小学奥数同余问题56042
岁月荏苒-广州夜景
.
同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是
7
时
30
分，再过
52
小时是几时几分？我们知道一天是
24<
/p>
小时，
，也就是说
52
< br>小时里包含两个整天再
加上
4
小
时，这样就在
7
时
30
分的基础上加上
4
小时，就是
11
时
30
分。很明显这个问题的着眼
点
是放在余数上了。
1.
同余的表达式和特殊符号
<
/p>
37
和
44
同除
以
7
，余数都是
2
，把除数
7
称作“模
7”，
37
、
44
对于模<
/p>
7
同余。
记作：
（
mod7
）
“
”读作同余。
一般地，两个整数
a
和
b
，除以大于
1
的自然数
m
所得的余数相同，就称
a
、
b
对于模
m
同余，记
作：
2.
同余的性质
（
1
）
（
2
）若
（
3
）若
（
4
）若
（
5
）若
如果
那么
（
的差
一定能被
k
整除）
（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
，那么
，
，
，则
，则
（这称作同余的对称性）
（这称为同余的传递性）
（
）
（这称为同余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
，则
，
n
为正整数，同余
还有一个非常有趣的现象：
这是为什么呢？
精选
.
k
也就是
的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例
1.
用
4
12
、
133
和
257
除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是
a
，因为
412
、
133
和
257
除以
a
所得的余数相同，所以
说明
a
是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以
a
最大是
31
。
，
，
例
2.
分析与解答：
除以
< br>19
，余数是几？
<
/p>
如果把三个数相乘的积求出来再除以
19
，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例
3.
有一个
1997
位数，它的每个数位都是
2
，
余数是几？
分析与解答：
精选
这个数除以
13
，商的第
100
位是几？最后
.
这个数除以
13
，商是有规律的。
商是
170940
六个数循环，那么
的那个数“9”，所以商的第
1
00
位是
9
。
余数是几呢？
，即
，我们从左向右数“17094
0”的第
4
个数就是我们找
则
所以商的个位数字应是“170940”中的第
4
< br>个，商应是
9
，相应的余数是
5
。
【模拟试题】
（答题时间：
20
分钟）
1.
求下列算式中的余数。
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2. 6254
与
37
的积除以
7
，余数是几？
3.
如果某数除
482
，
992
，
1094
都余
74
，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
例
1.
除以
7
，余数是几？
分析与解答：
精选
.
例
2.
一
个自然数除以
3
余
2
< br>，除以
5
余
3
< br>，除以
7
余
1
< br>，这个自然数最小是几？
分析：
假设这个自然数为
a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：
一个自然数除以
3
余
2
，除以
5
余
2
，除以
7
余
2
，那么，这个自然数若减去
2
，便同时是
3
，
5
，
7
的倍数，这样的自然数有：
105
，
210
，
315
，……
分别被
3
，
5
，
7
除余
2
的数是
2
，
107
，
212
，<
/p>
317
，……
最小的自然数是
2
。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？
稍加变式，可以写成：
这样同时是
3
，
5
，
7
倍数的数有
10
5
，
210
，
315
，……
那么同时被
3
，
5
，
7
余
8
的数有：
8
，
113
，
218
，
323
，……
其中最小的自然数为
< br>8
。
例
3.
在求
51173526
被
7
除的余数时，小明这样做：
所以余数是
5
刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知
道其中的道理吗？
分析与解答：
精选