8
时，
W=9800
，所以
W
的最小值为
98
00
．又
W=-200x-300(x
＋
y)
＋
1720
0
≤
-200
×
0-300
×
10+17200=1
4200
，
当
x=0
，
y=10
时，
W=14200
，所以
W
的
最大值为
14200
．
5
才哥数学
481659882
1999
年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（本题共
6
小题，每小题
5
分，满分
30
分．
每小题均给出了代号为
A
，
B
，
C
，
D
的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）
1
．一个凸
n
边形的内角和小于
1999°
，那么
n
的最大
值是（
）
．
A
．
11
B
．
12
C
．
13
D
．
14
2
．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过
60
立方米，按每立方米
0.8
元收费；如果超过
60
立
方米
，超过部分按每立方米
1.2
元收费．已知某用户
4
月份的煤气费平均每立方米
0.88
元，那么
4
月份该用户应交
煤气费（
）
．
A
．
60
元
B
．
66
元
C
．
75
元
D
．
78
元
3
．已知
，
那么代数式
的值为（
）
．
A
．
B
．－
C
．－
D
．
4
．在三角形
ABC
中，
D
是边
< br>BC
上的一点，已知
AC=5
，
AD=6
，
BD=10
，
CD=5
，那么三角形
AB
C
的面积是
（
）
．
A
．
30
B
．
36
C
．
72
D
．
125
5
．如果抛物线
与
x
轴的交点为
A
，
B
，项点为
C
，那么三角形
ABC
的面积的最小值是
（
）
．
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
6
．在正五边形
ABCDE
所在的平面内能找到点
P
，使得
△
PCD
与
△
BCD
的面积相等，并且
△
ABP<
/p>
为等腰三角
形，这样的不同的点
P
的个数为（
）
．
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
二、填空题（本题共
6
小题，每小题
5
分，满<
/p>
分
30
分）
x2 + y2
的值为
．
7
．
已知<
/p>
，
那么
8
．如图
1
，正方形
ABCD
的边长为
10cm
，点
E
在边
CB
的延长线
上，且
EB=10cm
，点
P
在边
DC
上运动，
EP
与
AB
的交点为
F
．
设
DP=xcm
，
△
EFB
与四边形
AFPD
的面积和为
ycm2
< br>，那么，
y
与
x
之间的函数关系式是
（
0
＜
x
＜
10
）
．
9
．已知
ab≠0
，
a2 +
ab
－
2b2 =
0
，那么
的值为
．
10
．
如图
2
，
已知边长为
1
的
正方形
OABC
在直角坐标系中，
A<
/p>
，
B
两点在第Ⅰ象限内，
OA
与
x
轴的夹角为
30°
，
那么点
B
的坐标是
．
6
才哥数学
481659882
11
．设有一个边长为
1
的正三角形，记作
A1
（
如图
3
）
，将
A1
的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三
角形，去掉
中间的线段后所得到的图形记作
A2
（如图
4
）
；将
A2
的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形
记作
A3
（
如图
5
）<
/p>
；
再将
A3
的每
条边三等分，
并重复上述过程，
所得到的图形记作
A4
，
那么
A4
的周长是
．
12
．江
堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两
台抽水机抽水，
40
分钟可抽完；如果用
4
台抽水机抽水，
16
分钟可抽完．如果要在
10
分钟内抽完水，那么至少需
要抽水机
台．
三、解
答题（本题共
3
小题，每小题
20
分，满分
60
分）
13
．设
实数
s
，
t
分
别满足
19s2 + 99s + 1 =
0
，
t2 + 99t + 19 = 0
，并且
st≠1
，求
的值．
14<
/p>
．
如图
6
，
已知四边形
ABCD
内接于直径为
3
的圆
O
，
对角线
AC
是直径，
对角
线
AC
和
BD
的交点是
P
，
AB=BD
，
且
PC=0.6
，求四边
形
ABCD
的周长．
15
．有人编了一个程序：从
1
开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以
是乘法）每次加法
，将上次的运算结果加
2
或加
3
；每次乘法，将上次的运算结果乘
2
或乘
3
．例如，
30
可
以这样得
到：
．
（
1
）
（
10
分）证明
：可以得到
22
；
（
2
）
（
10
分）证明：可以得到
2100 +
297
－
2
．
1999
年全国初中数学竞赛答案
一、
1
．
C
2
．
B
3
．
D
4
．
B
5
．
A
6
．
D
二、
7
．
10
8
．
y = 5x + 50
9
．
10
．
三、
13
．
解：∵
s≠0
，∴第一个等式可以变形为：
又∵
st≠1
，
．
11
．
12
．
6
7
才哥数学
481659882
∴
，
t
是一元二次方程
x2 + 99x +
19 = 0
的两个不同的实根，于是，有
．
即
st + 1 =
－
99s
，
t =
19s
．
∴
．
14<
/p>
．解：设圆心为
O
，连接
BO
并延长交
AD
于
H
．
∵
AB=BD
，
O
是圆心，
∴
BH
⊥
AD
．
又∵∠
ADC=90°
，
∴
BH
∥<
/p>
CD
．
从而
△
OPB
∽△
CPD
．
∴
CD=1
．
于是
AD=
又
OH=
AB=
BC=
所以，四边形
ABCD
的周长为
15
．证明：
（
1
）
．
也可以倒过来考虑：
．
（或者
（
2
）
．
）
．
或倒过来考虑：
．
注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．
8
，
．
CD=
，于是
，
．
．
才哥数学
481659882
2000
年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题（只有一个结论正确）
1
、设
a
，
b<
/p>
，
c
的平均数为
M
，
a
，
b<
/p>
的平均数为
N
，
N
，
c
的平均数为
P
，若
a
＞
b
＞
c
，则
M
与
P
的大小关系是（
）
。
（
A
）
M
＝
P
；
（
B<
/p>
）
M
＞
P
；
（
C
）
M
＜
P
；
（
D
）不确定。
a
b
c
a
b
N
c
a
b
2
c<
/p>
a
b
2
c
，
N
＝
，
P
＝
，
M
－
P
＝
，
3
2
2
2
12
a
b
2
c
c
c
2
c
∵
a
＞
b
< br>＞
c
，∴
＞
0
，即
M
－
P
＞
0
，
即
M
＞
P
。<
/p>
12
12
答：
（
B
）
。∵<
/p>
M
＝
2
、某人骑
车沿直线旅行，先前进了
a
千米，休息了一段时间，又原路返回
b
千米（
b
﹤
a
）
，再前进
c
千米，则此人离
起点的距离
S
与时间
t
的关系示意图是（
< br>
）
。
答：
（
C<
/p>
）
。因为图（
A
）中没有反映休息所消耗的时间；图（
B
）虽表明折返后
S
的变化，但没有表示消耗的时间；
图（
D
）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（
C
）正确地表述了题意。
3
、甲是乙现在的年龄时，乙
10
岁；乙是甲
现在的年龄时，甲
25
岁，那么（
）
。
（
A
）甲比乙大
5
岁
；
（
B
）甲比乙大
10
岁；
（
C
）乙比甲大
10
岁；
（
D
）乙比甲大
5
岁。
答：
（
A
）
。由题意知
3×
（
甲－乙）＝
25
－
10
，∴甲－乙＝
5
。
4
、一个一次函数图象与直线
y=
5
95
，则在线
x
平行，与
x
轴、
y
轴的交点分别为
A
、
B
，并且过点（－
1
，－
25
）
4
4
段
AB
上（包括端点
A
、
B
）
，横、纵坐标都是整数的点有（
）
。
（
A
）
4
个；
（
B
）
5
个；
（
C
）
6
个；
（
D
）
7
个。
< br>答：
（
B
）
。在直线
AB
上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是
x
＝－
1
＋
4N
，
y
＝－
25
＋
5N
，
（
N
是整数）
．在线段
AB
1
≤N≤5
，即
N
＝
1
，
2
，
3
，<
/p>
4
，
5
。
4
a
a
b
5
、设
a
，
b
，
< br>c
分别是
△
ABC
的三边的长，且
，则它的内角∠
< br>A
、∠
B
的关系是（
）
。
b
a
b
c
上这样的点应满足－
1
＋
4N
＞
0
，且－
25
＋
5N≤0
，∴
（
A
）∠
B
＞
2
∠
A
；
（
B
）∠
B
＝
2
∠
A
；
（
C
）∠
B
＜
< br>2
∠
A
；
（
D
）不确定。
< br>答：
（
B
）
。由
a
a
b
a
b
得
，延长
CB
至
D
，使
BD
＝
AB
，于是
CD
＝
a+c
，在
△
ABC
与
△
DAC
中，∠
C
b
a
b
c
< br>b
a
c
为公共角，
且
BC:AC
＝
AC:DC
，
∴△<
/p>
ABC
∽△
DAC
，
∠
BAC
＝∠
D
，
∵∠
BAD
< br>＝∠
D
，
∴∠
< br>ABC
＝∠
D
＋∠
BAD
＝
2
∠
D
＝
2
∠
< br>BAC
。
6
< br>、已知
△
ABC
的三边长分别为
a
，
b
，
c
，面积为
S
，<
/p>
△
A1B1C1
的三边长分别为
a1
，
b1,C1
面积
为
S1
，且
a
＞
a1
，
b
＞
b1
，
c
＞<
/p>
c1
则
S
与
S1
的大小关系一定是（
）
。
（
A
）
S
＞
S1
；
（
B
）
S
＜
S1
；
（
C
）
< br>S
＝
S1
；
（
D
）不确定。
9
才哥数学
481659882
答：<
/p>
（
D
）
。分别构
造
△
ABC
与
△
A1B1C1
如下：①作
△
ABC
∽△
A1B1C1
，显然
，即
S
＞
S1
；②
设
，则
< br>，
S
＝
10
，
，
S
＝
10
，
，则
S1
＝
，则
×
100
＞
10
，即
S
＜
S1
；
，
S1
＝
10
，即
S
③设
，则
＝
S1
；因此，
S
与
S1
的大小关系不确定。
二、填空题
7
、已知：
，那么
＝
________
。
答：
1<
/p>
。∵
，即
。∴
。
8
、如图
，在梯形
ABCD
中，
AB
∥
DC
，
AB
＝
8
，
BC
＝
6
等于
________
。
，∠
BC
D
＝
45°
，∠
BAD
＝
120°
，则梯形
ABCD
的面积
答：
66
＋
6
（平
方单位）
。作
AE
、
< br>BF
垂直于
DC
，垂足分别为<
/p>
E
、
F
，由
BC
＝
6
，∠
BCD
＝
45°
，
得
AE
＝
＋
8
＋
6
＝
14<
/p>
BF
＝
FC
＝<
/p>
6
。由∠
BAD
＝
120°
，得∠
DAE
＝
30°
，因为
AE
＝
6
得
DE
＝
2
，
AB
＝
EF
＝
8
，
DC
＝
2
＋
2
，∴
的方程
。
的根都是整数，那么符合条件的整数有
________
个。
9
、已知关于
答：
5
。①当
时，
；②当
时，易知<
/p>
是方程的一个整数根，再由
且
是
整数，知
，∴
；由①、②得符合条件的整数
有
5
个。
10
、如图，工地上竖立着两根电线杆
AB<
/p>
、
CD
，它们相距
15
米，分别自两杆上高出地面
4
米
、
6
米的
A
、
C
处，向
两侧地面上的
E
、
D
；
B
、
F
点处，用钢丝绳拉紧，以固
定电线杆。那么钢丝绳
AD
与
BC
的交点
P
离地面的高度为
< br>________
米。
10
才哥数学
481659882
答：
2.4
米。作
PQ
⊥
BD
于
Q
，设
BQ
＝
米，
QD
＝
米，
PQ
＝
米，由
AB
< br>∥
PQ
∥
CD
< br>，得
及
，两式相加得
，由此得<
/p>
AB
、
CD
之间
相距多远，与题目结论无关。
）
米。
即点
P
离地面的高度为
2.4
米。
（注：由上述解法知，
11
、如图，在直角坐标系中，矩形
OABC
的顶点
B
的坐标为（
15
，
6
）
，直线
面
积相等的两部分，那么
＝
________
。
恰好将矩形
OABC
分成
答：
。
直线
通过点
D
（
15
，
5
）
，
故
BD
＝
1
。
当
时，
直线
通过
，
两点，则它恰好将矩形
OABC
分成面积相等的两部分。
12
、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了
6.4
％，使得利润率增加了
8
个百分
点，那么经销这种商
品原来的利润率是
________
。
（注：
×
100
％）
答：<
/p>
17
％。
设原进价为
元，
销售价为
元，
那么按原进价销
售的利润率为
×
100
％，
原进价降低
6.4
％后，
在销售时的利润率为
×
100
％，依题
意得：
×
100
％＋
8
％＝
×
100
％＝
17
％。
三、解答题
13
、
设
数根
（
1
）若
是不小于
。
，求
的值。
<
/p>
的实数，
使得关于
×
100
％，解得
＝
1.17
，故这种商品原来的利润率为
的方程
有两个不
相等的实
（
2
）求
的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以
，∴
。根据题设，有
。
11
才哥数学
481659882
（
1
）因为
，即
。
由于
，故
。
（
2
）
。
设
上是递减的，所以
当
时，
< br>取最大值
10
。故
的最大值为<
/p>
10
。
14
、如上图：已知四边形
ABCD
外接圆
O
的半径为
2
，对角线
AC
与
BD
的交点为
E
，
< br>AE
＝
EC
，
< br>AB
＝
2
AE
< br>，且
BD
＝
2
< br>3
，求四边形
ABCD
的面积。
解：
由题设得
AB2
＝
2AE2
＝
AE·
AC
，
∴
AB:AC
＝
AE:AB
，
又∠
EAB
＝∠
BAC
，
∴△
ABE
∽△
ACB
，
∴∠
ABE
＝∠
ACB
，
从而
AB
＝
AD<
/p>
。连结
AD
，交
BD
于
H
，则
BH
＝
HD
＝
3
。
∴
OH
＝
＝
1
，
AH
＝
OA
－
OH
＝
2
－
1
＝
1
。
∴
，∵
E
是
AC
的中点，∴
，
，∴
，∴
。
15
、一幢
33
层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳
32
人，
而且只能在第
2
层至第
33
层中的某一层停
一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到
1
分不满意，往上走一层楼梯感到
3
分不满意。现在有
32
个人在第
一层，并且他们分别住在第
2
至第
33
层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这
32
个人不满意的总分达到最
小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而
直接从楼梯上楼）
解：易知，这
32
个人恰好是第
2
至第
< br>33
层各住
1
人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人
