四年级奥数高斯求和问题
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小学奥数
专题
——高
斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一
天老师出了一道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋„＋
99
＋
100
＝？
老师出
完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于
5050
< br>。高斯为什
么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
< br>
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝„＝
49
＋
52
＝
50
＋
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算
为
< br>
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小高斯使用的这种求和方法，
真是聪明极了，
简单快捷，
并且广泛地适用
于“等差数列”
的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列
，
数列中的每一个数称为一项，
其中第一项称为
首项
，
最后
一
项称为
末项
。
后项与前项之差都相等的
数列称为
等差数列
，
后项与前项之差称
为
公差
。
例
如
：
（
1
）<
/p>
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，„，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，„，
99
；（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，„，
71
。
其中（
1
）
是首项为
1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列；（
2
）是首项为
1
，末项为
99
，公差为
2
的等差数
列；（
3
）是首项为
8
，末项为
71
，公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到<
/p>
等差数列的求和公式
：
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，
最后
一项称为末项，数列中项的个数
称为项数。
从第二项开始，
后项与其
相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，
后项与前项的差
称
为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”
和“项数公式”。
通项公式：第
n<
/p>
项
=
首项
+
（项数－
1
）×公差
项数公式：项数
=
（末项－首项）
÷公差＋
1
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。
例
1
、
1
＋
2
＋
3
＋„＋
1999
＝？
分析与解
：这串加数
1
，
2
，
3
，„，
1999
是等差数列，首
项是
1
，末项是
1999
，共有
1999
个数。由等差数列求和公式可得
原式
=
（
1
＋
1999
）×
1999
÷
2
＝
1999000
< br>。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例
2
、
11
＋
12
＋
13
＋„＋
31
＝
？
分析与解
：这串加数
11
，
12
，
13
，„，
31
是等差数列，首项是
11
，末项是
31
，共有
31-11
＋<
/p>
1
＝
21
（项）
。
原式
=
（
11+31
）×
21
÷
2=441
。
在利用等差数列求和公式时，
有时项数并不是一目了然的，
这时就需要先求出项数。
根据首
项、末项、公差的
关系，可以得到
项数
=
（末项
-
首项）÷公差
+1
，
末项
=
首项
+
公差×（项数
-1
）
。
例
3
、
3
＋
7
＋
11
＋„＋
99
＝？<
/p>
分析与解
：
3
，
7
，
11<
/p>
，„，
99
是公差为
4
的等差数列，
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝
25
，
< br>
原式
=
（
3
＋
99
）×
25
÷
2
＝
1275
。
例
4
、
求首项是
25
，公差是
3
的等差数列的前
40
项的和。<
/p>
解
：末项
=2
5
＋
3
×（
4
0-1
）＝
142
，
< br>
和
=
（
< br>25
＋
142
）×
40
÷
2
＝
3340
。
利用等差数列求
和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例
5
、
求等差数列
2
，
4
，
6
，„，
4
8
，
50
的和。
【思路导航】
这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数
=
（末项－首项）÷公差
+1=
< br>（
50
－
2
）
÷
2+1=25
首项
=2.
末项
=50
，项
数
=25
等差数列的和
=
（
2+50
）×
25
÷
2=650.
例
6
、计算（
2+4+6+
„
+100
）－（
1+
3+5+
„
+99
）
< br>
【思路导航】
容易发现，
被减
数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们
各自的和，然后相减。进一步分
析还可以发现，这两个数列其实是把
1
～
100
这
100
个数
分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有
50
个项。因此，我们也可以把这两个数列
中的每一项分别对应相减，可得到
50
个差，再求出所有差的和
。
（
2+4+6+
< br>„
+100
）－（
1+3+5+
„
+99
）
=
（
2
－
1
）
+
（
4
－
3
）
+
（
6
－
< br>5
）
+
„
+
（
100
－
99
）
=1+1+1+
„
+1
=50