劝说英语-外媒评价中国阅兵

平面几何：有关三角形五心的经典试题

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角
定理.
例 1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交
AC于N.作点P关于 MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
A
P
'
分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP
N
=NC，故点M是△P′BP的外心，点
N是△P′PC的外心.有
M
11
B
C
∠BP′P=∠BMP=∠BAC，
P
22
11
∠PP′C=∠PNC=∠BAC.
22
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.
由于P′P平分∠BP′C，显然还有
P′B:P′C=BP:PC.
例2． 在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，
△CSQ的外心 为顶点的三角形与△ABC相似.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
分析：设O
1
，O
2
，O
3
是△APS，△BQ P，
O
1
△CSQ的外心，作出六边形
.
.
.
.
P
K
S
O
1
PO
2
QO
3S后再由外
心性质可知
O
2
O
3
B
C
∠PO
1
S=2∠A，
Q
∠QO
2
P=2∠B，
∠SO
3
Q=2∠C.
∴∠PO
1
S+∠QO
2
P+∠SO
3
Q=360°.从而又知∠O
1
PO
2
+
∠O
2
QO
3
+∠O
3
SO
1
=360°
将△O
2
QO
3
绕着O
3
点旋转到△KSO
3，易判断△KSO
1
≌△O
2
PO
1
，同时可
得△O
1
O
2
O
3
≌△O
1
KO
3
.
1
∴∠O
2
O
1
O
3
=∠KO
1
O
3
=∠O
2
O
1
K
2
1
=(∠O
2
O
1
S+∠SO
1
K)
2
1
=(∠O
2
O
1
S+∠PO
1
O
2
)
2
1
=∠PO
1
S=∠A；
2
同理有∠O
1
O
2
O
3
= ∠B.故△O
1
O
2
O
3
∽△ABC.

二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3．AD，BE，CF是△ABC的 三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△
PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积 的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
A
分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB
A
'
F
'
，BC相交.从A，C，D，E，F分别
E
G
F
作该直线的垂线，垂足为A′，C′，
E
'
D
'
D′，E′，F′.
B
C
C
'
D
易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，
P

∴EE′=DD′+FF′.
有S
△
PGE
=S
△< br>PGD
+S
△
PGF
.
两边各扩大3倍，有S
△
PBE
=S
△
PAD
+S
△
PCF.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成
的新三 角形相似.其逆亦真.
分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△ ′.G
为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.
(1)a
2
，b
2
，c
2
成等差数列

△ ∽△′.
若△ABC为正三角形，易证△∽△′.
不妨设a≥b≥c，有
1
CF=
2a
2
2b
2
c
2
，
2
1
BE=
2c
2
2a
2
b
2
，
2
1
AD=
2b
2
2c
2
a
2
.
2
将a
2
+c
2
=2b
2
，分别代入以上三式，得
CF=
333
a
，BE=
b
，AD=
c
.
222
333
a
:
b
:
c

222
∴CF:BE:AD =
=a:b:c.
故有△∽△′.
(2) △∽△′

a
2
，b
2
，c
2
成等差数列 .
当△中a≥b≥c时，
△′中CF≥BE≥AD.
∵△∽△′，
∴
S

'
CF
2
＝().
S

a

据“三角形的三条中线围成的新三角形面 积等于原三角形面积的
S

'
3
=.
S

4
3
”，有
4
CF
2
3
∴
2
=

3a
2
=4CF
2
=2a
2
+b
2
-c
2

4
a

a
2< br>+c
2
=2b
2
.
三、垂心
三角形三条 高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外
接)圆三角形，给我们解题提供了极大 的便利.
例5．设A
1
A
2
A
3
A
4< br>为⊙O内接四边形，H
1
，H
2
，H
3
，H
4
依次为
△A
2
A
3
A
4
，△A
3
A
4
A
1
，△A
4
A
1
A< br>2
，△A
1
A
2
A
3
的垂心.求证：H1
，H
2
，H
3
，
H
4
四点共圆，并 确定出该圆的圆心位置.
(1992，全国高中联赛)
A
1
A
2
分析：连接A
2
H
1
，A
1
H
2
，H
1
H
2
，记圆半径
为R.由△A
2
A
3
A
4
知
.
H
2
H
1
O
A
2
H
1
=2R