所住的层数。事实上，设住第
s
层的人
乘电梯，而住第
t
层的人直接走楼梯上楼，
别考虑如下：
。交换两人上楼
方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分
12
才哥数学
481659882
设电梯
停在第
①当
层。
时，若住第
s
层的人乘电梯，而住第
t
层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为
；交换两人
上楼方式，则这两者不满意总分也为
。
；交
②当
时，
若住第
s
层的人乘电梯，
而住第
t<
/p>
层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为
。
换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为
③当
时，若住第
s
层的人乘电梯，而住第
t
层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为
；
交换两人上楼方式，
则这两者不满意总分为
，
前者比后者多
。
；
④当
时，
若住第层
的人乘电梯，
而住第
层的人直接走楼梯上楼，
< br>则这两者不满意总分为
，前者比后者多
。
交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为
⑤当
时，若住第
层的人乘电梯，而住第
层的人直
接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为
，前者比后者多
。
；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为
今设电梯停在第
层，在第一层有
人直接走楼梯上楼，那么不满
意总分为：
当
x
＝
27
，
y
＝
6
时，
s
＝
316
。
所以，当电梯停在第
27
层时，这
32
个人不满意的总分达到最小，最小值为
316
< br>分。
13
才哥数学
481659882
200
1
年
TI
杯全国初中数学竞赛试题
B
卷
选择题（
30
分）
2
n
4
2
(<
/p>
2
n
)
1
、化简
，得（
）
n
3
2
(
2
)
1
7
7
（
A
）
< br>2
n
1
(B)
2
n
1
(C)
(D)
8
8
4
a
b
b
c
c
a
2
、如果
a
,
b
,
c
是三个任意整数，那么
（
）
,
,
2
2
2
（
A
）都不是整数<
/p>
（
B
）至少有两个整数
（
C
）至少有一个整数
（
D
）都是整数
3
、
如果
a
,
b
是
质数，且
a
13
a
m
0
,
b
13
b
m
0
,
那么
（
A
）
2
2
b
a
的值为（
）
a
b
123
125
125
123
（
B
）
（
D
）
或
2
（
C
）
或
2
22
22
22
22
4
、如图，若将正方形分成
k
个全等的矩形，其中上、
1
2
下各横排两个，中间竖排若干个
，则
k
的值为（
）
……
（
A
）
6
（
B
）
8
（
C
）
10
（
D
）
12
3
4
5
、如
图，若
PA=PB
，∠
APB=2
∠
ACB
，
AC<
/p>
与
PB
交于点
D,
且
PB=4
，
PD=3
，则
AD
DC
等于（
）
P
（
A
）
6
（
B
）
7
（
C
）
12
（
D
）
16
D
C
A
B
6
、若<
/p>
a
,
b
是正数，
且满足
12345
(
111
a
)(
111
b
)
，则
a
和
b
之间的大小关系是（
）
（
A
）
a
b
（
B
）
a
b
（
C
）
a
b
（
D
）不能确定
填
空题（
30
分）
7
、已知：
x
< br>3
2
3
2
3
2
2
2
8
、若<
/p>
x
xy
y
14
,
y
xy
x
28
,
则
x
y
的值为
9
、用长为
1
，<
/p>
4
，
4
，
5
的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于
10
、销售某种商品，如果单价上涨
m
％，则售出的数量就将减少
,
y
3
2
。那么
y
x
x
2
y
2
m
。为了使该商品的销售总金额最大，那
么
m
的
150
值应该确定为
11
、在直角坐标系
xOy
中，
x
轴上的动点
M
（
x
，
0
）到定点
P
（
5
，
5
）
、
Q
（
2
，
1
）的距离分别为
MP
和
MQ
，那么
当
MP+M
Q
取最小值时，点
M
的横坐标
x
2
2
2
2
12
、已知实数
a
,
b
满足
a
ab
b<
/p>
1
,
且
t
ab
a
b
，那么
t
的取值范围是
解答题（
60
分）
13
、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击
10
次。在第
6
、第
7
、第
8
、第
9
次射
击中，分别得了
9.0
环、
8.4
环、
8.1
环、
9
.3
环。他的前
9
次射击所得的平均环
数高于前
5
次射击所得的平均环数。如果他要使
10
次射击的平均
环数超过
8
.8
环。那么他在第
10
次射击中至少
要得多少环？（每次射击所得环数都精确到
0.1
环）
14
、如图，已知点
P
是⊙
O
外一点，
PS
、
PT
是⊙
O
的两条切线，过点
P
作⊙
O
的割线
PAB
，交⊙
O
于
A,B
两点，并
交
ST
于点
C
。
14
才哥数学
481659882
求证：
1
1
1
1
(
)
.
P <
/p>
PC
2
PA
PB
S
A
C
O
T
15
、已知：关于
< br>x
的方程
(
a
2
1
)(
x
2
x
)
(
2
a
7
)(
< br>)
11
0
x
1
x
1
有实
根。
求
a
取
值范围；
若原方程的两个实数根为
x
1
,
x
2
，且
,
x
1
x
3
2
，求
a
的值。
x
1
1
x
2
1
11
2002
年全国初中数学竞赛试题
<
/p>
一、选择题（每小题
5
分，共
30
分）
1
、设
a
＜
b
＜
0
，
a2
＋
b2
＝
4ab
，则
a
b
的值为
a
b
A
、
3
B
、
6
C
、
2
D
、
3
2<
/p>
、已知
a
＝
19
99x
＋
2000
，
< br>b
＝
1999x
＋
2001
，
c
＝
1999x
＋
2002
，
则多项式
a2
＋
b2
< br>＋
c2
－
ab
< br>－
bc
－
ca
< br>的值为
A
、
0
B
、
1
C
、
2
D
、
3
3
、如图，点
E
、
F
分别是矩形
< br>ABCD
的边
AB
、
BC
的中点，连
AF
、<
/p>
CE
交于点
G
，
则
S
四边形
AGCD
< br>S
矩形
ABCD
等于
D
5
4
A
、
B
、
6
5
3
2
C
、
D
、
4
3
A
C
G
E
B
F
4
、设
a
、
b
、
c
为实数，
x
＝
< br>a2
－
2b
＋
< br>，
y
＝
b2
－
2c
＋
，
z
＝
c2
－
2a
＋
，则
x
、
y
、
z
中至
少有一个值
3
3
3
A
、大于
0
B
、等于
0
C
、不大于
0
D
、小于
0
5
、设关于
x
的方程
ax2
＋
(a
＋
2)x
＋
9a
＝
0
，有两个不等的实数根
x1
、
x2
，且
x1
< br>＜
1
＜
x2
，那么
a
的取值范围是
2
2
2
＜
a
＜
B
、
a
＞
5
5
7
2
2
C
、
a
＜
D
、
＜
a
＜
0
7
11
A
、
6
、
A1A2A3
…
A9
是一个
正九边形，
A1A2
＝
a
，
A1A3
＝
b
，则
A1A5
等于
A
、
a
b
B
、
a
ab
b
C
、
2
2
2
2
1
a
b
D
、
a
＋
b
2
二、填空题（每小题
5
分，共
30
分）
7
、设
x1
、
x2
是关于
x
的一元二次方程
x2
＋
ax
＋
a
＝
2
的两个实数根，
则
(x1
－
2x2)(x2
－
2x1)
的最大值为
。
15
才哥数学
481659882
8
、
已知
a
、
b
为抛物线
y
＝
(x
－
c)(x
－
c
－
d)
－<
/p>
2
与
x
轴交点的
横坐标，
a
＜
b
，
则
a
c
c
b
的值为
。
9
、如图，在△
ABC
中，∠
ABC
＝
600
，点
P
是△
ABC
内的一点
，使得∠
APB
＝∠
BPC
＝∠
CPA
，且
PA
＝
8
，
PC
＝
6
，
则
PB
＝
。
A
O
3
O
B
A
O
2
O
1
P
O
4
C
B
10
、如图，大圆
O
的直径
AB
＝
acm
，分别以
OA
、
OA
为直径作⊙
O1
、⊙
O
2
，并在⊙
O
与⊙
O1
和⊙
O2
的空隙间作
两个等圆⊙
O3
和⊙
O
4
，
这些圆互相内切或外切，则四边
形
O1O2O3O4
的面积为
cm2
。
11
、满足
(n2
－
n
－
1)n
＋
2
＝
1
的整数
n
有
___________
个。
12
、
某商
品的标价比成本高
p%
，
当该商品降价
出售时，
为了不亏本，
售价的折扣
（即
降价的百分数）
不得超过
d%
，
则
d
可以用
p
表示为
。
三、解
答题（每小题
20
分，共
60
分）
13
、某项工程
，如果由甲、乙两队承包，
2
元；由甲、丙两队承包，
2
2
3
天完成，需付<
/p>
180000
元；由乙、丙两队承包，
3
天完成，需付
150000
5
4
6
天完成，需付
16
0000
元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪
7
个队的承包费用最少？
14
、如图，圆内接六边形
ABCDEF
满足
AB
＝
CD
＝
EF
，且对角线
AD
、
BE
、
CF
交于一点
Q
，设
AD
与
CE
的交点为
P
。
QD
AC
ED
EC
CP
AC
2
（
2
）求证：
F
PE
CE
2
求证：
A
B
Q
C
P
E
D
15
、如果对一切
x
的整数值，
x
的二次三项式
ax2<
/p>
＋
bx
＋
c
的值都是平方数（即整数的平方）
。
证明：
（
1
）
2a
、
2b
、
c
都是整数；
（
2
）
a
、
b
、
c
都是整数，
并且
c
是平方数；反过来，如果（
2<
/p>
）成立，是否对一切的
x
的整数值，
x
的二次三项式
ax2
＋
bx
＋
c
的值都是平方数？
16
才哥数学
481659882
200
3
年“
TRULY®
信利杯”全国初中
数学竞赛试题
一、选择题（共
5
小题，每小题
6
分，满分
30
分
.
< br>以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的
.
请将正确结论的代号填入题后的括号里
.
不填、多填或错填，得零分）
5
x
2
2
y
2
z
2
1
．若
4x
－
3y
－
6z=0
，
x+2y
－
7z=0(xyz
≠
0)
，则
2
的值等于
(
).
2
x
3
y
2
10
z
2
1
19
(A)
(B)
(C)
15
(D)
13
2<
/p>
2
2
．
在本埠投
寄平信，
每封信质量不超过
20g
时付
邮费
0.80
元，
超过
20g
而不超过
40g
时付邮
费
1.60
元，
依次类推，
每增加
20g
需增加邮费
0.80
元（信的质量在
100g
以内
）
。如果所寄一封信的质量为
72.5g
，那么应付邮费
(
).
(A) 2.4
元
(B)
2.8
元
(C)
3
元
(D)
3.2
元
3
．如下图所示，∠
A+
∠
B+
∠
C+
∠
D+
∠
E+
∠
F+
∠
G=
（
）
.
(A)360
°
(B)
450
°
(C)
540
°
(D)
720
°
A
G
A
B
D
F
C
O
C
4
．四条
线段的长分别为
9
，
5
，
x
，
1
（其中
x
为正实数）
，用它们拼成
两个直角三角形，且
AB
与
CD
是其中的两条
E
D
B
（第
4
题图）
线段（如上图）
，则
x
可取值的个数为（
）
.
（第
3
题图）
(A)2
个
(B)3
个
(C)4
个
(D)
6
个
5
．某
校初三两个毕业班的学生和教师共
100
人一起在台阶上拍毕业
照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队
阵（排数≥
3<
/p>
）
，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的
人均站在前一排两人间的空挡处，那
么，满足上述要求的排法的方案有
< br>(
).
(A)1
种
(B)2
种
(C)4
种
(D)
0
种
二、填空题（共
< br>5
小题，每小题
6
分，满分
30
分）
6
．已知
x
1
3
，那么
7
．若实数
x<
/p>
，
y
，
z
满足
x
1
1
1
2
. <
/p>
x
2
x
4
x
2
1
1
1
7
4
，
y
1
，
z
，则
xyz
的值为
.
y
z
x
3
8
．观察下列图形：
①
②
③
④
根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为
.
A
9
．如图所示，已知电线杆
AB
直立于地面上，它的
面
CD
和地面
BC
上，
如果
CD
与地面成
45
º，
∠
A=60
4
6
2
2
m
，则电线杆
AB
的长
为
_______m.
D
影子恰好照在土坡的坡
º
< br>CD=4m
，
BC=
2
10
．已知二次函数
y
ax
b
x
c
（其中
a
是正整
17
B
C
数）
的图象经
过点
A
（－
（第
9
题图）
才哥数学
481659882
1
，
4
）与点
B
（
2
，
1
）
，并且与<
/p>
x
轴有两个不同的交点，则
b+c
的最大值为
.
三、解答题（共
4
题，每小题
15
分，满分
60
分）
11
．
如图所示，
已知
AB
< br>是⊙
O
的直径，
BC
是⊙
O
的切线，
OC
平行于弦
AD
，
过
点
D
作
DE
⊥
AB
于点
E
，
连结
AC
，
与
DE
交于点
P.
问
EP
与
PD
是否相等？证明你的结论
.
6
D
17
解：
C
14
E
A
13
10
A
12
D
15
O
E
11
P
F
B
11
O
5
(
第
题图
)
7
18
G
9
H
C
B
12
．某人租用一辆汽车由
A
城前往
B
城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之
间所需的时间（单位：小时）如图
所示
.
若汽车行驶的平均速度为
80
千米
/
小时，而汽车每行驶
1
千米需要的平
均费用为
1.2
元
.
试指出此人从
A
城出
发到
B
城的最短路线（要有推理过程）
，并求出
所需费用最少为多少元？
解：
(
第
12
题图
)
13B
．
如图所示，在△
ABC
中，∠
ACB=
90
°
.
CD
2
BD
2
AD
BD
（
1
）当点
D
在斜边
AB
内部时，求证：
.
2
BC
AB
（
2
）当点
D
与点
A
重合时，第（
1
）小题中的等式是否存在？请说明理由
.
（
< br>3
）当点
D
在
< br>BA
的延长线上时，第（
1
）小
题中的等式是否存在？请说明理由
.
C
(
第
13
B
题图
)
B
D
18
A
才哥数学
481659882
14B
．已知实数
a
，
b
，
c
满
足：
a+b+c=2
，
abc=4.
（
1
）求
a<
/p>
，
b
，
c
中的最大者的最小值；
（
< br>2
）求
a
b
c
的最小值
< br>.
注：<
/p>
13B
和
14B
相对于下面的
13A
和
14A
是较容易的题
. 13B
和
14B
与前面的
12
个题组成考试
卷
.
后面两页
13A
和
14A
两题可留作考试后的
研究题。
13A
．如图所示，⊙
O
的直径的长是关于
x
的二次方程
x
2
(
k
2
)
x
k
0
（
k
是整
数）的最大整数根
.
