-

2021年2月28日发(作者：十字架的咒语)

高三数学公开课教案数形结合

函数

长沙县第三中学

教学目的：通过本节课的学习

,

使学生对如何寻找数学 问题中内含的几何意义

,

充分利用几何图

形的性质

,

直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体 会

,

对数形结合解题的

思想方法有一定 的了解

,

并能用以帮助解题。

情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能< /p>

力和实践动手能力。

教学重点：“数形 结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。

教学 难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。

教学手段：多媒体辅助教学

数学是研 究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，

在研究过 程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。

“数”与“形”是< /p>

一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数 ”

。

一般地说：

“形”是具有形象，直 观的特点，易于从整体上定性地分析问题，

“由数想形”便于

寻 求思路，化难为易；

“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，

“数形对照”

可以弥补“形”难以精确的弊端。

“数无形时少直观，形无数时难人微

，华罗庚的诗句精辟地< /p>

指出了“数形结合

对数学研究和学习的重 要性。

数形结合的思想简言之就是代数问题几何化

< p>
,

几何问题代数化

,

充分 体现图形的直观性

,

代

数推理的逻辑性

.

一练习

：

1 .

（

04

天津）定义在

R

上的函数

f(x)

既是偶函 数又是周期函数

,

若

f(x)

的最小正周期为π

,

且

当

x

∈

[0,

5





]

时

,f(x)=sinx

，则

f(

)

的值为（

D

）

3

2

A. -

3

3

1

1

B .

C. -

D .

2

2

< br>2

2

3

5

2

∴

f(

π

)=f(

π

)=

2

3

3

y

-

π

0

π

2

π

x

解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出

y=f(x)

的简图

< /p>



x



1

,

x



0

< p>


2

2.

设函数

f(x)=

，若

f(x

0

)>1

，则

< br>x

0

的取值范围是（

D

）



1





x

2

,

x



0

A. (

－

1

，

1) B.

（－

1

，＋∞）

< br>

C.

（－∞，－

2

< p>
）∪（

0

，＋∞）

D.

（－∞，－

1

）∪（

1

，＋∞）

3.( 05

上海理

16)

< br>设定义域为为

R

的函数

f

(

x

)



< p>




|

lg

|

x



1||

x



1

< br>，则关于

x

的方程

< p>
0

x



1



f

2

(

x

)+

bf

(

x

)+

c

= 0

有

7

个不同的实数解的充要条件是

(C )

(A)

< /p>

b

<0

且

c

>0

；

(B)

b

> 0

且

c

<0

；

(C)

b

<0

且

c

=0

；

(D)

b



0

且

c

=0

。

y

1

0

2

2

解析：

f

(x)+bf(x)+c = 0

有

7

个不同的

2

实数解的充要条件是

f

(x)+bf(x)+c = 0

有一根为

0< /p>

故

c=0

且

b< 0

2

x

4.

已知

a

≥

0,

函数

f(x)=(x

-2ax)e

在< /p>

[-1,1]

上是单调函数

,

< p>
则

a

的取值范围是

___ _____.

x

2

x

解析

令

f

< br>

(

x

)



(

2

x



2

a

)

e



(

x



2

ax

)

e

< p>


0

,

解得

x

x

1



a



1



a

2



1

,

x

2



< br>a



1



a

2



1

.

易知

x

1

< /p>



1

,

x

2



0

.

2

x

由图可知

,

当

a



0

< p>
时

,

函数

f

(

x

)



< br>(

x



2

ax

)

e

在

[



1

,

1

]

上是单调函数的充要条件是

< p>
x

2



1

,

3

即

a

< br>

1



a

2



1



1



a



. < /p>

4

二

.

例题解析

例题

1.