A
2
H
1
=2Rcos∠A
3
A
2
A
A
4
；
3

A
4
sinA
2
A
3
H
1
由△A
1
A
3
A
4
得
A
1
H
2
=2Rcos∠A
3
A
1
A
4
.
但∠A
3
A
2
A
4
=∠A3
A
1
A
4
，故A
2
H
1
= A
1
H
2
.
∥
易证A
2
H
1
∥A
1
A
2
，于是，A
2
H
1

AH，
=
12
故得H
1
H
2

∥
AA.设H
1
A1
与H
2
A
2
的交点为M，故H
1
H
2
与A
1
A
2
关于M点
=
21
成中心对称 .
同理，H
2
H
3
与A
2
A
3
，H
3
H
4
与A
3
A
4
，H
4
H
1
与A
4
A
1
都关于M点成中心对称 .
故四边形H
1
H
2
H
3
H
4
与 四边形A
1
A
2
A
3
A
4
关于M点成中心 对称，两者是全
等四边形，H
1
，H
2
，H
3
，H
4
在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也
关于M成中心对称.由O，M两点，Q 点就不难确定了.
例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H 为圆
心的⊙H交直线EF，FD，DE于A
1
，A
2
，B
1
，B
2
，C
1
，C
2
.
求 证：AA
1
=AA
2
=BB
1
=BB
2
= CC
1
=CC
2
.
(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)
B
2
C
1
A
分 析：只须证明AA
1
=BB
1
=CC
1
即可.设
H
2
M
E
A
2
A
1
F
BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外
H
接圆半径为R，⊙H的半径为r.


B
C
H
1
连HA
1
，AH交EF于M.
D
A
A
12
=AM
2
+A
1
M
2
=AM
2+r
2
-MH
2

< br>C
2
B
1
=r
2
+(AM
2
-MH
2
)， ①
11
又AM
2
-HM
2
=(AH
1< br>)
2
-(AH-AH
1
)
2

22

=AH·AH
1
-AH
2
=AH
2
·AB- AH
2

2

=cosA·bc-AH， ②
AH
而=2R

AH
2
=4R
2
cos
2
A,
sinABH
a
=2R

a
2
=4R
2
sin
2
A.
sinA
∴AH
2
+a
2
=4R
2
，AH
2
=4R
2
-a
2
. ③
由①、②、③有
b
2< br>c
2
a
2
A
A
=r+·bc-(4R
2
-a
2
)
2bc
2
1
2
1
22 2
(a+b+c)-4R
2
+r
2
.
2
1
同理，
BB
1
2
=(a
2
+b
2
+c< br>2
)-4R
2
+r
2
，
2
1
CC
1
2
=(a
2
+b
2
+c
2
)- 4R
2
+r
2
.
2
故有AA
1
=BB
1
=CC
1
.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住
下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′
C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
D
例7．ABCD为圆内接凸四边形，取
△DAB，△ABC，△BCD，
O
4
O
3
C
△CDA的内心O
1
， O
2
，O
3
，
O
4
.求证：O
1
O
2
O
3
O
4
为矩形.
O
2
O
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
B
A
证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q 切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF
中点P是△ABC之内心.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实 际上是例8的一种特例，但它增
加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？


如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知
r
AQ=.
sin

A
M
α
α
R
∵QK·AQ=MQ·QN，
=
1
E
MQQN
∴QK=
AQ
O
B
r
P
Q
F
N
C
(2Rr)r
==
sin

(2Rr)
.
rsin

由Rt△EPQ知PQ=
sin

r
.
K

∴PK=PQ+QK=
sin

r
+
sin

(2Rr)
=
sin

 2R
.
∴PK=BK.


