成都理工大学专业-樱知叶留学

直线和平面垂直的性质定理
（1课时） 李忠志
三维目标：
知识与技能
1、 掌握直线与平面垂直的性质。
2、 能运用性质定理解决一些简单问题。
3、 了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。
过程与方法

培养学生的直观能力，让学生在观察物体模型的基础上，进行< br>操作确认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发现线面垂直的
性质定理，培养学生的空间想 象能力、发散思维和类比的能力。
情感、态度与价值观
通过实物模型或学生自己制作模型进 行操作演示，让学生参与
到教学活动中来，激发学生的学习欲望和探究精神。
教学重点
直线与平面垂直的性质。
教学难点
性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。

教学过程
一、问题引入：
问1：垂直于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？
问2：平行于同一条直线的两条直线是否平行？为什么？

问3：平行于同一平面的两条直线是否平行？为什么？
问4：垂直于同一平面的两条直线是否平行？为什么？
问5：若
a
，
b

，则
ab
吗？
问6：若
a∥b< br>，
a

，则
b

吗？
问7：问5的逆命题成立吗？即
a

，
b

，
则
a∥b
吗？
二、推进新课：
直线和平面垂直的性质定理：如果两条
直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平
行。
已知：如图，
a

,b

求证：
ab

证明：（反证法）假定
b
不平行于
a
，则
b
与
a
相交或异面；
（1）若
a
与
b
相交，设
abA
，
∵
a

,b


∴过点
A
有两条直线与平面

垂直，
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，
∴
a
与
b
不相交；
（2）若
a
与
b
异面，设
b

O
，过
O
作
b
a
，
∵
a

∴
b



又∵
b

且
bb

O
，
∴过点< br>O
有直线
b

和
b
垂直于

与过一 点有且只有一条直线一已知平
面垂直矛盾，
∴
b
与
a
不异面，综上假设不成立，
∴
ab
．

三、讲解范例：
例1 已知直线
l
平面

，垂足为
A
，直线
APl
，求证：
AP
在
平面

内
证明：设
AP
与
l
确定的平面为

，

如果
AP
不在

内，则可设



AM
，
∵
l

，∴
lAM
，又∵
APl
，
于是在平面

内过点
A
有两条直线垂直于
l
， < br>
l
A
P
M
这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾 ，
所以
AP
一定在平面

内
例2 已知一条直线l
和一个平面

平行，求证直线
l
上各点到平
面

的距离相等
证明：过直线
l
上任意两点A、B分别引
平面
的垂线
AA

,BB

,垂足分别为
A
,B


∵
AA



, BB



∴
AA

BB


设经过直线
AA
,BB

的平面为

，



A< br>
B



B

B
∵
l


∴
lA

B

∴四边形
AA
为平行四边形
∴
AA

BB


由A、B是直线
l< br>上任意的两点，可知直线
l
上各点到这个平面距离相
等
问8：如何定义点到平面的距离？直线和平面的距离？
点到平面的距离的定义：从平面外一点 引一个平面的垂线，这个点和

垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
直 线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任
意一点到平面的距离，叫做这条直线和 平面的距离．
例3．已知：a，b是两条异面直线，a，b，∩=
l
， AB
是a，b公垂线，交a于A，交b于B
求证：AB∥
l

证明方法一：（利用线面垂直的性质
定理）
过A作
b

∥ b，则a，
b

可确定一平
面γ
∵AB是异面垂线的公垂线，
即ABa，ABb
∴AB
b


∴ABγ
∵aα，bβ，∩=
l

∴
l
a，
l
b ∴
l

b


∴
l
γ ∴AB∥
l

证明方法二：（利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行）

∵AB是异面直线a，b的公垂线，过AB与a作平面γ，γ∩=m
∵a ∴am
又aAB，ABγ
γ
m
a
l
B
n
b
g

α
A
β

∴m∥AB
又过AB作平面g，g∩β=n
同理：n∥AB
∴m∥n，于是有m∥β
又∩=
l
∴m∥
l

∴AB∥
l

例4．在棱长为a正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，求 点A到下列平面的
距离：
（1）平面A
1
B
1
C
1
D
1
（2）平面A
1
BCD
1
（3）平面A
1
BD（4）平面B
1
CD
1

结论与规律：若
a∥

，则
a
上各点到

的距离等于
a
到

的距离。
1、与空间四边形四顶点距离相等的平面有 个。
与正方体八顶点距离相等的平面有 个。
四、课堂小结：
1、归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容个是什么？
2、类比两个性质定理，你发现他们之间有何联系？
五、布置作业：
教材习题2.3A组5，教材习题2.3B组3.
六、课后反思：
本 节课主要是让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确
认，获得对性质定理正确性的认识，通过探索发 现线面垂直的性质定
理，学生主动性很强和老师配合的也很好，能积极的思考老师提出的
教学任 务。