2019年上半年中小学教师资格考试真题试卷(初级中学)数学
-
2019
年上半年中小学教师资格考试真题试卷
数学学科知识与教学能力（初级中学）
一、单项选择题（本大题共
8
小题，每小题
< br>5
分，共
40
分）
1.
下列选项中，运算结果一定是无理数的是（）
A.
有理数与无理数的和
B.
有理数与有理数的差
C.
无理数与无理数的和
D.
无理数
与无理数的差
x
< br>
a
cos
2
< br>t
,
2.
在空间直角坐标系中，由参数方程
y
a
sin
2
t
,
0
t
2
<
/p>
所确定的曲线的一
< br>z
a
sin
< br>2
t
般方程是（）
x
y
a
,
x
y
a
,
A.
2
B.
2<
/p>
z
2
xy
z
4
xy
2
2
2
2
2
2
x
y
a
,
x
<
/p>
y
a
,
C.
2
D.
2
z
2
xy
z
< br>
4
xy
3.
< br>已知空间直角坐标与球坐标的变换公式为
x
cos
cos
,
y
cos
sin
,
0,
,
，则在球坐标系中，
< br>
表
2
2
3
z
sin
示的图形是（）
< br>A.
柱面
B.
圆面
C.
半平面
D.
半锥面
4.
设
A
为
n
阶方阵，
B
是
A
经过若干次
初等行变换得到的矩阵，则下列结论正
确的是（）
A.
A
B
B.
A
B
C.
若
A
< br>
0
，则一定有
B
0
D.
若
A
0
，则一定有
B
0
5.
已知
f
x
1
n
1
n<
/p>
1
1
2
n
1
x
，则
f(1)=
（）
2
n
1
!
A.-1B.0C.1D.
< br>
1
1
1
有三个线性无关的特征向量，
2
是
A
的二重特征
x
4
y
6.<
/p>
若矩阵
A
<
/p>
3
3
5
根，则（）
A.x=-2,y=2B.x=1,y=-1
C.x=2,y=-2D.x=-1,y=1
7.
下列描述为演绎推理的是（）
A.
从一般到特殊的推理
B.
从特殊到一般的推理
C.
通过实验验证结论的推理
D.
通过观察猜想得到结论的推理
<
/p>
8.
《义务教育数学课程标准》（
201
1
年版）从四个方面阐述了课程目标，这个
四个目标是（）
A.
知识技能、数学思考、问题解决、情
感态度
B.
基础知识、基本技能、问
题解决、情感态度
C.
基础知识、基
本技能、数学思考、情感态度
D.
知
识技能、问题解决、数学创新、情感态度
二、简答题（本大题
共
5
小题，每小题
7
< br>分，共
35
分）
9.
一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各
20<
/p>
名同学在综合实践基地脱玉米粒，
一天内每人完成脱粒数量（千克
）的数据如下：
甲组：
57,59,
63,63,64,71,71,71,72,75
75,78,79,82,83,83,85,86,86,89
乙组：
50,53,57,62,62,63,65,65,67,68
69,73,76,77,78,85,85,88,94,96
问题：（
1
）分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（千克）的中位数；（
2
分）
（
2
）比照甲、乙两组数据，请你给出
2
种信息，并说明实际意义。（
5
分）
< br>
10.
试判断过点
P
1
(2
，
0
，
1),P
2
(4
，
3
，
2),P
3
(-2
，
1
，
1)
的平面
<
/p>
与平面
1
x
<
/p>
2
y
7
z
3
0
的位置关系，并写出一个与平面
垂直的方程。
2
11.<
/p>
已知方程
x
5
+
5x
4
+5x
3
-5x
2
-6x=0
的两个实数解为
1
与
-2
，试
求该方程的全部实
数解。
12.
用统计方法解决实际问题的过程主要包括哪些步骤？
13.
评价学生的数学学习应采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价
方式。
三、解答题（本大题
1
小题，
10
分）
<
/p>
14.
设
R
2<
/p>
为二维欧式平面，
F
是
< br>R
2
到
R
2
的映射，如果存在一个实数
,0
1
，
使得对于任意的
P
，
Q
∈
R
2
，有
d(F(P),F(Q))
≤
d(P,Q)
（其中
d(P,Q)
表示
P,Q
两
点间的距离），则称
F
是压缩映射。
设映射
T
：
R
2
→
R
2
，
< br>1
1
T
x
,
y
x
,
y
,
x
,
y
< br>R
2
。
2
3
（
1
）证明：映射
T
是压缩映射；（
4
分）
（
2
）设
P
0
=P
0
(x
0
,y
0
)
为
R
2
中任意一点，令
P
n
=T(P
n-
1
)
，
n=1,2,3,
…，求
lim
P
n
。
n
（
6
分）
四、论述题（本
大题
1
小题，
15
分）
15.