利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+r
a
+r
b
+r
c
=2p.
式中r，r
a，r
b
，r
c
分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，< br>p表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
11
∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)
r
c
K< br>22
A
O
3
1
O
2
=[(a+b)
2
-c
2
]


4
r
b
O
rE
1
B
=ab；
r
a
C
2
O
1
11
(p-a) (p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
22
11
=[c
2
-(a-b)
2
]=ab.
42
∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①
观察图形，可得
r
a
=AF-AC=p-b，
r
b
=BG-BC=p-a，
r
c
=CK=p.
1
而r=(a+b-c)
2
=p-c.
∴r+r
a
+r
b
+r
c

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r
1
，r< br>2
，r分别是△AMC，△BMC，△
ABC内切圆的半径，q
1
，q
2
，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆
半径.证明：
r
1
r
r
·
2
=.
q
1
q
2
q
(IMO-12)
分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知

OD=OA′·
sin
A'

2
C
'
O
A
'
.
.
E
D
.
B
'
B'
A'
2
=A′B′··
sin

2
sinA'O'B'
A'B'
sinsin
22
， =A′B′·
A'B'
sin
2
A'B'
coscos
2 2
. O′E= A′B′·
A'B'
sin
2
ODA'B'∴
tgtg
.
O'E22
亦即有
sin
r
1
r
ACMACNBB
·
2
=
tgtgtgtg
q
1
q
2
2222
O
'
=
tg
AB
r
tg
=.
22
q
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的 心；(2)同一图形出现了
同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，
BE，CF三条对角线交于一点；
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由 已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分
线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=D E，
IF=EF=FA，
IB=AB=BC.
再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不
..
等式有：
Erdos
A
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
F
不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.


B
Q
∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
I
P
E
∴AB+BC+CD+DE+EF+FA
S
=2(BI+DI+FI)
C
≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
D
=AD+BE+CF.
I就是一点两心.
例12．△ABC的外心为O，AB =AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明

OE丄CD.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A
分析：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
E
F
D
CD交AM于G，G必为△ABC重心.
G
连GE，MF，MF交DC于K.易证：
O
K
111
B
C
DG:GK=DC:(

)DC=2:1.
323
∴DG:GK=DE:EF

GE∥MF.
∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF

OD丄GE.但OG丄DE

G又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.
例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边 AC上的D点与边BC上的
E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.
(1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB.
D
AC
30
°
利用内心张角公式，有
OK
I
1
F
E
∠AIB=90°+∠C=105°，
2
B
∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
1
∵∠AKB=30°+∠DAO
2
1
=30°+(∠BAC-∠BAO)
2
=30°+(∠BAC-60°)
=∠BAC=∠BAI=∠BEI.
∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.
由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G， H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离
和为d
外
，重心到三边距
A
离和为d
重
，垂心到三边距离和为d
垂
.


H
3
求证：1·d
垂
+2·d
外
=3· d
重
.
G
3
O
2
O
3
G
2
分析：这里用三角法.设△ABC外接圆
H
2
O
G
半径为1，三个内角记为A，B，
I
B
C. 易知d
外
=OO
1
+OO
2
+OO
3
C
O
1
G
1
H
1
=cosA+cosB+cosC，
∴2d
外
=2(cosA+cosB+cosC). ①
∵AH
1
=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，
同样可得BH
2
·CH
3
.

∴3d
重
=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②
∴=2，
∴HH
1
=cosC·BH=2·cosB·cosC.
同样可得HH
2
，HH
3
.
∴d
垂
=HH
1
+HH
2
+HH
3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③
欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+
cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题
1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，
B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利
亚数学奥林匹克)
2 .△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两
个三角形相似.(19 89，捷克数学奥林匹克)
3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1
，O
2
，O
3
.求证：△O
1
O
2
O
3
与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
为△AB C内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O
1
，O
2
.则 △
OO
1
O
2
是等腰三角形.
5.△ABC中∠C＜90 °，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ
的垂心.当M是AB上动点时，求H的 轨迹.(IMO-7)
6.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心 ，I为内心.试证：
过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H
1
，H
2
，H
3
.已知：H
1
，H
2
，H
3
，
求作△A BC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC的三个旁心为I
1
，I2
，I
3
.求证：△I
1
I
2
I
3< br>是锐角三角形.
，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1 )
△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

