六年级下册奥数讲义-奥数方法：归纳法与数列分析法(练习无答案)全国通用
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专题
4
归纳法与数列分析法
按照一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个
数都叫做这
个数的项。
如
l
、
3
、
5
、
7
、
9
、
…，
这样的一列数叫做数列，
1
是这个数列的项，
7
和
9
也是。
数列问题主要有两类：一类是找规律求出数列中的某一项；另一类是
求数
列中某些项的和。
任何事物
的发展变化都是有规律可循的，这就需要我们去观察、思
考、
分
析，
找出数列中各项之间的关系，
对数进行加、
减、
乘、
除等运算。
高斯算法就是我们求数列中一些项的和的方法，还有其他几种方法，
我们将在下面陆续介绍。
【例
1
】
仔细观察下面的数列，
找出其中的规律，
并根据规律在括号
中填上合适的数。
(1)1
、
3
、
5
、
7
、
( )<
/p>
、
ll
、
13<
/p>
、
( )
(2)50
、
48
、
46
、
( )
、
42<
/p>
、
40
、
(
)
、
36
(3)1
、
2
、
4
、
8
、
( )
、
32
、
64
、
( )
(4)243
、
81
、
( )
、
9
、
3
、
( )
，
分析与解答
(1)
仔细观察这列数，可以发现如下规律，
1+2=3
，
3+2=5
，
5+2=
7
。
< br>ll+2
：
13
，也就是数列中
的每一项都等于它的前一项加上
2
。按照这
样的规律，紧跟在
7
后面的数应
该是
7+2=9
，
13
后面的数应该是
13+2=
15
．因此这个数列就是：
1
、
3
、
5
、
7
、
9
、
11
、<
/p>
13
、
15
0
、
(2)
细心观察相邻两项的差，可以发现如下规律：
50
—
48=2
，
48-46
=2
，
42-40=2
，
差为常数
2
，也就是说这个数列中每一项都等于这项的前
一项减去
2
，按照
这个规律可以知道紧跟在
46
后面的数应该是
< br>46-2=
44
．而
40
后面的数应该是
40-2=38
，所以这个
数列是：
50
、
48
、
46
、
44
、
42
、
40
、
38
、
36
(3)
通过观察可以发现，数列中
存在这样的规律：
l
×
2=2
，
2
×
2=4
，
4
×
2=8
。
32
×
2=64
，也就是说这个数列中的每一项乘以
2<
/p>
与紧接着这一
项后的那个数相等，按照
这个规律，在
8
后面应该填的数是
8<
/p>
×
2=16
，
6
4
后应谊填
64
×
< br>2=128
，所以这个数列是：
1
、
2
、
4
、
8
、
16
、
32
、
64
、
128
(4)
这个数列中
243
÷
3=81
，
9
÷
3=3
，通过这样的计算，可以猜
测
这个数列的规律是数列中相邻两项的商为
< br>3
，这样
81
后可以填上
81
÷
3=
27<
/p>
。而
27
÷
3=
9
恰好是已知的项，因此就可以肯定这个规律，从而最后一
<
/p>
项应该是
3
÷
3
=l
，这个数列是：
243
、
8l
、
27
、
9
、
3
、
1
【例
2
】
找出下列各数列的规律，在括号中填上适当的数。
(1)1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
13
、
2l
、
(
)
、
55
(2)l
、
2
、
4
、
7
、
ll
、
16
、
( )
、
29
、
37
(3)45
、
36
、
28
、
21
、
( )
、
10<
/p>
、
6
、
3
、
( )
分析与解答
(1)
在数列
(1)
中，可以算一算相邻两项的和
，
1+2=3
，
2+3=5
，
3+5=8
，
5+8=
13
，通过计算可以发现从数列的第
3
项数“
3
”开始，每一项都
是它前面两项的和，如
21=13+8
，
13=8+5
，
8=5+3
< br>，这样就找到了规律。
如此就可以按照规律计算出
2l
后面的数是
13+21=34
，再验证一下：
21+
34=55
。刚好
!