函数是中学数学课程
的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中学
数学课程中的方程、不等式、数列
等内容。
五、案例分析题（本大题
1
小题，
20
分）
16.
案例：
< br>甲、乙两位数学教师均选用如下素材组织了探究活动，如图
1
所示，这是一个
三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
50cm
、
25cm
和
15cm
。
A
和
B
是这
个台阶的两个相对端点，
B
点上有一只蚂蚁，想到
A
点去吃
食物。请你想一想，
这只蚂蚁从
B
点出
发，沿着台阶面爬到
A
点，最短路线是什么？
< br>
（图
1
）
两位教师的教学过程如下：
甲教师：
用大屏幕展示问题情境，组织小组讨论，学生开始读题，教师巡视过
程中看到有的同学把
台阶画出来，与教学预设不符，立即中止了大家的讨论，
指着题目说：“同学们请注意读
题，是‘沿着台阶面’，你们把这张图画出来
有什么用？”
<
/p>
在接下来的讨论中，教师又遇到新情况，有的学生画展开图，却把尺寸弄错了，
于是教师终止思考。
乙教师：展示情境，将问题
进行分析，出示了一张台阶模样的纸片，边说边将
纸片拉直，如图
2
所示，然后让大家研究。很快，有同学说出答案，教师解释
了下，同学们都明白了。
（图
2
）
甲、乙教师课后交流：两个教师在教学中均有探究。
问题：
（
1
）《义务教育数学课程标准》（
2011
年版）指出，“有效的数学活动是教
师教与学生学的统一”，教师应成为学生学习活动
的组织者、引导者、合作者。
请说明两位教师的教学是否符合要求。（
< br>6
分）
（
2
）两位教师组织的探究活动各自存在什么问题？请简要说明并简述理由。
（
6
分）
（
3
）组织数学探究活动需要注意哪些事项？请说
明。（
8
分）
六、教学设计题（本大题
1
小题，
3
0
分）
17.
《义务教育数学课程标准》（
2011
年版）附录中给出了两
个例子：
例
1
：计算
15
×
15
< br>，
25
×
25
< br>，…，
95
×
95
，并探索规律。
例
2
：证明例
1
所发现的规律。
很明显例
1
计算所得到的乘
积是一个三位数或者四位数，其中后两位数为
25
，
而百位和千位上的数字存在这样的规律：
1
×
2=2
，
2
×
3=6
，
3
×
4=12
，…，这
是“发现问题”的过程，
在发现问题的基础上，需要尝试用语言符号表达规律，
实现“提出问题”，进一步实现“
分析问题”和“解决问题”。
请根据上述内容，完成下列任务：
（
1
）分别设计例
1
、例
2
的教学目标；（
8
分）
（
2
）设计“提出问题”的主要教学过程；（
8
分）<
/p>
（
3
）设计“
分析问题”和“解决问题”的主要教学过程；（
7
分）
（
4
）设计推广例<
/p>
1
所探究的规律的主要教学过程。（
7<
/p>
分）
2019
年上半年中小学教师资格考试
数学学科知识写教学能力试题
(
初级中
学
)
参考答案及解析
一、单项选择题
1.A
【解析】①有理数与有理数的和、差、积、商（除数不为
0
< br>）均为有理数。
②一个有理数和一个无理数的和、差均为无理数；一个非零有理数
与一个无理
数的积、商（除数不为
0
）
为无理数。③无理数与无理数的和、差、积、商可
能是有理数，也可能是无理数。故选<
/p>
A
。
x
a
cos
2
t
,
2.B
【解析】由
y<
/p>
a
sin
2<
/p>
t
,
可得
x+y
=acos
2
t+asin
2
t=a
，
z
a
sin
2
t
z
2
a
2
< br>2sin
t
cos
t
4
a
sin
2
t
a
cos
2
t
4
xy
，所以将参数方程化
为一般方程为
x
< br>y
a
,
2
z
4
xy
。
<
/p>
2
1
x
cos
,
①
2
x
cos
cos
,
1
3.D
【解析】将
代入到
y
cos
sin
,
得到
y
sin
,
②
联立①②消
2
3
z
sin
,
3
z
,
③
< br>
2
去
得
2
4
x
2
y
2
，由于
0
，所以
2
x
2
y
2
，将其代入③中得
z
<
/p>
3
x
2
3
y
2
，而
z
3
x
2
3
y
< br>2
是由
yOz
平面上的射线
z
3
y
(z>0)
绕
z
轴旋<
/p>
转得到的，它表示以原点为顶点，以射线
z
3
y
(z>0)
< br>为母线，以
z
轴为中心
轴的半锥
面。故选
D
。
4.C
【解析】初等变换不改变矩阵的秩，故若
A
0
，则一定有
B
0
，
C
正确。
矩阵的初等变换包括以下三种：①互换两行（列）；②以数乘某一行
（列）；
③用一个数乘某一行（列），加到另一行（列）上。若方阵
A
经过初等变换化
为方阵
B
，则经过变换①，
A
B
;
经过变换②，
A
k
B
;
经过变换③，
故
A
、
B
、
D
< br>均不一定成立。故选
C
。
A
B
。
5.B
【解析】根据
sinx
< br>的泰勒展开式，
x
3
x
5
x
2
n
1
< br>x
2
n
1
n
1
n
cos
x
n
1
2
n
1
sin
x
x
L
1
< br>
1
x
1
3!