P
是⊙
O
外一点，过点
P
作⊙
O
的切线
PA
和割线
PBC
，其中
A
为切点，点
B
，
C
是直线
PBC
与⊙
O
的交点
.
若
PA<
/p>
，
PB
，
PC<
/p>
的长都是正整数，且
PB
的长不是合数，
求
PA
2
P
B
2
PC
2
的值
.
解：
A
(
第
13A
题图<
/p>
)
O
P
C
B
19
2
才哥数学
481659882
14A
．
沿着圆周放着一些数，
如果有依次相
连的
4
个数
a
，
b
，
c
，<
/p>
d
满足不等式
(
a
d
)(
b
c
)
>0<
/p>
，
那么就可以交换
b
，
c
的位置，这称为一次操作
.
（
1
）若圆周上依次放着数
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，问：是否能经过有限次操
作后，对圆周上任意依次相连的
4
个数
a
，
b
，
c<
/p>
，
d
，都有
(<
/p>
a
d
)(
b
c
)
≤
0
？请说明理由
.
（
2
）若圆周上从小到大按顺时针方向
依次放着
2003
个正整数
1
，
2
，…，
2003<
/p>
，问：是否能经过有限次操作后，对
圆周上任意依次相连的
4
个数
a
，
b
，
c
，
d
，都有
(
a
d
)(
b
c
)
≤
0
？请说明理由
.
解：
（
1
）
1
2
6
5
3
（
2
）
4
200
3
年“
TRULY®
信利杯”全国初中
数学竞赛试题
参考答案与评分标准
一、选择题（每小题
6
分，满分
30
分）
1
．
D
由<
/p>
4
x
3
y
6
z
0
,
x
3
z
,
解得
代入即得
.
x
2
y
7
z
0
,
y
2
z
.
2
．
D
因为
20
×
3<72.5<20
×
4
，所以根据题意，可知需付邮费
0.8
×
4=3.2
（元）
.
3
．
C
如图
所示，∠
B+
∠
BMN+
∠
E+
∠
G=360
°，∠
FNM+
∠
F
+
∠
A+
∠
C
=360
°，
而∠
BMN
+
∠
FNM =
∠
D
＋
180
°，所以
∠
A+
∠
B+
∠
C+
∠
D+
∠
E+
∠
F+
∠
G=540
°
.
A
A
G
B
D
C
O
F
M
C
N
B
(
第
4
题图
)
(
第
3
题图
)
E
D
4
．
D
显<
/p>
然
AB
是四条线段中最长的，故
AB=9
或
AB=x
。
2
2
2
（
1
）若
AB=9
，当
CD=x
时，
9
x
(
1
5
)<
/p>
，
x
3
5
；
当
CD=5
时，
9
5
(
x
1
)
，
x
2
14
< br>
1
；
20
2
2
2
才哥数学
481659882
2
2
2
当
CD=1<
/p>
时，
9
1
(
x
5
)
，
x
4
5
< br>5
.
2
2
2
（
2
）若
AB=x
，当
CD=9
时，
x
9
(
1
5
< br>)
，
x
3
13
；
2
2
2
当
CD
=5
时，
x
5
(
1
<
/p>
9
)
，
x
5
5
；
当
CD=1
时，
x
1
(
5
9
)
，
x
197
.
故
x
< br>可取值的个数为
6
个
.
5
．
B
设最
后一排有
k
个人，共有
n
排，那么从后往前各排的人数分别为
k
，
k+1
，
k+2
，…，<
/p>
k+
（
n
－
1
）
，由题意可知
2
2
2
kn
n
(
n
1
)
100
，即
n
2
k
n
1
200
.
2
因为
k
，
n
都是正整数，且
n
≥
3
，所以
n<2k+
（
n
－
1
）<
/p>
，且
n
与
2k+
（
n
－
1
）的奇偶性不同
.
将
200
分解质因数，可知
n=5
或
n=8.
当
n=5
< br>时，
k=18
；当
n=8
时，
k=9.
共有两种不同方案
.
6
．
3
< br>.
2
3
3
1
1
1
4
1
3<
/p>
＝
。
2
2
2
2
2
2
x
2
x
4
x
2<
/p>
x
4
x
4
x
4
(
1
3
)
4
7
．
1.
7
1
1
1
z
3
x
x<
/p>
7
x
3
，
x
x
因为
4
< br>x
x
1
7
1
y
z
1
4
x
3
1
1
z
3
x
所以
4
(
4
x
3
)
x
(
4
x<
/p>
3
)
7
x
3
，
3
解得
x
.
2<
/p>
7
1
7
2
5
1
3
2
从而
z
< br>，
y
1
1
.
3
x
3<
/p>
3
3
z
5
5
3
2
5
于是
xyz
1
.
2
5
3
8
．
161.
根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为
1+4+3
×
4+
3
2
4
+<
/p>
3
3
4
=1+4+12+36+108=161
（个）
.
9
．
6
2
.
如图，延长
AD
交地面于
E
，过
D
作
DF
⊥
CE
因为∠
DCF=45
°
，
∠
A=60
°，
CD=4m
，所以
EF=DFtan60
< br>°
=
2
6
（
m
）
.
A
于
F.
CF=DF=
2
2
m
，
D
AB
3
ta
n
30
因
为
，
所
以
BE
3
3
AB
BE
6
2
（
m
）
.
3
10.
－
4.
(
第
9
题图
)
B
C
F
E
由于二次函数的图象过点
A
（－
1
，
4
）
，点
B
（
2
< br>，
1
）
，所以
< br>
解得
a
b
c
4
,<
/p>
4
a
2
b
c
1
,
b
a
1
,
c
3
2
a
.
2
因为二次函数图象与
x
轴有两个不同的交点，所以
b<
/p>
4
ac
0
，
(
a
1
)
2
4
< br>a
(
3
2
a
)
0
，即
(
9
a<
/p>
1
)(
a
1
)
0
，由于
a
是正整数，
故
a
1
，<
/p>
21
才哥数学
481659882
所以
a
≥
2.
又因为
b+c=
－
3a+2
≤－
4
，且当
a=2
，
b=
－
3
，
c=
－
1
时，满足
题意，故<
/p>
b+c
的最大值为－
4.
三、解答题（共
4
< br>题，每小题
15
分，满分
60<
/p>
分）
11
．如
图所示，已知
AB
是⊙
O
的直径，
BC
是⊙
O
于弦
AD
，过点<
/p>
D
作
DE
⊥
AB
于点
E
，连结
AC
，
A
<
/p>
问
EP
与
PD<
/p>
是否相等？证明你的结论
.
解：
DP=PE.
证明如下：
E
因为
AB
是⊙
O
的直径，
BC
是切线，
P
所以
AB
⊥
BC.
由
Rt
△
AEP
∽
Rt
△
ABC
，得
< br>
O
的切线，
OC
平行
与
DE
交于点
P.
D
EP
AE
.
①
……（
6
分）
BC
AB
(
第
11
题图
)
又
AD
∥
OC
，所以∠
DAE=
∠
< br>COB
，于是
Rt
△
AED
故
∽
Rt
△
OBC.
B
C
ED
AE
AE
2
AE
②
……
<
/p>
BC
OB
1<
/p>
AB
AB
2
（<
/p>
12
分）
由①，②得
ED=2EP.
所以
DP=PE.
……（
15
分）
12
．某人租用一辆汽车由
A
城前往
B
城，沿
途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图
所示
.
若汽车行驶的平均速度为
80
< br>千米
/
小时，而汽车每行驶
1<
/p>
千米需要的平均费用为
1.2
元
.
试指出此人从
A
城
出
发到
B
城的最短路线（要有推理过程
）
，并求出所需费用最少为多少元？
解：从
A
城出发到达
B
城的路线分成如下两类：
（
1
）从
A
城出发到达
< br>B
城，经过
O
城
.
因为从
A
城到
O
城所需最短时间为
26
小时，从
O
城到
B
城所需最短时间
为
22
小时
.
所以，此类路线所需
< br>最短时间为
26+22=48
（小时）
< br>.
……（
5
分）
（
2
）从
A<
/p>
城出发到达
B
城，不经过
O
城
.
这时从
A
城到达
B
城，必定经过<
/p>
C
，
D
，
E
城或
F
，
G
，
H
城，所需时间<
/p>
至少为
49
小时
.
…
…（
10
分）
综上，从
A
城到达
B
城所需的最短时间为
48
小时，所走的路线为：
A
→
F
→
O
→
E
→
B.
……（
12
分）
所需的费用最少为：
6
80
×<
/p>
48
×
1.2=4608
（元）…（
14
分）
D
17
答：此人从
A
城到
B
城最短路线是
A
→
F
→
O
< br>→
E
→
B
，所需的费
14
用最少为
4608
元
……（
15
分）
13
(<
/p>
第
12
题图
)
13B
．
如
图
所
示
，
在
△
ABC
中
，
∠
ACB=90
°
.
10
（
1
）当点
D
在斜边
AB
内部时，求证：
12
C
E
A
CD
2
BD
2
AD
BD
.
2
BC
AB
15
11
O
<
/p>
（
2
）当点
D<
/p>
与点
A
重合时，第（
1
）小题
说明理由
.
（
3
）
当点
D
在
BA
的延长线上时，<
/p>
第
（
1
）
请说明理由
.
解：
（
1
）作
DE
⊥
BC
，垂足为
E.
由勾股
F
7
5
18
B
<
/p>
中的等式是否存在？请
小题中的等式是否存在？
< br>定理得
G
9
E
C
H
D
A
CD
2<
/p>
BD
2
(
CE
2
DE
2
)
(
BE
2
DE
2
)
CE
BE
(
CE
BE
)
BC
.
2
2
B
CD
2
BD
2
CE
BE
CE
BE
所以
.
BC
BC
BC
BC
2
CE
AD
BE
BD
因为
DE
∥
AC
，所以
.
,
BC
AB
BC
AB
22
才哥数学
481659882
CD<
/p>
2
BD
2
AD
BD
AD
<
/p>
BD
故
.
……（
10
分）
AB
AB
AB
BC
2
（
2
）
当点
D
与点
A
重合时，第（
1
）小题中的等式仍然成立。此时有
AD=0
，
CD=AC<
/p>
，
BD=AB.
CD
2
BD
2
AC
2
AB
2
BC
2
1
，
所以
2
2<
/p>
2
BC
BC
BC
AD
BD
AB
<
/p>
1
.
AB
AB
从而第（
1
）小题中的等式成立
.
……（
1
3
分）
（
3
）当点
D
在
B
A
的延长线上时，第（
1
）小题中的等
式不成立
.
作
DE
< br>⊥
BC
，交
BC
的延长线于点
E
，则
CD
2
<
/p>
BD
2
CE
2<
/p>
BE
2
E
BC
2
BC
2
CE
BE
2
CE
1
,
BC
BC
AD
BD
AB
而
1
,
AB
AB
CD
2
BD
2
AD
BD
所以
.
……
（
15
2
AB
BC
C
B
A
D
分）
〖说明〗第（
< br>3
）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清
者不扣分）
.
14B
．已知实数
a
，
b
，
c
满足：
a+b
+c=2
，
abc=4.
（
1
）求
a
，
b
，
c
中的最大者的最小
值；
（
2
）
求
a
b
<
/p>
c
的最小值
.
解：
（
1
）不
妨设
a
是
a
，
b
，
c
中的最
大者，即
a
≥
b
，
a
≥
c
，
由题设知
a>0
，
< br>且
b+c=2-a
，
bc
4
.
a
4
0
的两实根，
a
于是
b
，
c
是一元二次方程
x
2
(
2<
/p>
a
)
x
(
2
a
)
2
4
4
≥
0
，
a
a
3
4
a
2
4
a
16
≥
0
，
(
a
2
4
)(
a
4
)
≥
0.
所以
a
≥
4.
……（
8
分）
又当
a=4
，
b=c=-1
时，满足题意
.
故
a
，
b
，
c
中最大者的最小值为
4.
……（
1
0
分）
（
2
）因为
abc>0
，所以
a
，
b
，
< br>c
为全大于
0
或一正二负
.
若
a
，
b
，
c
均大于
0
，则由（
1
）知，<
/p>
a
，
b
，
c
中的最大者不小于
4
，这与
a+b+c=2
矛盾
.
2
）若
a
，
b
，
c
为或一正二负
，设
a>0
，
b<0
< br>，
c<0
，则
a
b
c
a
b
c
a<
/p>
(
2
a
)
2
a
2
，
由（
1
）知
a
≥
4
，故
< br>2a-2
≥
6
，当
a=4
，
b=c=-1
时，
满足题设条件且使得不等式等号成立。故
a
< br>b
c
的最小值为
6.
……（
15
分）
2
13A
．如图所示，⊙
O
的直径的长是关于<
/p>
x
的二次方程
x
2
(
k
<
/p>
2
)
x
k
0
（
k
是整数）的最大整数根
.
P
是⊙
O
外一点，过点
P
作⊙
O
的切线
PA
和割线
PBC
，其
中
A
为切点，点
B
，
C
是直线
PBC
与⊙
O
的交点
.
若
PA
，
PB
，
PC
的长都是
正整数，
且
PB
的长
不
A
2
2<
/p>
2
是合数，求
PA
PB
PC
的值
.
解：设方程
x
2
(
< br>k
2
)
x
k
0
的两个根
O
23
P
2
B
C
才哥数学
481659882
为
x
1
，
x
2
，
x
1
≤
x
2
.
< br>由根与系数的关系得
x
1
x
2
4
2
k
，
①
x
1
x
2
k
.
②
由题设及①知，
< br>x
1
，
x
2
都是整数
.
从①，②消去
k
，得
2
x
1
x
2
x
1
< br>x
2
4
，
(
2
x
1
1
)(<
/p>
2
x
2
1
)
9
.
由上式知，
x
2
4
，且当
k=0
时，
x
2
<
/p>
4
，故最大的整数根为
4.
于是⊙
O
的直径为
4
，所以
BC
≤
4.
因为
BC=PC
－
PB
为正整数，所以
BC=1
，<
/p>
2
，
3
或
4.
……（
6
分）
连结
AB
，
A
C
，因为∠
PAB=
∠
PCA
，所以
PAB
∽△
PCA
，
(
第
13A
图
)
PA
PC
。
PB
PA
2
故
PA
<
/p>
PB
(
PB
<
/p>
BC
)
③
……（
1
0
分）
（
1
）当
BC=1
时，由③得，
PA
PB
PB
，于是
2
2
PB
2
PA
2
(
PB
1
)
2
，矛盾！
（
2
）当
BC=2
时，由③得
，
PA
2
P
B
2
2
PB
，于是
PB
2
PA
2
(
PB
1<
/p>
)
2
，矛盾！
（
3
）当
BC
=3
时，由③得，
PA
2
PB
2
3
PB
，于是
(
PA
PB
)(
PA
PB
)
3
PB
，
由于
PB
不是合数，结合
PA
PB
PA
PB
，故只可能
PA
PB
1
,
P
A
PB
3
PB
,
PA
2
,
解得<
/p>
PB
1
.