所以在括号中应填上
34
。
(2)
在数列
(2)
中，做类似前面的计算没有什么规
律，再换个角度：
2
-l=1
。
4-2=2
，
7-4=3
，
11-7=4
，
16-1
l=5
，
37-29=8
，我们可以发
现
差依次是
1
、
2
、
3
、
4
、
5<
/p>
、
( )
、
(
)
、
8
，
这样
就很容易想到所缺的两个差是
6
和
7
，那么数列
(2)
中应该填的是
16+6=22
，验证一下：
22+7=29
，
29+8=
37
，刚好
!
(3)
在数列
(3)
中，
45-36=9
，
36-28=8
，
28-2l=7
，
10-6=4
，
6-3
=3
。
把差放在一起，
依次是
9
、
8
、
7
、
(
)
、
( )
、
4
、
3
、
(
)
，
于是又可以想
到所缺的三个差依次是
6
、
5
和
2
，因此数列
(3)
中应填的数为
21-6=15
，
3
-2=1
．验证后可知正好符合刚才找到的规律。
[
例
3
】
找出下列各数列的规律，在括号中填上适当的数。
(1)1
、
2
、
6
、
24
、
120
< br>、
( )
、
5040
(2)16
、
48
、
24
、
72
、
36
、
( )
、
54
、
162
、
81
(3)1
、
4
、
9
、
16
、
25
、
( )
、
49
、
64
、
81
分析与解答
(1)
计算如下：
2
÷
1=2
< br>，
6
÷
2=3
< br>，
24
÷
6=4
，
120
÷
24=5
，
把商依次写在一起有
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
( )
、
(
)
。
于是就可以联想到两个待定的商是
6
、
7
，
因此
可以猜
测括号中应填的数为
120<
/p>
×
6=720
，
验证：
720
×
7=5040
，
确实是这个规律，
所以这个数列是：
l
、
2
、
6
、
24
、
120
、
720
、
5040
。
(2)
计算如下：
48
÷
16=3
24
÷
48=0.5
72
÷
24=3
36
÷
72=0.5
162
÷
54=3
81
÷
162=0.5
同样把商依次写在一起有
3
、
0
．
5
、
< br>3
、
0
．
5
、
(
)
、
( )
、
3
、
0
．
5
，
于是就找
出了其中的规律。这个数列是由第一个数经过反复的乘
3
除
2
得到的，
(3)
数列中的项有如下规律：
1=1
×
1
，
4=2
×
2
，
9=3
×
3
，
16=4
×
4
，
25=5
×
5
，
49=7
×
7
，
< br>64=8
×
8
，
81=9
×
9
，所以要填的数为
6
×
6=
36
。
[
例
4
】
找规律填数：
(1)3
、
5
、
13
、
15
、
23
、
25
、
(
)
、
35
、
4
3
、
45
分析与解答
(1)
把数列的奇数项
(
第
l
项、第
3
项……
)
和偶数项
(
第
2
项、第
4
项……
)
分别放在一起，有
奇数项：
3
、
13
、
23
、
( )
、
43
偶数项：
5
、
15
、
25
、
35
、
45
由
此可知需要填上
33
。
(2)
同样把数列
(2)
中的奇数项、偶数项分别放在一起：
奇数项：
3
、
6
、
9
、
12
、
15
分析与解答
(1)
在
(1)
中的这三幅图中，从前两幅图中可以看出规律：右上角的
数
< br>=
左
下
角
的
数
+
左
上
角
的
数
一
右
下
角
的
数
。
如
9=8+4-3
，
18=10+
ll-3
。那么“
?
”所代表的数应该是
< br>19+21-10=40-10=30
。
(2)
在
(2)
中的这四幅图中，
可以总结出规律：
左上角的数
×右下角
的数
=
左下角的数×右上角的
数，如
3
×
4=6
×
2
，
3
×
12=9
×
4
，
12
×
4=8
< br>×
6
，那么“
?
”所代表的数应为
25
×
4<
/p>
÷
10=100
÷
10=10
。
(3)
在
(3)
中，
“
?
”
处于中心三角形中，
这就需要总结前两幅图里中
心三角形中的数与其他三个三角形中数的特征，
仔细观察可以知道：
中心
三角形中的数
等于其他三个三角形中三个数之和。如
6=1+2+3
，
40=
10+11+19
，那么，“
?
”所代表的数应该是
30+22+28=3
0+50=80
。