小学奥数 等差数列的认识与公式运用.学生版
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等差数列的认识与公式运用
本讲知识点属于计算板块的部分，
难度较三年级学到的该内容稍大，
最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差
数列三个公式，并
在公式中找出对应的各个量进行计算。
教学目标
知识点拨
一、等差数列的定义
⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法
定义：
从第二项起，
每一项都比前一项大
(
或小
)
一个常数
< br>(
固定不变的
数
)
，这样的数列我们称它为等差数列．
譬如：
2
、
5
、
8
、
11
、
14
、
17
、
20
、
从第二项起，每一项比前一
项大
3
，递增数列
100
< br>、
95
、
90
< br>、
85
、
80
< br>、
从第二项起，每一项比前一项小
5
，递减数列
⑵ 首项：一个数列的第
一项，通常用
a
1
表示
末项：
一个数列的最后一项，
通常用
a
n
表示，
< br>它也可表示数列的第
n
项。
<
/p>
项数：一个数列全部项的个数，通常用
n
来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用<
/p>
d
来表示；
和
：一个数列的前
n
项的和，常用
S
n
来表示
．
二、等差数列的相关公式
(1)
三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项
首项
(
项数
<
/p>
1
)
公差，<
/p>
a
n
a
1
（
n
1
）
d
递减数列：末项
首项
(
项数
1
)
公差，
a
n
a
1
（
n
1
）
d
回忆讲解这个公式的时候可
以结合具体数列或者原来学的植树问题的
思想，让学生明白
末项其实就是首项加上
(
末项与首项的
)
间隔个公
差个数，或者从找规律的情
况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公
式：
a
n
a
m
（
n
m
）
d
，
（
n
<
/p>
m
）
② 项数公式：项数
(
末项
< br>首项
)
公差
< br>+1
由通项公式可以得到：
n
（
a
n
a
1
）
d
1
(
若
a
n
a
1
)
；
n
（
a
1
a
n
）
d
1<
/p>
(
若
a
1
a
n
)
．
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思
想我们是常常用到的．
譬如：找找下面数列的项数：
4
、
7
、
10
、
13
、
、
40
、
43
、
46
，
分析：配组：
(4
、
5
、
6)
、
(7
、
8
、
9)
、
(10
、
11
、
12)
、
(13
、
14
、
15
)
、
、
(46
、
47
、
48)
，注意等差是
3
，那么每组有
3<
/p>
个数，我们数列中的数
都在每组的第
1<
/p>
位，
所以
46
应
在最后一组第
1
位，
4
到
48
有
48
4
1
45
项，
每组
< br>3
个数，所以共
45
3
15
组，原数列有
15
组．
当然还可以有其他的配
组方法．
③ 求和公式：和
=(
首项
末项
)
项数÷2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(
思路
1)
1
2
3<
/p>
98
99
100
<
/p>
（
50
51
）
101<
/p>
50
505
0
（
1
<
/p>
100
）
（<
/p>
2
99
）
（
3
98
）
共
50
个
101
(
思路
2)
这道题目，还可以这样理解：
和
=
1
2
3
4
+
和
100
99
98
97
2
倍和
101
101
101
101
98
99
100
3
2
1
即，
< br>
101
< br>101
101
和
(100
1)
100
2
101
50
5050
(2)
中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间
一项的值
等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项
和等于中间项乘以项数．
譬如：①
4
8
12
32
36
（
4
36
）
9
2
20
9
1800
，
题中的等差数列有
9
项，中间一项即第
5
项的值是
20
，而
和恰等于
20
9
；
②
65
63
61
5
3
1
< br>（
1
65
）
33
2
33
33
1089
，
题中的等差数列有
33
项，中间
一项即第
17
项的值是
33
，
而和恰等于
33
33
．
例题精讲
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例
1
】
下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则
说明理由。
①6，
10
，
14
，
18
，
22
，…，
98
；
②1，
2
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
；
③ 1，
2
< br>，
4
，
8
，
16
，
32
，
64
；
④ 9，
8
，
7
，
6
，
5<
/p>
，
4
，
3
，
2
；
⑤3，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
；
⑥1，
0
，
1
，
0
，
l
，<
/p>
0
，
1
，
0
；
【例
2
】
小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？
（
1
）
3
、
4
、
5
< br>、
6
、……、
76
、
77
、
78
（
2
）
2
、
4
、
6
、
8
、……、
96
、