平面几何：有关三角形五心的经典试题

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角
定理.
例 1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交
AC于N.作点P关于 MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
A
P
'
分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP
N
=NC，故点M是△P′BP的外心，点
N是△P′PC的外心.有
M
11
B
C
∠BP′P=∠BMP=∠BAC，
P
22
11
∠PP′C=∠PNC=∠BAC.
22
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.
由于P′P平分∠BP′C，显然还有
P′B:P′C=BP:PC.
例2． 在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，
△CSQ的外心 为顶点的三角形与△ABC相似.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
分析：设O
1
，O
2
，O
3
是△APS，△BQ P，
O
1
△CSQ的外心，作出六边形
.
.
.
.
P
K
S
O
1
PO
2
QO
3S后再由外
心性质可知
O
2
O
3
B
C
∠PO
1
S=2∠A，
Q
∠QO
2
P=2∠B，
∠SO
3
Q=2∠C.
∴∠PO
1
S+∠QO
2
P+∠SO
3
Q=360°.从而又知∠O
1
PO
2
+
∠O
2
QO
3
+∠O
3
SO
1
=360°
将△O
2
QO
3
绕着O
3
点旋转到△KSO
3，易判断△KSO
1
≌△O
2
PO
1
，同时可
得△O
1
O
2
O
3
≌△O
1
KO
3
.
1
∴∠O
2
O
1
O
3
=∠KO
1
O
3
=∠O
2
O
1
K
2
1
=(∠O
2
O
1
S+∠SO
1
K)
2
1
=(∠O
2
O
1
S+∠PO
1
O
2
)
2
1
=∠PO
1
S=∠A；
2
同理有∠O
1
O
2
O
3
= ∠B.故△O
1
O
2
O
3
∽△ABC.

二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3．AD，BE，CF是△ABC的 三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△
PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积 的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
A
分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB
A
'
F
'
，BC相交.从A，C，D，E，F分别
E
G
F
作该直线的垂线，垂足为A′，C′，
E
'
D
'
D′，E′，F′.
B
C
C
'
D
易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，
P

∴EE′=DD′+FF′.
有S
△
PGE
=S
△< br>PGD
+S
△
PGF
.
两边各扩大3倍，有S
△
PBE
=S
△
PAD
+S
△
PCF.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成
的新三 角形相似.其逆亦真.
分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△ ′.G
为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.
(1)a
2
，b
2
，c
2
成等差数列

△ ∽△′.
若△ABC为正三角形，易证△∽△′.
不妨设a≥b≥c，有
1
CF=
2a
2
2b
2
c
2
，
2
1
BE=
2c
2
2a
2
b
2
，
2
1
AD=
2b
2
2c
2
a
2
.
2
将a
2
+c
2
=2b
2
，分别代入以上三式，得
CF=
333
a
，BE=
b
，AD=
c
.
222
333
a
:
b
:
c

222
∴CF:BE:AD =
=a:b:c.
故有△∽△′.
(2) △∽△′

a
2
，b
2
，c
2
成等差数列 .
当△中a≥b≥c时，
△′中CF≥BE≥AD.
∵△∽△′，
∴
S

'
CF
2
＝().
S

a

据“三角形的三条中线围成的新三角形面 积等于原三角形面积的
S

'
3
=.
S

4
3
”，有
4
CF
2
3
∴
2
=

3a
2
=4CF
2
=2a
2
+b
2
-c
2

4
a

a
2< br>+c
2
=2b
2
.
三、垂心
三角形三条 高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外
接)圆三角形，给我们解题提供了极大 的便利.
例5．设A
1
A
2
A
3
A
4< br>为⊙O内接四边形，H
1
，H
2
，H
3
，H
4
依次为
△A
2
A
3
A
4
，△A
3
A
4
A
1
，△A
4
A
1
A< br>2
，△A
1
A
2
A
3
的垂心.求证：H1
，H
2
，H
3
，
H
4
四点共圆，并 确定出该圆的圆心位置.
(1992，全国高中联赛)
A
1
A
2
分析：连接A
2
H
1
，A
1
H
2
，H
1
H
2
，记圆半径
为R.由△A
2
A
3
A
4
知
.
H
2
H
1
O
A
2
H
1
=2R