求函数

y=

的最大值和最小值。

x



x

1



< br>

1

x



x

2



0

sin

x

2



cos

x

图

sin

x

解 ：函数

y=

可视为：点

A(

－

2

，

< br>0

）与点

P(sinx,cosx)

的连线的斜率

2



cos

x

则

y

的最值即为

k

AP

的最值。而点

P

为单位圆上的一个动点，则当 直线

Ap

与单位圆相切时

k

< p>
AP

取

得最值。

设直线

AP

的方程为：

y=k(x+2)

，由圆心到直线的距离为

1

，

则有：

|

k

(0



2)



0

|

< br>1



k

2



1

解之得：k=±

3

,

3

故

y

的最大值为：

3

3

最小值为：－

3

3

(

y

1



y

2

)

入手 ，由数想形。建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求

(

x< /p>

1



x

2

)

小结

：从数的形和构：

解。构造几何模型来求解。

例题

2.

(2003

全国卷

19)

已知

c>0

设

x

P

：函数

y = c

在

R

上单调递减

；

Q

：不等式

x+

∣

x

—

2c

∣

>1

的解集为< /p>

R.

如果

P

和

Q

有且仅有一个正确，求

c

< p>
的取值范围。

解

: < /p>

x

在

R

上单调递 减

则：

0

函数

y=c

而x+∣x-2c∣>1 等价于∣x-2c∣>1-x 的解集为

R

，

令 y=∣x-2c∣ …………①

y=1-x …………②

表示对任意的x∈R，函数①的图像恒在函数②的上方，

在如图所示的坐标系中，作出函数①和②的图像，

1

知

2c>1,

即

c>

2

1

如果

P

正确，且

Q

不正确，则

0

2

如果

P

不正确 ，且

Q

正确，则

c>

1

2

则

c

∈

(0,

小结

:

1

]

∪

[1,+

∞

)

2

2

例 题

3

：已知关于

x

的方程

x

＋

(

< br>1

2

－

2m)x

＋

m

－

1=0(m

是与

x

无关的实数

)

的两个实根在区间

2

[0

，

2]

内，求

m

的取值范围。

2

2

解：令

f(x)= x

＋

(

1

－

2m)x

＋

m

－

1

，由

f(x)=0

的两根落在区间

[0

，

2]

内，

1

1

2

2



2

m

2

2



2< /p>

m

2

x=

－

∈

[0,2] (

对称轴

) x=

－

∈

[0,2] (

对称轴

)

















1







2

m





（判别式）

则有



f(

－

)

＜

0

（顶点）



△＞

0

2







< br>



2









（端点 ）

≥

0

< br>

f(0)

≥

0

（端点）

f(0)





（端点）

≥

0



f(2)

≥

0

（端点）

f(2)















0

≤－

+2m

≤

4



1< /p>



1

2

2

2

＋

m

－

< p>
1

＜

0



即为

－

(

－

m )

4





< /p>

2



m

－

1

≥

0

17



1

2

4



＋

(

－

2m)2

＋

m

－

1

≥

0

解之得：

{m|1

≤

m

＜

}

8

2< /p>





小结

：

“以形辅数”，化难为易。转化为熟悉的几何模型来求解

2























< br>思考题

:

(06

上海春

21)

设函数

f(x)=|x

< br>-4x-5|

（

1

）在区间< /p>

[-2,6]

上画出函数

f(x)

的图像

;

（

2

）

集合

A={x|f(x)

≥

5},B=(-

∞

,-2]

∪

[6,+

∞

).

试判断集合

A

和

< br>B

之间的关系

,

并给出证明

;

（

3

）当

k>2

时

,

求证在 区间

[-1,5]

上

,y=kx+3k

的图像位于函数

f(x)

图像的上方< /p>

.

21.

解

:(1)

y

8

6

4

2

-2

0

4

x

2

6

-2

(2)

方程

f(x)=5

< br>的解分别是

2-

14

，

0

和

2+

14

，由于

f(x)

在（

-

∞，

1]

和

[ -1

，

2]

和

[5

，

+

∞）上单调递增，因此

A=(-

∞

,2-

1 4

]

∪

[2+

14

,+

∞

).