此时
PA
2
PB
2
PA
PB
3
,
PA<
/p>
PB
PB<
/p>
,
PA
PB
PB
,
PA
PB
3
,
PC
2
21
.
2
2
（
4
）当
BC=4
，由③得，
PA
PB
4
PB
，于是
(
P
B
1
)
2<
/p>
PB
2
4
PB
PA
2
(
PB
2
)
2
，矛盾
.
综上所述
<
/p>
PA
2
PB<
/p>
2
PC
2
21
.
……
（
15
分）<
/p>
14A
．
沿着
圆周放着一些数，
如果有依次相连的
4
个数
a
，
b
，
c
，
d
满足不
等式
(
a
d
)(
b
c<
/p>
)
>0
，
那么就
可以交换
b
，
c
的位置，这称为一次操作
.
（
1<
/p>
）若圆周上依次放着数
1
，
2
，
3
，
< br>4
，
5
，
6
，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的
4
个数
a
，
b
，
c
，
d
，都有
(
a
d
)(
b
c
)
≤
0
？请说明理由
.
（
2<
/p>
）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着
2003
个正整数
1
，
2
，…，
2003
，问：是否能经过有限次操作后，
对
圆周上任意依次相连的
4
个数
a
，
b
，
c
，
d
，都有
(
a
d
)(
b
c
< br>)
≤
0
？请说明理由
.
解：
（
1
）答案是肯定的
.
具体操作如下：
1
1
1
3
6
2
6
3
6
(3<
/p>
－
5)(2
－
4
)
>
0
(
1
－
4)(2
－
3)
>
0
交换
2
，
4
交换
2
，
3
5
3
5
5
2
4
4
4
2
1
1
6
4
6
4
(1
－
2)(3
－
4)
>
0
交换
3
，
4
24
(3
－
6)(2
－
5)
>
0
交换
2
，
5
才哥数学
481659882
……（
5
分）
（
2
）答案是肯定的
< br>.
考虑这
2003
个数的相邻
两数乘积之和为
P.
……（
7
分）
开始时，
P
0
=1
×
2+2
×
3+3
×
4+
…
+2002
×
2003+2003
×
1
，经过
k
（
k
≥
0
）次
操作后，这
2003
个数的相邻两数乘积之
和为
P
k
，此时若圆周上依次相连
的
4
个数
a
，
b
，
c
，
d
满足不等式
(
a
d
)(
b<
/p>
c
)
>0
，即
ab+cd>ac+bd
，交换
b
，
c
的
位置后，这
2003
个数的相邻两数乘积之和为<
/p>
P
k
1
，有
P
k
1
P
k
(
ac
cb
bd
)
(
ab
< br>
bc
cd
< br>)
ac
bd
ab
cd
0
.
所以
P
k
1
P
k
1
，即每一次操作，相邻两数乘积的
和至少减少
1
，由于相邻两数乘积总大于
0
，故经过有限次操
作后，对任意依次相连的
4
个数
a
，
< br>b
，
c
，
d
，一定有
(
a
d
)(
b
c
)
≤
0
.
…
2004
年
“
TRULY®
信利杯
”
全国初中数学竞赛试题
参考答案和评分标准
一、选择题（共
5
小题，每小题
6
分，满分
30
分
.
以下每道小题均给出了代号为
A
< br>，
B
，
C
，
D
的四个选项，其中有
且只有一个
选项是正确的
.
请将正确选项的代号填入题后的括号里
.
不填、多填或错填得零分）
1. <
/p>
已知实数
a
b
，且满足
(
a
1
)
3<
/p>
3
(
a
1
)
，
3
(
b
1
)
3
(
b
1
)
.
则
b<
/p>
（
A
）
23
（
B
）
23
（
C
）
2
（
D
）
13
答：选（
B
）
∵
a
、
b
是关于
x
的方程
2
2
b
a
a
的值为（
）
.
a<
/p>
b
x
1
2
3
(
x
1
)
3
0
的两个根，整理此方程，得
x
2
5
x
1
0
，
∵
25
4
0
，
∴
a
b
5
，
ab
1
.
故
a
、
b
均为负数
.
因此
a<
/p>
b
2
ab
23
.
b
a
b
a
a
2
b
2
b
< br>
a
ab
ab
ab
a
b
a
b
ab
ab
2.
若直角三角形的两条直角边
长为
a
、
b
，
斜边长为
c
，斜边上的高为
h
，则有
（
）
.
1
1<
/p>
1
1
1
1
（
A
）
ab
h
2
（
B
）
（
C
）
2
2
2
（
D
）
a
2
b
2
2
h
2
a
< br>b
h
a
b
h
2
答：选（
C
）
∵
a
h
0
，
b
h
0
，
2
2
2
< br>2
2
∴
ab
h<
/p>
2
，
a
b
h
h
2
h
；
因此，结论（
A
）
、
（
D
）显然不正确
.
设斜边为
c
，则有
a
b
c
，
1<
/p>
1
1
(
a
b
)
h
ch
ab
，即有
2
2
2
1
1
1
，
a
b
h
因此，结论（
B
）也不正确
.
由
1
1
1
1
1
a
2
b
2
h
ab
化简整理后，得
2
2
2
，
2
2
a
< br>b
h
因此结论（
C
）是正确的
.
25
才哥数学
481659882
3
．一条抛物线
y
ax
bx
c
的顶点为（
4
，
11
）
，且与
x
轴的两个交点的横坐标为一正一负，则
a
、
b
、
< br>c
中为
2
正数的（
）
.
（
A
）只有
a
（
B
）只有
b
（
C
）只有
c
（
D
）只有
a
和
b
答：选（
A
）
由顶点为（
4
，
11
）
，抛物线交
x
轴于两点，知
a>0.
设
抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标为
x
1
，
x
2
，即为方程
ax
2
bx
c
0
的两个根
.
由题设
< br>x
c
1
x
2
0
，知
a
0
，所以
c
0
.
根
据对称轴
x=4
，即有
b
2
a
< br>0
，知
b<0.
故知结论（<
/p>
A
）是正确的
.
4
．如图所示，在△
ABC
中，
DE
∥
AB
∥
FG
，且
FG
到<
/p>
DE
、
AB
的<
/p>
1:2.
若△
ABC
< br>的面积为
32
，
△
CDE
的面积为
2
，
则△
CFG
的面积
S
（
）
.
（
A
）
6
（
B
）
8
（
C
）
10
（
D
）
12
答：选（
B
）
由
DE
∥
AB
∥
FG
知，△
CDE
∽△
CAB
，△
CDE
∽△
CFG
，所以
（第
4
题图）
CD
S
CD
E
CA
S
2
1
，
CAB
32
4
又由题设知
FD
FA
1
2
，所以
FD
1
AD
3
，
FD
1
1
3
1
3
AD
3
4
AC
4
AC
，
故
FD
DC
，于是
S
2
CDE
S
1
1
4
，
S
CFG
8
.
CFG
< br>
2
因此，结论（
B
）是正确的
.
5
．如果
x
和
y
是非零实数，使得
x
y
3
和
x
y
x<
/p>
3
0
，
那么
x+y
等于（
）
.
（
A
）
3
（
B
）
13
（
C
）
1
13
2
（
D
）
4
13
答：选（
D
）
将
y
3
x
代入
x
y
x
3
0
，得
x
3
x
2
< br>
3
x
0
.
（
1
）当
x>0
时，
x
3
x
2
3
x
0<
/p>
，方程
x
2
<
/p>
x
3
0
无实根；
（
2
）当
x<0
时，
x
3
x
2
3
x
0
，得方程
x
2
x
3
0
解得
x
1
< br>
13
2
，正根舍去，从而
x
1
13
2
.
于是
y
3
x
3
1
13
2
< br>
7
13
2
.
故
x
y
4
13
.
26
距离之比为
等
< br>于
才哥数学
481659882
因此，
结论（
D
）是在正确的
.
二、填空题（共
5
小题，每小题
< br>6
分，满分
30
分）
6
．
如图所示，
在△
ABC
中，<
/p>
AB=AC
，
AD=AE
，
BAD
60
，
< br>EDC
（度）
.
答：
30
°
解：设
CAD
2
，由
AB=AC
知
则
1
(
180
60
2
)
6
0
，<
/p>
2
ADB<
/p>
180
<
/p>
B
60
60
，
由
AD=AE
知，
ADE
90
<
/p>
，
所以
EDC
180
ADE
ADB
30
.
B
间的距
离
d
（单位：
km
）有
T
（第
6
题图）
7
．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数
T
与这两个城市的人口数
m
< br>、
n
（单位：万人）以及两城市
kmn
的关系
(k
为常数
) .
现测得
A
、
B
、
C
三个城市的人
口及它们之间的距离如图所
2
d
示，<
/p>
且已知
A
、
B<
/p>
两个城市间每天的电话通话次数为
t
，<
/p>
那么
B
、
C
两个城市间每天的电话通话次数为
次
（用
t
表示）<
/p>
.
答：
t
<
/p>
2
50
80<
/p>
k
，
160<
/p>
2
解：据题意，有
t
∴
k
32
t
.
5
数为
因此，
B
、
C
两个城市间每天的电话通话次<
/p>
80
100
3
2
t
5
t
.
（第<
/p>
7
题图）
5<
/p>
64
2
320
2
2
2
2
2
8
．已知实数
a
、
b
、
x
、
y
满足
a
b
x
y
2
，
ax
by
5
，则
(
a
< br>
b
)
xy
ab
(
x
y
)
.
答：
5
<
/p>
解：由
a
b<
/p>
x
y
2
，得
(
a
b
)(
x
y
)
ax
by
ay
bx
4
，
∵
ax
<
/p>
by
5
，
∴
ay
bx
1
.
2
2
2
2
因而，
(
a
b
)
xy
ab
(
x
y
)
(
ay
bx
)(
ax
by
)
5
.
9
．
如图所示，在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
(BC
>AD)
，
D
90
，
为
.
BC=CD=12,
ABE
45
，
若
AE=10
，<
/p>
则
CE
的
长
T
BC
k
答：
4
或
6
解：延长
DA
至<
/p>
M
，使
BM
⊥<
/p>
BE.
过
B
作
BG
⊥
AM
，
G
为
BCDG
为正方形，
所以
BC=BG.
又
CBE
GBM
，
∴
Rt
△<
/p>
BEC
≌
Rt
△
BMG.
∴
BM=BE
，
ABE
ABM
45
，
∴△
ABE
≌△
ABM
，
AM=AE=10.
设
< br>CE=x
，
则
AG=
10
x
，
AD=
12
(
10
x
)
2
x
< br>，
DE=
在
Rt
△
ADE
中，
AE
AD
DE
，
∴
100
(
x
2
)
(
12
x
)
，
即
x
10
x
<
/p>
24
0
，
解之，得
x
1<
/p>
4
，
x
2
6
.
故
CE
的长为
4
或
6.
10
．实数
x
、
y
、
z
满足
x+y+z=5
，
xy+yz+zx=3
，则
z<
/p>
的最大值是
.
答：
2
垂
足
.
易知四边形
（第
< br>9
题图）
12
x
.
2
2
2
2
2
13
3
27
才哥数学
481659882
解：∵
x
y
5
z
，
xy
3
z
(
x
y
)
3
z
(
5
z
)
z
5<
/p>
z
3
，
∴
x
、
y
是关于
t
的一元二次方程
2
t<
/p>
2
(
5
z
)
t
z
2
5
z
3
0
的两实根
.
∵
(
5
z
)
4
(
z
5
z
< br>
3
)
0
，即
2
2
3
z
2
<
/p>
10
z
13<
/p>
0
，
(
3
z
13
)(
z
1
)
0
.
13
1
13
∴
z
，当
x
y
时，
z
.
3
3
3
13
故
z
的最大值为
.
3
三、解答题（共
4
题，每小
题
15
分，满分
60
< br>分）
11
．
< br>通过实验研究，
专家们发现：
初中学生听课的注意力指标
数是随着老师讲课时间的变化而变化的，
讲课开始时，
学生的兴
趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散
.
学生注意力指标数
y
随时间
x
（分
钟）变化的函数图象如图所示（
y
越大表示学生注意力越集中）
.
当
0
x
10
时，图象是抛物线的一部分，当
10<
/p>
x
20
和
20
x
40
时，图象是线段
.
（
1
）当
0
x
1
0
时，求注意力指标数
y
与时间
x
的函数关系式；
（
2
）
一道数学竞赛题需要讲解
24
分钟
.
问老师
能否经过适当安排，
使学生在听这道题时，
注意力的指标数都不
低于
36.
2
解：
< br>（
1
）当
0
x
10
时，设抛物线的函数关系式为
y
a
x
bx
c
，由于它的图象经过点（
0
，
20
）
，
（
5
，
39
）
，
（
10
，
48
）
，所以
c
20
,
25
a
5
b
c
39
,
100
a
10
b
c
< br>48
.
1
24
解得，
a
< br>
，
b
，
c
20
.
5
5
所以
（第
11
（
A
）题图）
1
24
y
x
2
x
20
5
5
0
x
10
.
…………………（
5
分）
7
（
2
）当
20
x
40
时
，
y
x<
/p>
76
.
5<
/p>
所以，当
0
x
10
时，令
y=36
，得
36
< br>
解得
x=4
，
x
20
（舍去）
；
当
20
x
40
时，令
y=36
，得
36
，
1
2
24
x
x
20
，
5
< br>5
7
x
76
，解得
5
200
4
28
< br>.
………
……………（
10
分）
7
7
4
4
< br>因为
28
4
< br>
24
24
< br>，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于
36
时，讲授完这道竞赛
7
7
x
题
.
……………………（
15
分）
12
．已知
a
，
b
是实数，关于
x
，
y
的方程
组
y
<
/p>
x
3
ax
2
bx
,
y
ax
b
有整数解
(
x
,
y
)
，求
a
，
b
满足的关系式
.
3
2
解：将
y
ax
b
代入
y
x
ax
bx
，消去
a
、
b
，得
28
才哥数学
481659882
y
x
xy
，
………………………（
5
分）
3
(
x
< br>
1
)
y
x
3
.
若
x+1=0
，即
x
< br>
1
，则上式左边为
0
，右边为
1
不可能
.
所以
x+
1
≠
0
，于是
x
3
1
y
x
2
x
1
.
x
1
x
1
因为
x
、
y
都是整数，所以
x
1
1
，即
x
2
或
x
0
，进而
y=8
或
y
0.