A
2
H
1
=2Rcos∠A
3
A
2
A
A
4
；
3

A
4
sinA
2
A
3
H
1
由△A
1
A
3
A
4
得
A
1
H
2
=2Rcos∠A
3
A
1
A
4
.
但∠A
3
A
2
A
4
=∠A3
A
1
A
4
，故A
2
H
1
= A
1
H
2
.
∥
易证A
2
H
1
∥A
1
A
2
，于是，A
2
H
1

AH，
=
12
故得H
1
H
2

∥
AA.设H
1
A1
与H
2
A
2
的交点为M，故H
1
H
2
与A
1
A
2
关于M点
=
21
成中心对称 .
同理，H
2
H
3
与A
2
A
3
，H
3
H
4
与A
3
A
4
，H
4
H
1
与A
4
A
1
都关于M点成中心对称 .
故四边形H
1
H
2
H
3
H
4
与 四边形A
1
A
2
A
3
A
4
关于M点成中心 对称，两者是全
等四边形，H
1
，H
2
，H
3
，H
4
在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也
关于M成中心对称.由O，M两点，Q 点就不难确定了.
例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H 为圆
心的⊙H交直线EF，FD，DE于A
1
，A
2
，B
1
，B
2
，C
1
，C
2
.
求 证：AA
1
=AA
2
=BB
1
=BB
2
= CC
1
=CC
2
.
(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)
B
2
C
1
A
分 析：只须证明AA
1
=BB
1
=CC
1
即可.设
H
2
M
E
A
2
A
1
F
BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外
H
接圆半径为R，⊙H的半径为r.


B
C
H
1
连HA
1
，AH交EF于M.
D
A
A
12
=AM
2
+A
1
M
2
=AM
2+r
2
-MH
2

< br>C
2
B
1
=r
2
+(AM
2
-MH
2
)， ①
11
又AM
2
-HM
2
=(AH
1< br>)
2
-(AH-AH
1
)
2

22

=AH·AH
1
-AH
2
=AH
2
·AB- AH
2

2

=cosA·bc-AH， ②
AH
而=2R

AH
2
=4R
2
cos
2
A,
sinABH
a
=2R

a
2
=4R
2
sin
2
A.
sinA
∴AH
2
+a
2
=4R
2
，AH
2
=4R
2
-a
2
. ③
由①、②、③有
b
2< br>c
2
a
2
A
A
=r+·bc-(4R
2
-a
2
)
2bc
2
1
2
1
22 2
(a+b+c)-4R
2
+r
2
.
2
1
同理，
BB
1
2
=(a
2
+b
2
+c< br>2
)-4R
2
+r
2
，
2
1
CC
1
2
=(a
2
+b
2
+c
2
)- 4R
2
+r
2
.
2
故有AA
1
=BB
1
=CC
1
.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住
下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′
C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
D
例7．ABCD为圆内接凸四边形，取
△DAB，△ABC，△BCD，
O
4
O
3
C
△CDA的内心O
1
， O
2
，O
3
，
O
4
.求证：O
1
O
2
O
3
O
4
为矩形.
O
2
O
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
B
A
证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q 切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF
中点P是△ABC之内心.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实 际上是例8的一种特例，但它增
加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？


如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知
r
AQ=.
sin

A
M
α
α
R
∵QK·AQ=MQ·QN，
=
1
E
MQQN
∴QK=
AQ
O
B
r
P
Q
F
N
C
(2Rr)r
==
sin

(2Rr)
.
rsin

由Rt△EPQ知PQ=
sin

r
.
K

∴PK=PQ+QK=
sin

r
+
sin

(2Rr)
=
sin

 2R
.
∴PK=BK.