< br>由于

2+

14

<6, 2-

14

>-2,

∴

B



A < /p>

2

(3)[

解法一

]

当

x

∈

[ -1,5]

时

,f(x)=-x

+4x +5

2

g(x)=k(x+3)-( -x

+4x+5)

2

=x

+(k-4)x+(3k-5)

4



k

2 < /p>

k

2



20

k



36

=(x-

)



,

4

2

4



k

<1 ,

又

-1

< br>≤

x

≤

5,

< br>2

4



k

①当

-1

≤

<1,

即

2

时

,

2

∵

k>2,

∴

k

2



20

k



36

4



k

1

2< /p>

取

x=

, g(x)

< br>min

=



=

< br>

[(

k



10)



64]

4

2

4

∵

16

≤

(k-10)

<64 ,

∴

(k-10)

-64<0 ,

则

g(x)

min

>0

2

2

②当< /p>

4



k

<-1< /p>

，既

k>6

时，取

x= -1

，

g(x)

min

=2k>0

2

由①②可知，当

< p>
k>2

时，

g(x)>0

，

x

∈

[-1

，

5]

因此，在

[-1

，

5]

上，

y=kx+3k

的图像位于函数

f(x)

图像的上方< /p>

.

2

[

解法二

]

当

x

∈

[-1 ,5]

时

,f(x)=-x

+4x+5



y



k

(

x



3)

2

，得

x

+(k-4)x+(3k-5)=0

，

由



2



y





x



4

x



< br>5

令△

= (k-4)

-4(3 k-5)=0

，解得

k=2

或

k=18,

在区间

[-1

，

5]

上，当

k=2

时，

y=2(x+3)

的图像与函数

f(x)

的图像只交于一点

(1,8);

当

k=18

时，

y=18(x+3)

的图像与函数

f(x)

的图像没有交点。

如图可知，由于直线

y=k(x+3)

过点

(-3,0)

，当

k>2

时，直线

y=k(x+3)

是由直线

y=2(x+3)

绕点

(-3,0)

逆时针方向旋转得到，因此在区间

[-1

，

5]

上，

y=k(x+3)

的图像位于函数

f(x)

图像的上方。

小

结

数形结合的思想，其实质是将抽象 的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象

思维结合，通过对图形的认识、数 形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，

可以使复杂问题简单化，抽 象问题具体化。

一．数形结合的信息转化的三个途径：

（

1

）建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解；

（

2

） 转化为熟悉的几何模型来求解；

（

3

）构造几何模型来求解。

二．常用的数学模型：

（

< p>
1

）

一元二次函数的图像；

（

2

）

< br>一元一次函数的图形；

（

3

）定比分点公式；

（

4

）斜率公式；

（

5

）两点间的距离公式；

< p>

（

6

）点 到直线的距离公式

课后练习

x

b

1

．

< p>
（

05

福建理

5

）

函数

f

< p>
(

x

)

a

的图象如图，其中

a

、

b

为常数，则下列结论正确的是

( B )

A

a

>1

，

b

<0

；

B

0<

a

<1

，

b

<0

C

0<

a

<1

，

b

>0

；

D

< br>a

>1

，

b

>0

本题考查指数形函数的性质，分类讨论，的思想和解

决问题的能力，考查数形结合的思想，也可由图用特

值法求解。

2

．

（

05

广东

9

）在同一平面直角坐标系中，函数

y



f

(

x

)

和

y



g

(

x

)

的图象关于直线

y



x

对称

.

现将

y



g

(

x

)

的图象沿

x

轴向左平

移

2

个

单位，再沿

y

轴向上平移

1

个单位，所得的图象是由两条线段组成的 折线（如图

2

所示）

，则

函

数

f

< br>(

x

)

的表达式为（

< p>
A

）

2



2

x



2

,



1



x



0



A

< br>．

f

(

x

)





x



2

,

0



x



2





2



2

x



2

< br>,



1



x



0



B

．

f

(

x

)





x



2

,

0



x



< br>2





2



2

x



2

,

1



x



2



C

．

f

(

x

)

< br>



x



1

,

2



x



4





2



2

x



6

,

1



x



< br>2



D

．

f

(

x

)





x



3

,

2



x



4





2

本题主要考查分段 函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法，关键是取恰当的点，本题

取端点。

3

．

（

< p>
05

重庆

3.