故
x
2
x
0<
/p>
或
………
………………（
10
分）
y
8
y
0
x
2
当
时，代入
y
ax
b
得，
2
a
b
8
0
；
y
8
x
0
当
< br>
时，代入
y
ax
b
得，
b
0
.
< br>
y
0
综上所述，
a
、
b
< br>满足关系式是
2
a
b
8
0
，或者
b
0
，
a
是任意实数
.
………………………（
15
< br>分）
13
．
< br>D
是△
ABC
的边
AB
上的一点，使得
AB=3AD
< br>，
P
是△
ABC
外接圆上一点，使得
ADP
ACB
，求
值
.
解：连结
AP
，则
APB
ACB
ADP
，
所以，△
APB
∽△
ADP
，
…………………………（
5
分）
PB
的
PD
AB
AP
，
AP
AD
所以
AP
2
AB
AD
3
AD
2
，
∴
AP
3
AD
，
………
…………………（
10
分）
PB
AP
所以
3
.
…………………………（
15
分）
PD
AD
∴
14
．已知
a<
/p>
0
，
b
0
，
c
0
，且
b
4
ac
b
2
ac
< br>，求
的最小值
.
解
：
令
y
ax
bx
c
，
由
a
0
，
b
0
，
c<
/p>
0
，
判
别
式
所以这个二次函数的图象是一条开口向下
的抛
b
2
4
ac
<
/p>
0
，
c
B
(
x
2
,
0
)
，
且与
x
轴有两个不同的交点
A
(
x
1
,
0
)
，
因为
x
1
x
2
0
，
a
b
x
1
x
2
，则
x
1
0
x
2
，对称轴
x
0
，于
是
2
a
2<
/p>
（第
13
（
A<
/p>
）题图）
2
b
2
4
ac
物
线
，
不
妨
设
（第
14
（
A
）题图）
b
b
2
4
ac
b
b
2
4
ac
< br>x
1
c
，
………………（
< br>5
分）
2
a
2
a
4
ac
b
2
b
b
2
4
ac
b
2
4
ac
c
所以
，
…………………（
10
分）
4
a
2
a
2
a
2
故
b
4
ac
4
，
当
a
1
，
b=0
，
c=1
时，等号成立
.
29
才哥数学
481659882
所以，
b
2
4
ac
的最小值为
4.
………………………（
15
分）
2005
年全国初中数学竞赛试卷
题号
得分
一
1~5
二
6~10
三
11
12
13
14
总分
一、选择题
(
满分
30
分
)
1.
如图
a
，
ABCD
是一矩形纸片，
AB=
6cm
，
AD=8cm,E
是
AD
上一点，且
AE=6cm
< br>，操作：⑴将
AB
向
AE
折过去，
使
AB
与<
/p>
AE
重合，得折痕
AF
< br>，如图
b
；⑵将△
AFB
以
BF
为折痕向右折过去，得图
c
，则△
GFC
的面积为<
/p>
(
)
E
B(
E)
D
D
B(
E)
D
A
A
A
G
C
B
F
F
C
F
C
A.2
B.3
C.4
D.5
图a
图c
图b
2.
若
M=3x2
－
8xy
＋
9y2
－
4x
＋
6y
＋
13(x
，
y
是实数
)
，则
M
的值一定是
(
)
A.
正数
B.
负数
C.
零
D.
整数
3.
已知点
I
是锐角△
ABC
的内心，
A1
，
B1
，
C1
分别是点
I
关于边<
/p>
BC
，
CA
，<
/p>
AB
的对称点。若点
B
< br>在△
A1B1C1
的
外接圆上，
则∠
ABC
等于
(
)
A.30
°
B.45
°
C.60
°
D.90
°
4.
设
A
<
/p>
48
(
1
1
3
2
4
4
2
4
1
< br>)
，则与
A
最接近的正整数是<
/p>
(
)
100
2
4
1
的函数值中整数的个数是
(
)
2
A.18
B.20
C.24
D.25
5.
在自变量
x
的取值范围
59
≤
x
≤
60
内，二次函数
y
x
2
x
A.59
B.120
C.118
D.60
二、填空题
(
满分
30
分
)
6.
在一个圆形的时钟的表面，
OA
表示秒针，
OB
表示分针
(O
为两针的旋转中心
)
。若现在时间恰好是
12
点整，则经
过
_____
秒后，△
OAB
的面积第一
次达到最大。
7.
在直角坐标系中，抛物线
y
x
2
mx
OA
，
OB
，
且满足
3
2
m
(
m
0)
与
x
轴交于
A
，
B
的两点。若
A
，
B
两点到原点的距离分别为
4
1
1
2
，则
m=_____.
OB
OA
3
8.
有两幅扑克牌，
每幅的排列顺序是
：
第一张是大王，
第二张是小王，
然后
是黑桃、
红桃、
方块、
梅花四种花色排
列，
每种花色的牌又按
A
，
2
，
3
，…，
J
，
Q
，
K
的顺序排列。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从
一到下把第一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底层，……如此下
去，直至最后只剩
下一张牌，则所剩的这张牌是
_______
__
30
才哥数学
481659882
9.
已知
D
，
E
分别是△
ABC
的边
BC
，
CA
上的点，
且
BD=4
，
DC=1
，
AE=5
，
EC=2
。连结
AD
和
BE
，它们交于点
P
。
过
P
分别作
PQ
∥
CA
，
PR
∥
CB
，
它们分别与边
AB
交于点
Q
，
R
，
则
△
PQR
C
的面积
与△
ABC
的面积的比是
______
__
D
E
10.
已知
x1,x2,x3,
…
x19
都是正整数，且
x1+x2+x3+
…
+x19=59
，
< br>P
x12+x22+x32+
…
+x192
的最大值为
A
，
最小值为
B
，
则
A+B
的值
等
于
_________
。
三、解答题、
(
满分
60
分
)
B
11.8
人乘速度相同的两辆小汽
车同时赶往火车站，
每辆车乘
4
人
A
(
不包括司
Q<
/p>
R
机
)
。其中一
辆小汽车在距离火车站
15km
地方出现故障，此时距
停止检票
的时间还有
42
分钟。这时惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘
5
人，且这辆车的平
均速度是
60km/h<
/p>
，人步行的平均速度是
5km/h
。试设
计两种方案，通过计算说明这
8
个人能够在停止检票前赶到火<
/p>
车站。
12
.
如图，
半径不等的两圆相交于
A
、
B
两点，
线段<
/p>
CD
经过点
A
，
且分别交两圆于
C
、
< br>D
两点。
连结
BC
、
BD
，
设
P
，
Q
，
K
分别是
BC
，
< br>BD
，
CD
的中点。
M
，
N
分别是弧
BC
和弧
BD
的中点。
求证：
(1)
BP
NQ
(2)
①△
KPM
∽△
MP
BQ
NQK
C
A
D
P
Q
B
N
M
第14题图
13. .
已知
p
，
q
都是质数，且使得关于
x
的二次方程
x
2
－
(8p
－
10q)x
＋
5pq=0
至少有一个
正整数根，求所有的质数对
(p
，
q)
.
14.
从
1
，
2
…
.
，
205
个共
20
5
个正整数中，
最多能取出多少个数。
使得对于取出来的数中的任意三个数
a,b,c (a,
都有
ab
≠
c.
31
才哥数学
481659882
2006
年全国初中数学竞赛试题
考试时间
2006
年
4
月
2
日上午
9
∶
30<
/p>
－
11
∶
30
满分
120
分
一、选择题（共
5
小题，每小题
6
分，满分
30
分。
以下每道小题均给出了代号为
A
，
B<
/p>
，
C
，
D
的四个选项，其中有
且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填
入题后的括号里。不填、多填或错填均得
0
分）
1
．在高速公路上，从
3<
/p>
千米处开始，每隔
4
千米经过一个限速标
志牌；并且从
10
千米处开始，每隔
9
千米经过一
个速度监控仪．刚好在
19
千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（
）
（
A
）
36
（
B
）
37
（
C
）
55
（
D
）
90
2
．已知
m
1
2
，
n
1
2
，且
(
7
m
14
m
a
)(
3
n
6
n
7
)
=8
，则
a
的值等于（
）
（
A
）－
5
（
B
）
5
（
C
）－
9
（
D
）
9
3
．
Rt
△
ABC
的三
个顶点
A
，
B
，
C
均在抛物线
y
x
上，并且斜边
AB
平行于
x
轴．
若斜边上的
高为
h
，则
（
）
（
A
）
h<1
（
B
）
h=1
（
C
）
<
br>3 6 <
br>为整数，且 <
br>a
1
（
D
）
h>2
4
．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪
成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点
的直线将其剪成两部分；又从得到的
三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……
如此下去，
最后得到了
34
个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的
刀数是（
）
（
A
）
2004
（
B
）
2005
（
C
）
2006
（
D
）
2007
5
．
如图，
正方形
ABCD
内接于⊙
O
，
点
P
在劣弧
AB
上，
连结
DP
，
交
AC
于点
Q
．
若
QP=QO
，
则
（
A
）
2
3
1
（
B
）
2
（
C
）
3
2
2
2
QC
的值
为
（
）
QA
D
C
2
（
D
）
3
2
O
二、填空题
<
/p>
（共
5
小题，每小题
分，满分
30
分）
6
．已知
a
，
b
，
c
a
＋
b=2006<
/p>
，
c
－
a=20
05
．若
a
，则
＋
b
＋
c
Q
的最大值为
．
7
．如图
，面积为
a
b
c
的正方形
DEFG
内接于
面积为
1
的正三角形
ABC
，其中
a
，
b
，
c
为
整数，
且
b
不能被任何质数的平方整除，则
A
D
a
c
的值
b
P
A
B
G
（第
5
题图）
等于
．
8
．正五
边形广场
ABCDE
的周长为
2000
米．甲、乙两人分别从
A
、
C
两点同时出发，沿
A
→
B
→
C
→
D
→
E
→
A
→…
方向绕广场行走，甲的速度为
50
米
/
分，乙的速度为
46
米
/
分．
那么出发后经过
分钟，甲、乙两人第一次行
走在同一
条边上．
C
B
E
F
9
．
已知
0
，且满足
a
．
(
x
表示不超过
x
的最大整数
)
10
．
小明家电话号码原为六位数，
第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字
8
，
成为一个七位数的电话号
码；第二次升位是在首位号码前加上数字<
/p>
2
，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电
话号码的
八位数，恰是原来电话号码的六位数的
81
倍，则小明家原来的电话号码是
．
三、解
答题（共
4
题，每小题
15
分，满分
60
分）
11
．
已知
x
1
2
29
（第
10
7
a
题图）
的值等于
a
a
< br>
18
，则
< br>
30
30
30
b
a
，
，<
/p>
（即
a
，
且它们
的最大公约数为
1
）
，
且
a
≤
8
，
2
1
x
3
<
/p>
1
．
b
为互质的正整数
b
是正整数，
a
试写出一个满足条件的
x
；
求所有满足条件的
x
．
12<
/p>
．设
a
，
b
，
c
为互不相等的实数，且满足关系式
32
才哥数学
481659882
b
2
c
2
2
a
2
16
a
14
①
bc
<
/p>
a
2
4
a
5
②
求
a
的取值范围．
13
．如图，点
P
为⊙
O
外一点，过点
P
作⊙
O
的两条切线，切
点分别为
A
，
B
．过点
A
作
PB
的平行线，交⊙
O
于点
C
．连结
PC
，交⊙
O<
/p>
于点
E
；连结
A
E
，并延长
AE
交
PB
于点
K
．求证：
PE
·
AC=CE
·
KB
．
P
K
E
B
A
O
14
．
10
个
学生参加
n
个课外小组，每一个小组至多
5
个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，
至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求
n
的最小值．
C
（第
13
题）
参考答案
一、选择题（共
5
小题，每小题
6
分，满
分
30
分。以下每道小题均给出了代号为
A
，
B
，
C
，
D
的四个选项，其中有
且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得
0
分）
1
．在高速公路上，从
3
千米处开始，每隔
4
千米经过一个限速标志牌；并且从
10
千米处开始，每隔
9
千米经过一
33
才哥数学
481659882
个速度
监控仪．刚好在
19
千米处第一次同时经过这两种设施，那么第
二次同时经过这两种设施的千米数是（
）
（
A
）
36
（
B
）
37
（
C
）
55
（
D
）
90
答：
C
．
<
/p>
解：因为
4
和
9
的最小公倍数为
36
，
19
＋
36=55
，所以第二
次同时经过这两种设施的千米数是在
55
千米处．
故选
C
．
<
/p>
2
．已知
m
<
/p>
1
2
，
n
1
2
，且
(
7
m
14
m
a
)(
3
< br>n
6
n
7
)
=8
，则
a
的值等于（
）
（
A
）－
5
（
B
）
5
（
C
）－
9
（
D
）
9
答：
C
．
<
/p>
解：由已知可得
m
2
2
m
1
，
n
2
<
/p>
2
n
1
．又
2
2
(
7
m
2
14
m
a
)(
3
n
< br>2
6
n
7
)
=8
，所以
(
7
a
)(
3
7
)
8
解得
a=
－
9
故选
C
．
<
/p>
3
．
Rt
△
ABC
的三个顶点
A
，
B
，
C
均
在抛物线
y
x
上，并且斜边
AB
平行于
x
轴．
若斜边上的高为
h
，则
（
）
（
A
）
h<1
（
B
）
h=1
（
C
）
<
br>a ，点
<
br>
1
（
D
）
h>2
答：
B
．
<
/p>
解：设点
A
的坐标为（
，
a2
）
C
的坐标为（
c
，
c2
）
（
|c|<|a|
）
，则点
B<
/p>
的坐标为
（－
a
，
a2
）
，
由勾股定理，得
AC
(
c
a
)
(
c
a
)
，
2
2
2
2
2
2
BC
2
(
c
a
)
2
(
c
2
a
2
)
2
，
AC<
/p>
2
BC
2
AB
2
所以
(
a
c
)
a
c
．
由于
a
2
c
2
，所以
a2
－
c2=1
，故斜边
AB
上高
h=
a2
－
c2=1
故选
B
．
<
/p>
4
．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成
两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点
的直线将其剪成两部分；又从得到的三
部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……
如此下去，最
后得到了
34
个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀
数是（
）
（
A
）
2004
（
B
）
2005
（
C
）
2006
（
D
）
2007
答：
B
．
<
/p>
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和
增加
360
°．于是，剪过
k
次后，可得
(k
＋
1)
个多边形，这些多边形的内角和为
(k
＋
1)
×
360
°．
因为这
(k
< br>＋
1)
个多边形中有
34
个六十二边形，它们的内角和为
34
×
(62
－
2)
×
180
°
=34
×
60
×
180
°，其余多边形有
(k
＋
1)
－
34= k
－
33(
个
)
，而这些多边形的内角和不少于<
/p>
(k
－
33)
×
180
°．所以
(k
＋
1)
×
360
°≥
34
×
60
×
180
°＋
(k
－
33)
×
180<
/p>
°，解得
k
≥
2
005
．
当我们按如下方式剪
2005
刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下
1
个三角形，得到
1
个
三角形和
1
个
五边形；再在五边形上剪
下
1
个三角形，得到
2
个三角形和
1
个六边形……如此下去，剪了
58
刀后，得到
58
个三
角形和
1
个六十二边形．再取
33
个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到
33
个三角形和
33
个四边形，对这
33
个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪
< br>58
刀，便
34
个六十二边形和
33
×
58
个
三角形．于是共剪了
58
＋
33
＋
33
×
58=2005
（刀）
．
故选
B
．
5
．
如图，
正
方形
ABCD
内接于⊙
O
，
点
P
在劣弧
AB
上，
连结
DP
，
交
AC
于点
Q
．
若
QP=QO
，
则
（
A
）
2
3
1
（
B
< br>）
2
3
（
C
）
3
2
2
2
2
2
QC
的值为
（
）
QA
D
O
Q
A
D
P
（第
5
题图）
C
2
（<
/p>
D
）
3
2
答：
D
．
<
/p>
解：如图，设⊙
O
的半径为
r
，
QO=m
，则
QP=m
，
QC=r
＋
m
，
QA=
r
－
m
．
<
/p>
在⊙
O
中，根据相交弦定理，得
QA
·
QC=QP
·<
/p>
QD
．
B
C
O
r
2
m
2
即
(r
－
m)(r
＋
m)=
m
·
QD
，所以
QD=
．
m
连结
DO
，由勾股定理，得
QD2=DO2
＋
QO2
，
34
Q
A
B
P
才哥数学
481659882
r
2
m
2
即
m
所以，
3
2
2
m
r
，
解得
r<
/p>
m
3
2
QC
r
m
3
1
< br>3
2
QA
r
m
3
1
故选
D
．
二、填空题
（共
5
小题，每小题
6
分，满分
30
分）
6
．已知
a
，
b
，
c
为整数，且
a<
/p>
＋
b=2006
，
c
－
a=2005
．若
a
，则
a
＋
b
＋
c
的最大值为
．
答：<
/p>
5013
．
解
：由
a
b
2006
，
c
a
2005
，得
a
b
c
a<
/p>
4011
．
因为
a
b<
/p>
2006
，
<
br>c
<
br>DEFG ，则 <
br>
a
，
a
为整数，所以，
a
的最大值为
1002
．<
/p>
于是，
a
＋<
/p>
b
＋
c
的最大值
为
5013
．
7
．如图，面积为
a
b
c
的正方形
DEFG
内接于
面积为
1
的正三角形
ABC
，其中
a
，
b
，
为整数，
且
b
不能被任何质数的平方整除，则
等于
．
答：
A
a
c
的值
b
D
G
E
F
4
7
题图）
2
（第
解：设正方形
的边长为
x
，正三角形
ABC
的边长为
m
m
，
3
3
m
x
x
由△
AD
G
∽△
ABC
，可得
2
，
解得
x
<
/p>
(
2
3
3
)
m
m
3
m
2
2
2
2
于是
< br>
x
(
2
3
3
)
m
28
3
48
，
a
c
< br>20
由题意，
a
28
，
b
3
，
c
48
，所以
< br>．
b
3
20
．
3
B
C
8
．正五边形广场
ABCDE
的周长为<
/p>
2000
米．甲、乙两人分别从
A
、
C
两点同时出发，沿
A
→
B
→
C
→
D
→
E
→
A
→…
方向绕广
场行走，甲的速度为
50
米
/
分，乙的速度为
46
米
/
分．那么出发后经过
分钟，甲、乙两人第一次行
走在同一条边上．
答：
104
．
解：设甲走完
x
条边时，甲、乙两人第
一次开始行走在同一条边上，此时甲走了
400x
米，乙走了<
/p>
46
×
米．于是
368(x
－
1)
＋
< br>800
－
400(x
－
1)>400
，
40
0
x
=368x
50
< br>400
13
104
．
50
1
2
< br>
29
a
a
<
/p>
18
，则
<
/p>
10
a
的值等
于
．
(
x
表示
9
．已知
x
0
，且满足
a
30
<
/p>
30
30<
/p>
所以，<
/p>
12.5
≤
x<13.5
．
故
x=13
，此时
t
不超过
的最大整数
)
答：
6
．
<
/p>
解：因为
0<
a
1
2<
/p>
29
1
2
29
a
a
2
，所以
a
，
a
，…，
a
等于
0
或
1
．由题设
30
30
30
30
30
30
知，其中有
18
个等于
1
，所以
1
2
11
12
13
29
< br>
a
a
a
a
a
a
=0
，
=1
，
< br>
30
30
3
0
30
30
30
11
12
所以
0
a
＜
2
．
1
，
1
≤
< br>a
30
30
< br>
35
才哥数学
481659882
故
18
≤
30a
＜<
/p>
19
，于是
6
≤
10 a
＜
19
，所以
10
a
=6
．
3
10
．
小明家电话号码原为六位数
，
第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字
8
，
成为一个七位数的电话号
码；第二次升位是
在首位号码前加上数字
2
，成为一个八位数的电话号码．小明发
现，他家两次升位后的电话号码的
八位数，恰是原来电话号码的六位数的
81
倍，则小明家原来的电话号码是
．
答：
282500
．
解：设原来电话号码的六位数为
abcdef
，则经过两次升位后电话号码的八位数为
2
a
8
bcdef
．根
据题意，有
81
×
abcdef
=
2
a
8
bcdef
．
记
x
b
10
c
10
d
10
e
10
f
< br>，于是
81
<
/p>
a
10
5
81
x
208
10
5
a
10
6
x
，
解得
x=1250
×<
/p>
(208
－
71a)
．
因为<
/p>
0
≤
x
＜
10
5
，所以
0
≤
1250
×
(2
08
－
71a)
＜
10
5
，故
4
3
2
128
208
．
a
≤
71
71
因为
a
为整数，所以
a=2
．于是
x=1250
×
(208
－
71
×<
/p>
2)=82500
．
< br>所以，小明家原来的电话号码为
282500
．
三、解答题（共
4
题
，每小题
15
分，满分
60
分）
11
．
已知
x
b
a
，
，
（即
a
，
且它们的最大公约数为
1
）
，
且
a
≤
8
，
2
1
x
3
1
< br>．
b
为互质的正整数
b
是正整数，
a
（
1
）试写出一个满足条件的
x
；
（
2
< br>）求所有满足条件的
x
．
1
满足条件．
……………
5
分
2
b
（
2
）因为
x
，
a
，为互质的正整数，且
a
≤
8
，所以
a
b
2
1
3
1
，
即
(
2
1
)
a
b
(
3
1
)
< br>a
．
a
当
a=1
时，
(
2
1
)
1
b
<
/p>
(
3
1
)
1
，这样的正整
数
b
不存在．
1
当
a=2
时，
(
2
1
)
2
b<
/p>
(
3
1
)
2
，故
b
=1
，此时
x
．
2
2
当
a=3
时，
(
2
1
)
3
< br>
b
(
3
1
)
3
，故
b
=2
，此时
x
．
3
当
a=4
时，
(
2
<
/p>
1
)
4
b
(
3
1
)
4
，与
a
< br>互质的正整数
b
不存在．
3
当
a=5
时，<
/p>
(
2
1
)
5
b
(
3
1
)
5
，故
b
=3
，此时
x
．
5
当
a=6
时，
(
2
1
)
6
b
(
3
1
)
6
，与
a
互质的正整数
b
不存在．
3
4
5
当
a=
7
时，
(
2
1
)
7
b
(
3
1
)
7
，故
b
=3
，
4
，
< br>5
此时
x
，
，
．
7
7
7
5
当<
/p>
a=8
时，
(
2
1
)
8
b
(
3
1
)
8
，故
b
=5
，此时
x
8
1
< br>2
3
3
4
5
5
所以，满足条件的所有分数为
，
，
，
，
，
，
．………………
15
分
2
3
5
7
7
7
8<
/p>
12
．设
a
，<
/p>
b
，
c
为互不相
等的实数，且满足关系式
b
2
c
2
2
a
2
16
a
14
①
bc
a
2
4
a
5
②
解：
（
1
）
x
求
a
的取值范围．
解法一
：由①－
2
×②得
(
< br>b
c
)
24
(
a
1
)
0<
/p>
，所以
a>
－
1
．
2
2
2
当
a>
－
1
时，
b
c
2
a
16
a
14
=
2
< br>(
a
1
)(
a
7
)
0
．………………
10
分
2
36
才哥数学
481659882
又当<
/p>
a
b
时，由①
，②得
c
2
a
2
16
a
14
，
③
ac<
/p>
a
2
4
a
5
④
将④两
边平方，结合③得
a
(
a
16
a
14
)
(
< br>a
4
a
5
)
化简得
2
4
a
3
8<
/p>
a
2
40
a
25
0
，
故
(
6
a
5
)(
4
a
2
a
5
)
0
，
解得
a
2
2
2
2
2
1
21
5
，或
a
．
4
6
1
21
5
，
a
．………………………
15
分
4
6
2<
/p>
2
2
2
解法二：
因为
b
c
2
a
16<
/p>
a
14
，
bc
a
4
a
5
，所以
(
b
c
)
2
2
a
2
16
a
14
2
(
a
2
4
a<
/p>
5
)
4
a
2
8
a
4
4
(
a
1
)
2
，
所以
b
c
2
(
a
1
)
．
又
< br>bc
a
2
4
a
5
，所以
b
，
c
为一元二次方程
x
2
2
(
a
1
)
x
a
2
<
/p>
4
a
5
0
⑤
所以，
a
的取值范围为
a>
－
1
且
a
的两个
不相等实数根，故
4
(
a
1
< br>)
4
(
a
4
a
5
)
0
，所以
a>
－
1<
/p>
．
当
a>
－
1
时，
b
2
c
2
2
a
2
16
a
< br>
14
=
2
(
a
1
)(
a
7
)
0
．………………
< br>10
分
另外，当
a
b<
/p>
时，由⑤式有
a
2
(
a
1
)
a
a
4
< br>a
5
0
，
即
4
a
2
2
a
5
0
或
6
a
5
0
，解得，
a
当
a
c
时，同理可得
a
2
2
2
2
1
21
5
或
a
．
4
6
1
21
5
或
a
．
4
6
1
21
5
所以，
a<
/p>
的取值范围为
a>
－
1
且
a
，
a
．…
……………………
15
分
4
6
13
．如
图，点
P
为⊙
O
外一点，过点
P
作⊙
O
的两条切线，切点分别为
A
，
B
．过点
A
作
PB
的平行线，交⊙
O
于点
C
．连结
PC
，交⊙<
/p>
O
于点
E
；连结
AE
，并延长
AE
交
PB
于点
K
．求证：
PE
·
AC=CE
·
KB
．
证明：因为
AC
∥
PB
，所以∠
KPE=
∠
< br>ACE
．又
PA
是⊙
O
的切线，
所以∠
KAP=
∠
ACE
，故∠
KPE=
∠
KAP
，于是
△
KPE
∽△
KA
P
，
KP
K
E
2
所以
，
即
KP<
/p>
KE
KA<
/p>
．
KA
KP
2
由切割线定理得
KB<
/p>
KE
KA<
/p>
所以
KP<
/p>
KB
．
…………………………
10
分
因为
AC
∥
PB
，△
KPE
∽△
ACE
，于是
P
K
E
B
即
PE<
/p>
·
AC=CE
·
KB
．
………………………………
15
A
分
14
．<
/p>
10
个学生参加
n
个课外小组，每一个小组至多
5
个人，每两个学生至少参加某
一个小组，任意两个课外小组，
至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．
求
n
的最小值．
O
解：设
10
个学生为
S
1
，
S
2
，…，
S
10
，
n
个课外小组
G
1
，
G
< br>2
，…，
G
n
< br>．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有
一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为
S
1
，由于每两个
学生至少在某一个小组内出现过，所以其它
9
个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有
10
个人了，矛
盾．
………
………………………
5
分
C
37
PE
KP
PE
KB
故
，
CE
AC
CE
AC
（第
13
题）
才哥数学
481659882
若有一
学生恰好参加两个课外小组，不妨设
S
1
恰好参加
G
1
，
G
2
，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没
有参加这两组，于是他们与
S
1
没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加
三个课外小组．于是
n
个课外小组
G<
/p>
1
，
G
2
，…，
G
n
的人数之
和不小于
3
×
10=30
．
另一方面，每一课外小组的人数不超过
5
，所以
n
个课外小组
G
1
，
G
2
，…，
G
n
的人数不超过
5n
，
故
5n
≥
30
，
所以<
/p>
n
≥
6
．
……………………………
10
分
下面构造一个例子说明
n=6
< br>是可以的．
G
1
S
1
< br>,
S
2
,
S
3
,
S
4
,
S
5
，
G
2
S
1
,
S
2
,
S
< br>6
,
S
7
,
S
8
，
G
3
S
1
,
S
3
,
S
6
,
S
9
,
< br>S
10
，
G
4
S
2
,
S<
/p>
4
,
S
7
,
S
9
,
S
10
，
G
5
< br>S
3
,
S
5
,
S
7
,
S
8
,
S
9
，
G
6
S
4
,
S
5
< br>,
S
6
,
S
8
,
S
1
0
．
容易
验证，这样的
6
个课外小组满足题设条件．
所以，
n
的最小值为
6
．
………
……………………
15
分
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“
《数学周报》杯”
2007
年全国初中数学竞赛试题
参考答案
一、选择题（共
5
小题，每小题
6
分，满分
30
分
.
以下每道小题均给出了代号为
A
，
B
，
C
，
D
的四个选项，其中有
且只有一个选项是正确的
.
请将正确选项的代号填入题后的括号里
.