98
、
100
（
3
）
1
、
3
、
5
、
7
、……、
87
、
89
、
91
（
4
）
4
< br>、
7
、
10
、
13
、……、
40
、
43
、
46
【
巩
固
】
1
，
3
，
5
，
7
< br>，
……是从
1
开始的奇数，
其中第
2005
个奇数是
< br>________
。
【例
3
】
3
12
、<
/p>
6
10
、
12
8
、
24
6
、
48
4
、……是按一
定规律排列的一串算
式，其中第六个算式的计算结果是
。
【例
4
】
把比
1
00
大的奇数从小到大排成一列，其中第
21
< br>个是多少？
【
巩
固
】
2
，
5
，
8
，
11
，14……是按照规律排列的一串数，第
21
项是多少？
【例
5
】
已知一个等差数列第
9
项等于
131
，第
10
项等于
137
，这个数列的
第
1
项是多少？第
19
项是多少
？
【
巩
固
】
一
个数列共有
1
3
项，每一项都比它的前一项多
7
，并
且末项为
125
，
求首项是多少？
【
巩
固
】
在
下面
12
个方框中各填入一个数，使这
12
个数从左到右构成等差数
列，其中
10
、
16
已经填好，这
12
个数的和为
。
16
<
/p>
10
<
/p>
【例
6
】
从
1
开始的奇数：
1
，
3
，
5
，
7
，……其中第
< br>100
个奇数是
_____
。<
/p>
【例
7
】
观察右面的五个数：
19
、
37
、
55
、
a
、
91
排列的规律，推知
a
=________
。
等差数列公式的简单运用
【例
8
】
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数
的和是
320
，求它们中最小的一个．
【
巩
固
】
1
、
3
、
5
、
7
、
< br>9
、
11
、
是个奇数列，如果其中
8
个连续奇数的和是
256
，那么这
8
个奇数中最
大的数是多少？
【
巩
固
】
1
、
4
、
7
、
10
、
13
、…这个数列中，有
6
个连续数字的和是
159
，那
么这
6
个数中最小的是几？
【例
9
】
在等差数列
6
，
13
，
20
，
27
，…中，从左向右数，第
_______
个数
是
1994
．
【
巩
固
】
5
、
8
、
11
、
14
、
17
、
20
、
，这个数列有多少项？它的第
201
项是
多少？
65
是其中的第几项？
【
巩
固
】
对
于数列
4
、
7
、
10
、<
/p>
13
、
16
、1
9……，第
10
项是多少？
49
是这个
数列的第几项？第
100
项与第
50
项的差是多少？
【
巩
固
】
已
知数列
0
、
4
、
8
、
12
、
16
、
20
、……
，它的第
43
项是多少？
【
巩
固
】
聪
明的小朋友们，
P
K
一下吧．
⑴3、
5
、
7
、
9
、
11
、
13
、
15
、…… ，这个数列有多
少项？它的第
102
项是多少？
⑵0、
4
、
8
、
12
、
16
、
20
、……
，它的第
43
项是多少？
⑶已知等差数列
2
、
5<
/p>
、
8
、
11
、14 ……
，问
47
是其中第几项？
⑷已知等差数列
9
、
13
、
17
、
21
、
25
、
…… ，问
93
是其中第几
项？
【例
10
】
⑴
如果一个等差数列的第
4
项为
21
，第
6
项为
33
，求它的第
8
项
.
⑵如果一个等差数列的第
3
项为
16
，第
11
项为
72
，求
它的第
6
项
.
【
巩
固
】
已
知一个等差
数列第
8
项等于
50
< br>，
第
15
项等于
71.
请问这个数列的
第
1<
/p>
项是多少？
【
巩
固
】
如
果一等差数列的第
4
项为
21
，第
10
项为
57
，求它的第
16
项．
等差数列的求和
【例
11
】
一
个等差数列
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，<
/p>
12
，
14
，<
/p>
这个数列各项的和是多少？
【
巩
固
】
有
20
个数，第
1
个数是
9
，以后每个数都比前一个数大
3
．这
20
个
数相加
，和是多少？
13
，公差是
5
的等差数列的前
30
项的和．
【
< br>巩
固
】
求
首项是
【例
12
】
1
5
个连续奇数的和是
1995
，其中最大
的奇数是多少？
【
巩
固
】
把
210
拆成
7
个自然数的和，使这
7
个数从小到大排成一行后，相
邻两个数的差都是
5
，那么，第
1
个
数与第
6
个数分别是多少？
【例
13
】
小
马
虎计算
1
到
2006
< br>这
2006
个连续整数的平均数。在求这
2006
个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按
2006
个数计算平
均数，结果求出的数比应求得的数小
1
。小马虎求和时漏掉的数
是
。
模块二、等差数列的运用（提高篇）
【例
14
】
已
知数列：
2
，
1
，
4
，<
/p>
3
，
6
，
5
，
8
，
7
，
，问
2009
是这个数列的第
多少项？
【
巩
固
】
已
知数列
2
、
3
、
4
、
6
、
6
、
< br>9
、
8
、
12
、
，问
:
这个数列中第
2000
个
数是多少？
第
2003
个数是多少？
【例
15
】
已
知有一个数列：
1
< br>、
1
、
2
、
2
、
2
、
2
、
3
、
3
、
3
、
3
、
3
、
3
、
4
、
< br>，
试问：
⑴
15
是这样的数列中的第几个到第几个数？
⑵
这个数列中第
100
个数是几？
⑶
这个数列前
100
个数的和是多少？
【例
16
】
有
一列数：
l
，
2
，
4
，<
/p>
7
，
1l
，
16
，
22
，
29
，
37
，
，问这列数第
1001
个数是多少
?
【例
17
】
已
知
等差数列
15
，
19
< br>，
23
，……443，求这个数列的奇数项之和与
偶数项之和的差是多少？