错位相减法求与附与答案
-
.
错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于
{a
n`
b
n
}
型数列，其中
< br>{a
n
},{b
n
}
分别是等差数列和等比数列，在应用
过程中要注意
：
项的对应需正确；
相减后应用等比数列求和部分的项数为（
n-1
）项；
若等比
数列部分的公比为常数，要讨论是否为
1
1.
已知二次函数
和为
，点
的图
象经过坐标原点，
其导函数
均在函数
的
通项公式；
的图象上．
，
数列
的前
项
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）设
，
是数列
的前
项和，求
．
[
解析
]
< br>考察专题：
2.1
，
2.2
，
3.1
，
6.1
；难度：一般
[
答案
]
（
Ⅰ）由于二次函数
的图象经过坐标原点，
则设
，
，
∴
，∴
，
<
/p>
又点
均在函数
的图象上，
∴
．
∴当
时，
，
又
，适合上式，
∴
．
．
．
．
．
．
．
．<
/p>
．
．
．
．
（
7
分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
.
.
∴
，
∴
，
上面两式相减得：
．
整理得
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
（
14
分）
2.
已知数列
的各项均为
正数，
是数列
的前
n
< br>项和，且
．
（
1
）求数列
的通项公式；
（
2
）
[
答案
]
查看解析
的值
.
[
解析
]
（
1
）当
n
= 1
时，
又
4S
n
= a
n
+
2a
n
－
3
①
2
解出<
/p>
a
1
= 3,
当
时
4s
n
－
1
=
+ 2a
n-1
－
3
②
①
－
②
,
即
，
∴
,
.
.
（
）
，
是以
3
为首项，
2
为公差的等差数列，
6
分
．
（
2
）
③
又
④
④
－
③
=
12
分
3
.
（
2013
年四川成都市高新区高三
4
月月考，
19,12
分）
设函数
数列
前
项和
，
，数列
，满足
.
，
（Ⅰ）求数列
的通项公式
；
（Ⅱ）
设数列
的前
项和为
，
数列
的前
项和为
，<
/p>
证明：
.
[
答案
]
(
Ⅰ
)
由
，得
是以
为公比的等比数列，故
.
（Ⅱ）由
，
得
.
.
…
，
记
…
+
，
用错位相减法可求得：
.
（注：此题用到了不等式：
进行放大
.
）
4.
已知
等差数列
中，
；
是
与
的等比中项．
（Ⅰ）求数列
的通项公式：
（Ⅱ）若
．求数列
的前
项和
[
解析
]
（Ⅰ）因为数列
是等差数列，
是
与
的等比中项．所以
，
又因为
，设公差为
，则
，
所以
，解得
或
，
当
时
,
，
；
当
时，
.
所以
或
.
（
6
分
) <
/p>
（Ⅱ）因为
，所以
，所以
，
.
.
所以
，
所以
两式相减得
，
所以
.
（
13
分）
5.
已知数列
且公差
< br>.
的前
项和
，
，
，
等差数列
中
，
（Ⅰ）求数列
、
的通项公
式；
（Ⅱ）是否存在正整数
，使得<
/p>
若不存在，说明理由
.
若存在，求出
的最小值，
[
解析
]
（Ⅰ）
时，
相减得：
，又
，
，
<
/p>
数列
是以
1
为首
项，
3
为公比的等比数列，
.
又
，
，
.
（
6
分）
（Ⅱ）
令
………………①
…………………②
.
.
①
－
②<
/p>
得：
，
，即<
/p>
，当
，
，当
。<
/p>
的最小正整数为
4.
（
12
分）
6.
数列
满足
，等比数列
满足
.
（Ⅰ）求数列<
/p>
，
的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.
[
解析
]
（Ⅰ）由
，所以数列
是等差数列，又
，
所以
，
由<
/p>
，所以
，
，所以
，即
，
所以
.
（
6
分
)
（Ⅱ）因为
，所以
，
则
，
所以
，
两式相减的
，
所以
.
(12
分）
.
.
7.
已知数列
< br>满足
，其中
为数列
的前
项和．
(
Ⅰ
)
求
的通项公式；
(
Ⅱ
)
若数列
满足：
(
)
，求
的前
项和公式
.
[
解析
]
Ⅰ
)
∵
，
①
∴
②
②
－
①
得，
，又
时，<
/p>
，
，
.
（
5
分）
(
Ⅱ
)
∵
，
，
，
两式相减得
，
.
（
13
分）
8.
设
d
为非
零实数
, a
n
=
[
d+2
d
+
…
+(n-1)
2
d
+n
d
](n
∈
N
) .
n-1
n
*
(
Ⅰ
)
写出
a
1
,
a
2
, a
3
并判断
{a
n
}
是否为等比数列
.
若是
,
给出证明
;
若不是
,
说明理由
;
(
Ⅱ
)
设<
/p>
b
n
=nda
n
(n
∈
N
)
,
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
[
答案
]
(
Ⅰ
)
由已知可得
< br>a
1
=d,
a
2
=d(1+d) ,
a
3
=d(1+d)
.
2
*
.