不填、多填或错填得零分）
x
y
12,
x
y
6
的解的个数为（
）
1
．方程
组
．
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
4 <
/p>
答：
（
A
）
．
x
y
12,
x
y
6,
于是
y
y
< br>
6
，显然不可能．
解：若
x
≥
0
，则
x
y
12,
x
y
6,
x
0
若
，则
于是
y
y
18
，解得
y
9
，进而求得
x
3
．
x
3
,
y
9
,
< br>只有
1
个解．
所以，原方程组的解为
故选（
A
）
．
2
．口袋中有
20
个球，其中白球
9
个，红球
5
个，黑球<
/p>
6
个．现从中任取
10
< br>个球，使得白球不少于
2
个但不多
于
8
个，红球不少于
2
个，黑球不多于
3
个，那么上述取法的种数是（
）
．
（
A
）
14
（
B
）
16
（
C
）
18
（
D
）
20
答：
（
B
）<
/p>
．
解：用枚举法：
红球个数
白球个数
黑球个数
种
数
5
2
，
3
，
4
，
5
3
，
2
，
1
，
0
4
4
3
，
4
，
5
，
6
3
，
2
，
1
，
0
4
3
4
，
5
，
6
，
7
3
，
2
，
1
，
0
4
2
5
，
6
，
7
，
8
3
，
2
，
1
，
0
4
所以，共
16
种．
故选（
< br>B
）
．
3
．
已知△
ABC
< br>为锐角三角形，
⊙
O
经过点
B
，
C
，
且与边
AB
，
AC
分别相交于点
D
，
E
．
若⊙
O
的半径与△
ADE
的外接圆的半径相等
，则⊙
O
一定经过△
ABC
的（
）
．
38
才哥数学
481659882
（
A
）内心
（
B
）外心
（
C
）重心
（
D
）垂心
答：
（
B
）<
/p>
．
解：
如图，连接
BE
，因为△
< br>ABC
为锐角三角形，所以
B
AC
，
因为⊙
O
的半径与△
ADE
的外接圆的半径相等，
且
DE
为两圆的公
ABE
均为锐角．
又
共
弦
，
所
以
BAC
ABE
．于是，
BE
C
BAC
ABE
2
BAC
．
BO
1
C
2
BAC
O
若△
ABC
的外心为
1
，则
，所以，⊙
O
一定过
故选（
B
）
．
4
．已知三个
关于
x
的一元二次方程
2
2
2
△
< br>ABC
的外心．
（第
3
题答案图）
ax<
/p>
bx
c
0
，
bx
cx
a
0
，
cx
ax
b
0
a
< br>2
b
2
c
2
bc
ca
ab
的值为（
）
恰有一
个公共实数根，则
．
（
A
）
0
（
B
）
1
（
C
）
2
（
D
）
3 <
/p>
答：
（
D
）
．
解：设
2
x
0
是它们的一个公共实数根，则
2
2
ax
0
bx
0
c
0
< br>，
bx
0
cx
0
a
0
，
cx
0
ax
0
b
0
．
把上面三个式子相加，并整理得
2<
/p>
(
a
b
c
)(
x
0
x
0
1)
0
．
1
3
2
x
0
x
0
1
<
/p>
(
x
0
)
2
0
2
4
因为
，所以
a
b
c
0
< br>．
于是
a
2
b
2
c
2
a
3
<
/p>
b
3
c
3
a
3
b
3
(
a
b
)
3
bc
ca
ab
abc
abc
< br>3
ab
(
a
b
)
3
abc
．
故选（
D
）
．
3
2
3
x
6
x
5
x
y
y
< br>2
的整数解（
x
，
y
）的个数是（
）
5
．方程
．
（
A
）
0
（
B
）
1
（
C
）
3
（
D
）无穷多
答：
（
A
）<
/p>
．
解：原方程可化为
x
(
x
1)(
x
2)
< br>（
3
x
2
x
）
y
(
y
1)(
y
1)
<
/p>
2
，
因为三个
连续整数的乘积是
3
的倍数，所以上式左边是
< br>3
的倍数，而右边除以
3
余
2
，这是不可能的．所以，原方程
无整数解
．
故选
(A).
< br>二、填空题（共
5
小题，每小题
6
分，满分
30
分）
< br>
6
．如图，在直角三角形
AB
C
中，
ACB
90
，
CA
＝
4
．点
P
是半圆弧
AC
的中点，连接
BP
，线段
BP
把图形
APCB
分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是
．
答：
4
．
<
/p>
解：如图，设
AC
与
BP
相交于点
D
，点
D
关于圆心
O
的对称点记为
点
E
，
线段
B
P
把
图形
APCB
分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△
BEP
的面积
，即
△
BOP
面积
的两倍．而
S
BPO
1
1
PO
CO
2
2
2
2
2
．
y
3<
/p>
3
(
x
0)
x
的图象上，点
B
，
D
39
（第
6
题答案图）
< br>因此，这两部分面积之差的绝对值是
4
．
7
．如图
,
点
A
，
C
< br>都在函数
都
在
轴
才哥数学
481659882
上，且
使得△
OAB
，△
BCD
都是等边三角形，则点
D
的坐标为
< br>
．
答：<
/p>
（
2
6
，
0
）
．
解：如图，分别过点
A
，
C
作
x
< br>轴的垂线，垂足分别为
E
，
F<
/p>
．设
OE
＝
a<
/p>
，
BF
＝
b
，
则
AE
＝
3
a
，
CF
＝
3
b
，所
以，点
A
，
C
的坐标为
（
a
，
3
a
）
，
（
2
< br>a
＋
b
，
3
b
）
，
2
3
a
3
3
,
（第
7
题答案图）
3
b
(2
a
b
)
3
3
,
所以
解得
<
/p>
a
3
,
b
6
3
,
因此，点
D
的坐标为（
2
6
，
0
）
．
8
．已知点
A
，
B
的坐标分别为（<
/p>
1
，
0
）
，
（
2
，
0
）
．
若二次函数
点，则
a
的取值范
围是
．
答：<
/p>
1
≤
解：分两
种情况：
y
x
2
a
3
x
3
的图象与线段
AB
恰有一个交
a
< br>
1
2
，或者
< br>a
3
2
3
．
（
Ⅰ）因为二次函数
0
）
，所以
y
x
2
a
< br>
3
x
3
的图象与线段
AB
只有一个交点，且点
A
，
B
的坐标分别为（
1
，
< br>0
）
，
（
2
，
(
a
3
)
1
3
2
2
(
a
3
)
< br>
2
3
0
，
1
1
a
2
．
得
2
1
(
a
< br>3
)
1
3
0
，
得
a
1<
/p>
，此时
x
1
<
/p>
1
，
x
2
3
，符合题意；
由
1
3
a
x
2
2
2
，不符合题意．
2
，此时
x
1
2
，
由
2
(
a
3
)
2
3
< br>
0
，得
1
2
（Ⅱ）令
x
2
a
3
x
3
0
，由判别式
0
，得
a<
/p>
3
2
3
．
x
x
2
3
，不合题意；当
a
3
2
3
时，
x
1
x
2
< br>3
，符合题意．
当
a
3
2
3
时，
1
< br>1
2
，或者
a
< br>
3
2
3
．
综上所述，
< br>a
的取值范围是
1
≤
9
．如图，
A
B
C
D
E
F
G
n
90
，则
n
＝
．
a
答：
6
．
<
/p>
解：如图，设
AF
与
BG
相交于点
Q
，则
AQG
A
D
G
，
于是
A
B
C
D
E
F
G
B
C
E
F
AQG
B
C
< br>
E
F
BQF
540
6
90
．
所以，
n
＝
6
．
<
/p>
10
．已知对于任意正整数
n
，都有
（第
9
题答案图）
a
1
a
2
a
n
n
3
，
40
才哥数学
481659882
1
则
a
2
1
1
a
1
3
< br>1
a
100
< br>1
．
33
答：
100
n
．
解：当
≥
2
时
，有
a
1
a
2
a
n
1
a
n
n
3
< br>，
a
3
1
a
2
a
n
1
(
n
1)
，
两式相减，得
a
n
3
n
2
3
n
1
，
1
< br>1
1
1
1
所以
a
n
1
3
n
(
n
1
)
3
(
n
< br>
1
n
),
n
2
,
3
,
4<
/p>
,
1
1
因此
a
2
1
a
1
1
3
a
100
1
1
< br>3
(1
1
1
1
1
2
)
3
(
2<
/p>
3
)
1
3
(
1
99
1
100
)
1
1
33
3
(1
100
)
100
．
三、解答题（共
4
题，每小题
15
分，满分
60
分）
y
1
< br>2
11
（
A
）
．已知点
M
，
< br>N
的坐标分别为（
0
，
1
）
，
（
0
，－
1
）
，点
P
是抛物线
4
x
上的一个动点．
（<
/p>
1
）判断以点
P
为圆心，
PM
为半径的圆与直线
y
1
的位置关系
；
y
1<
/p>
2
（
2
）设直线
PM
与抛物线
4
x
的另一个交点为点
Q
，连接
NP
，
NQ
，求证：
PNM
QNM
．
(
x
1
2
解：<
/p>
（
1
）设点
P<
/p>
的坐标为
0
,
4
x
0
)
，则<
/p>
x
2
1
2
1
2
2
1
x
2
PM
＝
0
< br>(
4
x
0
1)
2
(
4
x
0
<
/p>
1)
4
0
1
;
1
x
2
1
2
又因为点
P
到直线
y
1
0
(
1)
x
的距离为
4
4
0
1
，
所以，以点
P
为圆心，<
/p>
PM
为半径的圆与直线
y
1
相切．
…………
5
分
（
2
）
如图，
分别过点
P
，
Q
作直线
y
1
的垂线，
垂足分别为
H
，
知，
PH
＝
PM
，同理可得，
QM<
/p>
＝
QR
．
因为
PH
，
MN<
/p>
，
QR
都垂直于直线
y
1
，
所以，
PH
∥
MN
∥
QR
，
QM
MP
RN
<
/p>
NH
，
（第<
/p>
11A
题答案图）
QR
PH
所以
< br>
RN
HN
，
因此，
Rt
△
PHN
∽
Rt
△
QRN
．
于是
HNP
RNQ
，从而
PNM
QNM
．
…………
15
分
x
2
abx
1
(
a
b
)
0
12
（
A
）
．已知
a
，
b
都是正整数，
试问关于
x
的方程
2
< br>是
41
< br>R
．
由
（
1
）
于是
才哥数学
481659882
否有两
个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明
.
解：不妨设
a
≤
b
< br>，且方程的两个整数根为
x
1
x
2
ab
,
1
x
1
x
2
(
a
b
),
< br>2
x
1
,
x
2
x
1
(
≤
x
2
)
，则有
1
1
x
1
x
2
x
1
x
2
< br>
a
b
ab
2
2
所以
，
4(
x<
/p>
1
1)(
x<
/p>
2
1)
(2
a
1)(2
b
1)
<
/p>
5
.
…………
5
分
因为
a
,b
都
是正整数，所以
x1
，
x2
均是正整数，于是，
x
1
1
≥
0,
x
2
1
≥
0
，
2
a
1
≥
1,
2
b
1
≥
1
，所以
（
x
1
1
)(
x
2
1
)
1
,
(
x
1
1)(
x
2
1)
0,
(
2
a
1
)(
2
b
1
)
1
.
(2
a
1)(2
b
1)
5,
或
(
x
1
1)(
x
2
1)
0,
(2
a
1)(2
b
1)
5
（
1
）当
时，由于
a
,b
都是正整数，且
a
≤
b
，可得
a
＝
1
，
b
< br>＝
3
，
2
此时，一元二次方程为
x
3
x
2
0
，它的两个根为
x<
/p>
1
1
，
x
2
2
．
（
2
）当
a
＝
1
< br>，
b
＝
1
，
(
x
1
1)(
x
2
1)
<
/p>
1,
(2<
/p>
a
1)(2
b
1)
1<
/p>
时，可得
2
此
时，一元二次方程为
x
x
1
0
，它无整数解
.
综
上
所
述
，
当
且
仅
当
a
＝
1
，
b
＝
3
时
，
题
设
方
程
有<
/p>
整
数
解
，
且
它
的
两
个
整
数
解
为
x
1
1
，
x
2
2
．
………
……
15
分
13
（
A
）
．
已知
AB
为半圆
O
的直径，点
P
为直径
AB
上的任意一
点．以点
A
为圆心，
AP
为半径作⊙
A
，⊙
A
与半圆
O
相交于点
C
；以点
B<
/p>
为
圆心，
BP
为
半径作⊙
B
，
⊙
B
与半圆
O
相交于点
D
，
且线段
< br>CD
的中点为
M
．
求
证：
MP
分
别与⊙
A
和⊙
B
相切．
证明：如图，连接
AC
，
AD
，
BC
，
BD
，并且分别过点
C
，
D
作
AB
的垂线，
垂足分别为
E
,
F
，则
CE
∥
DF
．
<
/p>
因为
AB
是⊙
O
的直径，所以
（第
< br>13A
题答案图）
ACB
ADB
90
．
在
Rt
△
ABC
和
Rt
△
ABD
中，由射影定理得
< br>PA
2
AC
< br>2
AE
AB
，
PB
2
BD
2
BF
AB
．
………
……
5
分
两式相减可得
PA<
/p>
2
PB
2
AB
AE
BF
，
，
又
于是有
AE
<
/p>
BF
PA
<
/p>
PB
，
PA<
/p>
2
PB
2
(
PA
PB
)(
PA
PB
)
AB
PA
PB
即
PA<
/p>
AE
PB<
/p>
BF
，
所以
PE
PF<
/p>
，也就是说，点
P
是线段
EF
的中点．
因此，
MP
是直角梯形
CDFE
的中位线，于是有
MP
AB
，从而可得
MP
分别与⊙
< br>A
和⊙
B
相切．
……………
15
分
14
（
A
）
．
（
1
）是否存在正整数
m
，
n
，使得
m
(
m
2)
n
(
n
1)
？
42
才哥数学
481659882
（
2
）设
k
(
k
≥
3)
是给定的正整数，是否存在正整数
m
，
n
，使得
m
(
m
k
)
n
(
< br>n
1)
？
解：
（
1
）答案是否定的．若存在正整数
m
，
n
，使得
m
(
m
2)
n
(
n
1)<
/p>
，则
(
m
1)
2
n
2
n
1
，
显然
n
1
< br>，于是
n
2
< br>
n
2
n
1
(
n
1)
2<
/p>
，
2
所以，<
/p>
n
n
1
不是平方数，矛盾．
……………
5
分
（
2
）
当
k
3
时，
若存在正整数
m
，
n
< br>，满足
m
(
m
< br>
3)
n
(
n
1)
，则
4
m
2
12
m
4
n
2
4
n
，
(2
m
3)
2
(2
n
1)
2
8
，
(2
m
3
2
n
1)(2
< br>m
3
2
n
1)
8
，
(<
/p>
m
n
1)(
m
n
2)
2
，
而
m
n
2
< br>
2
，故上式不可能成立．
………………
10
分
当
k
≥
4
时，若
k
2
t
（
t
是不小
于
2
的整数）为偶数，取
m
t
2
t
,
n
t
2
1
，
2
2<
/p>
4
2
m
(
m
k
)
(
t
t
)(
t
< br>t
)
t
t
则
，
2
2
4
2
n
(
n
1)
(
t
1)
t
< br>t
t
，
因此这
样的（
m
，
n
）满足条件．
若
k
< br>
2
t
＋
1
（
t
是不小于
2
的整数）为奇数，取
t
2
t
t
2
t
2
m
,
n
2
2
，
t
2
<
/p>
t
t
2
t
1
m
(
m
k
)
(
2
t
1)
(
t
4
2
t
3
t
2
2
t
)
2
2
4
则
，
t
2
t
2
t
2
t
1
4
n
(
< br>n
1)
(
t
2
t
3
<
/p>
t
2
2
t
)
2
2
4
，
因此这
样的（
m
，
n
）满足条件．
综上所述，当
k
3
时，答案是否定的；当
k
≥
4
时，答案是
肯定的．
……………
15
分
注：当
k
≥
4
时，构造的例子不是唯一的．
11
（
B
）
．已知抛物线
C
1
于
A
，
B
两点<
/p>
.