若函数

f

(

x

)

是定义在

R

上的偶函 数，在

(



,

0

]

上是减函数，且

f

(2)

0

，则使

得

f

(

x

)<0

的

x

的取值范围是

( D )

A

(

,2)

；

B

(2,

C

(

,

2)

( 2,

)

；

D

(

解析

:

4.(05

浙江理

8)

已知

k

＜－

4

，则函数

y

＝

cos2

x< /p>

＋

k

(cos

x

－

1)

的最小值是

( A )

(A) 1 (B)

－

1 (C) 2

k

＋

1 (D)

－

2

k

＋

1

本题考查含参二次函数的最值、二倍角公式、换元法、转化的思想、数形 结合的思想，运

算能力。

5

．方程

sinx =

x

的解的个数为

（

C

）

2

)

；

2,2)

。

y

0

x

A

．

1 B. 2 C. 3 D. 4

2

6.

若函数

f(x)=ax

＋

bx

＋

c , (a

≠

0),

若

f(x)=0

的两根分别在区间（

1

，

2

）和（

2

，

3

）内，则

< p>
以下不等式中正确的是（

B

）

A. f(1)f(2)>0

B. f(1)f(2)<0

C. f(1)f(3)<0

D. f(2)f(3)>0

7.

已知

f

(

x

)

是实数集

R

上的奇函数

,

且在区间

< p>
(

0

,



)

上是单调递增函数

,

若< /p>

f

(

)



0

,

且

< p>
1

2



ABC

< p>
的内角

A

满足

f

(cos

A

)



0

,

则

A

< p>
的取值范围是

( )

2

< br>







2







2



,



)

(B)

(

,

)

(C)

(

,

)

(D)

(

,

)



(

,



)< /p>

3

3

2

2

3

3

2

< p>
3

解析

由于函数

f

(

x

)

< p>
是一个抽象函数

,

因此可根据函数有关性质由题< /p>

(A)

(

意构 造出符合条件的一个特殊函数图象

,

如图

5

所示

,

由图象及三角形

< p>

内角范围可知

:

0



cos

A



y

1

1

或



1



cos

A





,

< p>
故选

D.

2

2

1

O



2

1

2

x

8.(05

北京理

13

）对于函数

f

(

x

)

定义域中任意的

x

1

，

x

2

（

x

1

≠

x

2

）

，有如下结论：

①

f

(

x

1

＋

x

2

)=

f

(

< p>
x

1

)

·

f

(

x

2

)

；

②

f

(< /p>

x

1

·

x

2

)=

f

(

x

1

)+

f

< p>
(

x

2

)

；

③

图

5 < /p>

f

(

x

1

)



f

(

< p>
x

2

)

x



x

2

f

(

x

1

)



f

(

x

2< /p>

)

>0

；

④

f

(

1

. < /p>

)



x

1



x

2

2

< p>
2

当

f

(

x

)=l

gx< /p>

时，上述结论中正确结论的序号是

②③

.

2

9.

当不等式

2



x



px



1

5



6

中恰好有一个解时

,

实数

p

的值是

____.

2

y

提示

抛物线

y



x



px



1< /p>

5

和直线

y

< /p>

6

相切

.

方程< /p>

x

2



px



9



0

有相等的两实根

,





p

2



3

6



0



p





6

.

10.

< p>
若不等式

4

x



x

2



ax

< p>
的解集是

(

0

,

4

]

,

求实数

a

的取值范围

.

解析

作函数

y

1



a

< /p>

0

4

x



x

2

,

< p>
y

2



ax

的图象

(

如图

6).

由图

6

知

,

要使

y

1



y

2

的解集是

(

0

,

4

]

< p>
,

应有

a



0

.

2

0

1

a



0

4

x

a



0

图

6

11.

（

2005

年湖北卷）已知向量

a

= (

x

,

x

+ 1)

，

b

= (1

–

x

,

t

).

-

-

-

-

-

-

-

-