5!
2
n
1
!
2
n
1
!
2
< br>n
1
!
，
n
1
n
1
所以
f
x
1
n
1
1
2
n
1
x
si
n
x
,
<
/p>
f
1
sin
0
。故选
B
。
2
n
1
!
6.C
【解析】
A
有
3
个线性无关的特征向量，且
2
是
A
的二重特征根，所以
属于
2
的线性无关的特征向量有
2
个，即方程组
2
E
A
x
0
有两个线性无
关的解
，则有
3
r
2
E
A<
/p>
2,r
<
/p>
2
E
A
1
。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
x
2
y
，要使
2
E
A
x
2
y
，则
，解
r
2
E
A
1
<
/p>
x
2
y
3
0
0
0
3
3
得
x=2,y=-2
。故选
C
。
7.A
【解析】演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理
等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理，是由一般到特殊的推理。故选
A
。
8.A
【解析】
《义务教育数学课程标准》（
2011
年版）指出，义务教育阶
段数
学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感
态度四个方面加以阐述。
二、简答题
9.
【解析】（
1
）根据中位数的定义可知，甲组同学脱粒数量
（千克）的中位数
是
75
75
68
69
75
，乙组同学脱粒数量（千克）的中位数是
68.5
。
2
2
（
2
）甲组同学脱粒数量（千克）的平均数
x
甲
74.6
，
极差为
89-57=32
，
乙组同学脱粒数量（千克）的平均数
x
乙
71.65
，
极差
为
96-50=46
。
根据分析可知：①甲组同学脱粒数量的平均数大于乙组，故甲组同学脱粒速度
更快；②根据两组数据的情况与极差可以发现甲组数据更稳定，而乙组数据波
动大，从而
可知，甲组同学的脱玉米能力差不多，而乙组同学的脱玉米能力存
在很大的个体差异性，
可以理解为，甲组同学在实践活动中的参与性和积极性
要高于乙组。
u
u
u
u
r
u
u
u<
/p>
r
10.
【解析】由题意知，
PP
1
2
2,3,1
,
PP
1
3
4,1,0
，则平面
的法向量
i
u
u
u
u<
/p>
r
u
u
u
r
n
PP
1
2
PP
1
3
2
1
3
1
1,
4,14
。平面
x
2
y
7
z
3
0
的法向量
2
4
1
0
j
k
1
1
m
,2,
7
2
n
，故
n
∥
m
。又点
P
1
(2
，
0
，
1)
不在平面
x
2
y
7
z
< br>
3
0
2
2
1
上，故平面
与平面
< br>x
2
y
7
z
3
0
平行。
2
设与平面
垂直的平面为
1
，其法向量为
n
1
。
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u<
/p>
r
u
u
u
u
r
由向量积的定
义可知，
PP
1
2
,
PP
1
3
均与
n
PP
1
2
PP
1
3
垂直，则
n
1
=
PP
1
2
为平面
1
的
一个法向量，故可设
1
的方程为
2x+3y+z+d=0
，将点
P
1
(2
，
0
，
1)
代入可得
d=-5
，
所以平面
1
的方程为
2x+3y+z-5=0
。
11.
【解析】由原方程易知
x=0
也是其解，则方程
x
< br>5
+5x
4
+5x
3
-5x
2
-6x=0
存在实数
解
0
，<
/p>
1
与
-2
，故多
项式
x
5
+5x
4
+5x
3
-5x
< br>2
-6x
能被
x(x-1)(x
+2)
整除，作除法运算可
得原方程等价于
x(x-1)(x+2)(x
2
+4x+3)=x(x-1
)(x+1)(x+2)(x+3)=0
，故可得原方程
的全部
实数解为
-3
，
-2
< br>，
-1,0,1
。
12.
【参考答案】统计是一个包括数据的收集、整理、描述、分析和推断
的完整
过程，在统计活动中，学生要经历收集、整理、描述和数据分析这些活动，这
些活动不仅能帮助学生了解数据处理的过程，而且能让学生学会制作扇形统计
图、画频数直方图；不仅能让学生体会抽样的方法和必要性、掌握用扇形统计
图
直观、有效地描述数据，用频数直方图解释数据中蕴含的信息，而且能让学
生掌握抽样与
数据分析的基本方法。
用统计方法解决实际问题的过程主要包含以下步骤：
（
1
）建立数学模型。分析实际问题，由实际问
题抽象出数学模型。