点
P
在抛物
线
上，且位于点
A
和点
B
之间；点
Q
在抛物线
（
1
）求线段
AB
的长；
（
2
）当
PQ
∥
y
轴时，求
PQ
长度的最大值．
解：
（
1
< br>）解方程组
2
y
< br>x
3
x
4,
2
y
x<
/p>
3
x
4,
43
2
C
2
y
x
2
3
x
4
< br>y
x
3
x
4
：
和抛物线
：
相交
C
2
C
1
上，也位于点
A
和点
B
之间
.
才哥数学
481659882
x
1
2,
x
2
2,
y
6,
y
6,
得
< br>
1
2
所以，
点
A
，
B
的坐
标分别是（
-2
，
6
< br>）
，
（
2
，
-6
）
．
于是
AB
(2
2)
2
(
6
6)
2
4
10
．
…………
5
分
（
2
）如图，当
PQ
∥
y
轴时，设点
P
，
Q
的坐标分别为
(
t
,
t
2
< br>3
t
4
)
，
(
t
,
t
2
3
t
4
)
，
2
t
< br>
2
，
2
2(4
t
)
≤
8
，
因此
PQ
当
t<
/p>
0
时等号成立，所以，
PQ
的长的最大值
8
．
……………
15
分
12
（
B<
/p>
）
．实数
a
，<
/p>
b
，
c
满足
a
≤
b
≤
c
，且
ab
bc
ca
0
，
abc
＝
1
．求最
使得不等式
≥
恒成立．
（第
11B
题答案图）
大的实数
k
，
a
b
k
c
3
解：当
a
b
2
，
………
……
5
分
下
面证明：不等式
3
c
2
2
时，实数
a
，
b
，
c
< br>满足题设条件，此时
k
≤
4
．
对满足题设条件的实数
a
，
b
，
c
恒成立．
a
< br>
b
≥
4
c
由已知条件知，
a
，
b
，
c
都不等于
0
，且
c
0
．因为
1
1
0,
a
b
2
0
c
c
，
所以
a
≤
b
0
．
ab
由一元二次方程根与系数的关系知，
a
，
b
是一元二次方程
x
2
的
两个实数根，于是
1
1
x
0
< br>c
2
c
1
4
4
c
c
≥
0
，
1
3
所以
c
≤
4
．
………
……
10
分
因此
a
<
/p>
b
(
a
b
)
……………
15
分
1
c
2
≥
4
c
4
c
．
DE
AD
CF<
/p>
BC
．若
CD
，
FE
的延长
13
（
B
）
．如图，点
< br>E
，
F
分别在四边形
ABCD
的边
AD
，
BC
的延长线上，且满足
线相交于点
G
，△
DEG
的外接
圆与△
CFG
的外接圆的另一个交点为点
P
，连接
PA
，
PB
，
PC
，
PD
．求证：
AD
PD
BC
PC
；
（
1
）
（
2
）△
< br>PAB
∽△
PDC
．
44
才哥数学
481659882
证明：
（
1
）连接
P
E
，
PF
，
P
G
，因为
PDG
PEG
，所以
PDC
PEF
．
又因为
PCG
PFG
，所以
△
PDC
∽△
PEF
，
PD
PE
,
CPD
FPE
PC
PF
于是有
，
从而
△
PDE
∽△
PC
F
，
PD
D
E
所以
PC
CF
．
DE
AD
AD
PD
CF
BC
BC
PC
．
又已知
，所以，
………………
10
分
（第
13B
题答案图）
（
2
）由于
PDA
PGE
PCB
，结合（
1
）知，△
PDA
∽△
PCB
，从而有
PA<
/p>
PD
,
PB<
/p>
PC
DPA
CPB
，
所以
<
/p>
APB
DP
C
，因此
△
PAB
∽△
PD
C
．
………
………
15
分
14
（
B<
/p>
）
．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长
u
，
v
满足
u
1
< br>5
2
．
1
≤
v
证
明：设任意△
ABC
的三边长为
a
，
b
，
c
，不妨设
a
b
c
．若结论不成立，则必有
a
1
5
b
≥
2
，
○
1
b
1
5
c
≥
2
．
○
2
………………
5
分
记
b
c
s
,
a
b
t
c
< br>
s
t
，显然
s
,
t
0
，代入○
1
得
c
s
t
1
<
/p>
5
c
s
≥
2
，
s
t
1
c
c
1
5
s
1
c
≥
2
，<
/p>
s
t
x
,
y
c
c
，则
令
1
x
< br>
y
1
5
1
x
≥
2
．
○
3
由
a
b
c
，得
c
s
t
c
s
c
，即
t
c
，于是
由○
2
得
y
t
1
c
．<
/p>
1
5
b
c
s
1
x
c
c
≥
2
，
○
4
45
才哥数学
481659882
由○<
/p>
3
，○
4
得
1
5
5
1
1
5
< br>
1
2
1
(1
x<
/p>
)
y
≥
2
≥
2
，
此式与
y
1
矛盾．从而命题得证．
………………
15
分
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“
《数学周报》杯”
2008
年全国初中数学竞赛试题
<
/p>
班级
__________
学号
__________
姓名
_________
_____
得分
______________
一、选择题（共
5
小题，每小题
6
分，满分
30
分．以下每道小题
均给出了代号为
A
，
B
，
C
，
D
的四个选项，其中有
且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号
里．不填、多填或错填都得
0
分）
<
/p>
4
2
4
1
．已知实数
x
，
y<
/p>
满足：
－
＝
3<
/p>
，
y4
＋
y2<
/p>
＝
3
，则
＋
y4
的值为
（
）
x4
x2
x4
1
＋
13
7
＋
13
（<
/p>
A
）
7
（
B
）
（
C
）
（
D
）
5 <
/p>
2
2
2
．把一枚
六个面编号分别为
1
，
2
，
3
，
4
< br>，
5
，
6
的质地均匀的正方体骰子先后投掷
2
次，若两个正面朝上的编
号分
别为
m
，
n
，则二次函数
y
＝
< br>x2
＋
mx
＋
< br>n
的图象与
x
轴有两个不同交点
的概率是
（
）
5
4
17
1
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
12
9
36
2
3
．有两个同心圆，大圆周上有
4
个不同的点，小圆周上有
2
个不同的点，则这<
/p>
6
个点可确定的不同直线最少有
（
）
（
A
）
6
条
（
B
）
8
条
（
C
< br>）
10
条
（
D
）
12
4
．
已知
AB
是半径为
1
的圆
O
的一条弦，
且
AB
＝
a
＜
1
．以
AB
为一边在圆
O
内作正△
ABC
，点
D<
/p>
为圆
O
上不同于
点
A
的一点，且
DB
< br>＝
AB
＝
a
，
DC
的延长线交圆
O
于点
E
，则
AE
的长为
（
）
5
3
（
A
）
a
（
B
）
1
（
C
）
（
D
）
a <
/p>
2
2
5
．将
1
，
2
，
3
，
4
，
5
这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和
都能被这三个数中
的第一个数整除，那么满足要求的排法有
（
）
（
A
）
2
种
（
B
）
3
种
（
C
< br>）
4
种
（
D
）
5
种
二、填空题（共
5
< br>小题，每小题
6
分，满分
30<
/p>
分）
1
6
．对于实数
u
，
v
，定义一种运算“
*
”为：
u*v
＝
uv
＋
v
．若关于
x
的方程<
/p>
x*
（
a*x
）
＝－
有两个不同的实数根，则
4
满足条
件的实数
a
的取值范围是
______
_
．
7
．小
王沿街匀速行走，发现每隔
6
分钟从背后驶过一辆
18
路公交车，每隔
3
分钟
从迎面驶来一辆
18
路公交车．假
设每
辆
18
路公交车行驶速度相同，
而且<
/p>
18
路公交车总站每隔固定时间发一辆车，
那么发车间隔的时间是
_____
分钟．
8
．
如图，
在△
ABC
中，
AB
＝
7
，
AC
＝
11
，
点
< br>M
是
BC
的中点，
AD
是∠
BAC
的平分线，
A
MF
∥
AD
，则
FC
的长为
______
．
F
9
．△
ABC
中，
AB
＝
7
，
BC
＝
8
，
CA
＝
9
，过△
ABC
的内切圆圆心
I
作<
/p>
DE
∥
BC
，分
别与
AB
，
AC
相交于点
D
，
E
，则
DE
的长为
______
．
10
．关于<
/p>
x
，
y
的方程<
/p>
x2
＋
y2
＝<
/p>
208(x
－
y)
的所有正整数解为
________
．
B
C
三、解答题（共
4
题，每题
15
分，满分<
/p>
60
分）
D<
/p>
M
11
．在直角坐标系
< br>xOy
中，一次函数
y
＝
kx
＋
b
（
k
≠
0
）的图象与
x
轴、
y
轴的正半
轴分
别交于
A
，
B
两点，且使得△
OAB
的面积值等
于｜
OA
｜＋｜
OB
< br>｜＋
3
．
（
1
）用
b
表示
k
；
（
2
）求△
OAB
面积的最小
值．
46
才哥数学
481659882
12
．是否存在质数
p
，
q
，使得关于
x
的一元二次方程
px2
－
qx
＋
p
＝
0
有有理数根？
13
．是否存在一个三边长恰是三个
连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角
2
倍的△
ABC
？证明你的结论．
14
．从
1
，
2
，…，
9
中任取
n
个数，其中一定可以找到若干
个数（至少一个，也可以是全部）
，它们的和能被
10
整
除，求
n
的最小值．
简答：
选择题
ACBBD
；
16
填空题
6. a
＞
0
或
a
＜－
1
；
7. 4
；
8. 9
；
9.
；
10.
x
＝
48
，
x
＝
160
，
3
y
＝
32<
/p>
；
y
＝
32
．
2b
－
b2
三．
解答题：
11.
（
1
）
k
＝<
/p>
，
b
＞
2
；
（
2
）
当
b
＝
2
＋
10
，
k
＝－
1
时，
△
OAB
面积的最小值为
7<
/p>
＋
2
10
；
2(b
＋
3)
1
12.
存在满足题设条件的质数
p
，
q.
当
p
＝
2
，
q
＝
5
时，方程
2x2
－
5x
＋
2
＝
0
的两根为
x1
＝
，
x2
＝
2.
它们都是
2
有理数；
13.
存在满足条件的三角形
.
△
ABC
的边
a
＝
6
，
b
＝
4
，
c
＝
5
，且∠
A
＝
2
∠
B
，证明略
.
14. n
的最小值是
5
，证明略．
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“
《数学周报》杯”
2009
年全国初中数学竞赛试题
参考答案
一、选择题（共
5
小题，每小题
7
分，共
35
分
.
以
下每道小题均给出了代号为
A
，
B
，
C
，
D
的四个选项，其中有且
只有一个选项是正确的
.
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得
0
分）
1
．
已知非零实数
a
，
b
满足
2
a<
/p>
4
b
2
(
a
3)
b
4
2
< br>a
，则
a
b
等于（
）
．
（
A
）－
1
（
B
）
0
（
C
）
1
（
D
）
2
【答】
C
．
2
47
才哥数学
481659882
解：由
题设知
a
≥
3
，所以，题设的等式为
b
2
(
a
3)
b
0
，于是
a
3
，
b
2
，从而
a
b
＝
1
．
2
．
如图，
菱形
ABCD
的边长为
a
，
点
O
是对角线
AC
上的一点，
且
OA
＝
a
，
OB
则
a
等于（
）
．
（
A
）
＝
OC
＝
OD
＝
1
，
2
5
1
5
1
< br>
（
B
）
（
C
）
1
（
D
）
2 <
/p>
2
2
（第
2
题）
【答】
A
．
解：因为△
BOC
∽
△
ABC
，所以
BO
BC
，即
AB
AC
1
a
，
a
a
1
所以，
a
2
a
1
0
．
1
5
由
< br>a
0
，解得
< br>a
．
2
3
．将一枚六个面编号分别为
1<
/p>
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
的质地均匀的正方体骰子先
< br>
后投掷两次，记第一次掷出的点数为
a
，第二次掷出的点数为
b
，则使关于
< br>x
，
y
的方程组
解的概率为（
）
．
（
A
）
ax
by
3
，
只有正数
x
2
y
2
1
2
5
13
（
B
）
（
C
）
（
D
）
12
9
18
36<
/p>
【答】
D
．
解：当
2
a
b
0
时，方
程组无解．
6
2
b
x
,
2<
/p>
a
b
当
2
a
b
0
时，方程组的解为
2
a
3
y
.
2
a
b
< br>2
a
b
0
,
2
a
b
0
,
6
2
b
0
,
< br>
3
3
2
a
b
由已知，得
即
a
,
或
a
,
2
a
3
2
2
0
< br>,
2
a
b
b
3
,
b
3
.
由
a
，
b
的实际意义为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，可得
3
，
4
，
5
，
6
，
a
2<
/p>
，
a
1
，
共有
5
×
2
＝
10
种情况；或
共
3
种情况．
2
，
5
，
6
，
b
1
，
< br>b
4
，
13
又掷两次骰子出现的基本事件共
6
×
6
＝
36
种情况，故所求的概率为
．
36
4
．如图
1
所示，
在直角梯形
ABCD
中，
AB
∥
DC
，
B
90
.
动点
P
从点
B
出发，沿梯形的边由
B
→
C
→
D
< br>→
A
运动
.
< br>设点
P
运动的路程为
x
，△
ABP
的面积为
y
.
把
y
看作
x
的函数，函数的
图像如图
2
所示，则△
ABC
的面积为（
< br>
）
．
（
A
）
10
（
B
）
16
（
C
）
18
（
D
）
32
图
2
【答】
B
．
图
1
（第
4
题）
解：根据图像
可得
BC
＝
4
，
CD
< br>＝
5
，
DA
＝
5
，
进而求
得
AB
＝
8
，故
S
△
ABC
＝
1
×
8×
4
＝
1
6.
2
48