利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+r
a
+r
b
+r
c
=2p.
式中r，r
a，r
b
，r
c
分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，< br>p表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
11
∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)
r
c
K< br>22
A
O
3
1
O
2
=[(a+b)
2
-c
2
]


4
r
b
O
rE
1
B
=ab；
r
a
C
2
O
1
11
(p-a) (p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
22
11
=[c
2
-(a-b)
2
]=ab.
42
∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①
观察图形，可得
r
a
=AF-AC=p-b，
r
b
=BG-BC=p-a，
r
c
=CK=p.
1
而r=(a+b-c)
2
=p-c.
∴r+r
a
+r
b
+r
c

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r
1
，r< br>2
，r分别是△AMC，△BMC，△
ABC内切圆的半径，q
1
，q
2
，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆
半径.证明：
r
1
r
r
·
2
=.
q
1
q
2
q
(IMO-12)
分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知

OD=OA′·
sin
A'

2
C
'
O
A
'
.
.
E
D
.
B
'
B'
A'
2
=A′B′··
sin

2
sinA'O'B'
A'B'
sinsin
22
， =A′B′·
A'B'
sin
2
A'B'
coscos
2 2
. O′E= A′B′·
A'B'
sin
2
ODA'B'∴
tgtg
.
O'E22
亦即有
sin
r
1
r
ACMACNBB
·
2
=
tgtgtgtg
q
1
q
2
2222
O
'
=
tg
AB
r
tg
=.
22
q
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的 心；(2)同一图形出现了
同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，
BE，CF三条对角线交于一点；
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由 已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分
线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=D E，
IF=EF=FA，
IB=AB=BC.
再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不
..
等式有：
Erdos
A
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
F
不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.


B
Q
∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
I
P
E
∴AB+BC+CD+DE+EF+FA
S
=2(BI+DI+FI)
C
≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
D
=AD+BE+CF.
I就是一点两心.
例12．△ABC的外心为O，AB =AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明

OE丄CD.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A
分析：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
E
F
D
CD交AM于G，G必为△ABC重心.
G
连GE，MF，MF交DC于K.易证：
O
K
111
B
C
DG:GK=DC:(

)DC=2:1.
323
∴DG:GK=DE:EF

GE∥MF.
∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF

OD丄GE.但OG丄DE

G又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.
例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边 AC上的D点与边BC上的
E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.
(1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB.
D
AC
30
°
利用内心张角公式，有
OK
I
1
F
E
∠AIB=90°+∠C=105°，
2
B
∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
1
∵∠AKB=30°+∠DAO
2
1
=30°+(∠BAC-∠BAO)
2
=30°+(∠BAC-60°)
=∠BAC=∠BAI=∠BEI.
∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.
由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G， H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离
和为d
外
，重心到三边距
A
离和为d
重
，垂心到三边距离和为d
垂
.


H
3
求证：1·d
垂
+2·d
外
=3· d
重
.
G
3
O
2
O
3
G
2
分析：这里用三角法.设△ABC外接圆
H
2
O
G
半径为1，三个内角记为A，B，
I
B
C. 易知d
外
=OO
1
+OO
2
+OO
3
C
O
1
G
1
H
1
=cosA+cosB+cosC，
∴2d
外
=2(cosA+cosB+cosC). ①
∵AH
1
=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC，
同样可得BH
2
·CH
3
.

∴3d
重
=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②
∴=2，
∴HH
1
=cosC·BH=2·cosB·cosC.
同样可得HH
2
，HH
3
.
∴d
垂
=HH
1
+HH
2
+HH
3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③
欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+
cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题
1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，
B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利
亚数学奥林匹克)
2 .△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两
个三角形相似.(19 89，捷克数学奥林匹克)
3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1
，O
2
，O
3
.求证：△O
1
O
2
O
3
与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
为△AB C内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O
1
，O
2
.则 △
OO
1
O
2
是等腰三角形.
5.△ABC中∠C＜90 °，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ
的垂心.当M是AB上动点时，求H的 轨迹.(IMO-7)
6.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心 ，I为内心.试证：
过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H
1
，H
2
，H
3
.已知：H
1
，H
2
，H
3
，
求作△A BC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC的三个旁心为I
1
，I2
，I
3
.求证：△I
1
I
2
I
3< br>是锐角三角形.
，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1 )
△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.