上林赋-美国出国留学费用

第一讲 函数与极限
基本概念和主要问题
1、 集合的概念、集合的并、交、差运算
2、 确界概念
确界存在原理 非空有界数集必存在上（下）确界
3、 五类基本初等函数、初等函数、复合函数、反函数的概念，函 数的定义域与值域，函数
的初等性质（有界性、奇偶性、周期性等）
4、 数列极限的

N
定义
5、 函数的极限
6、 判别极限存在的夹逼定理、单调有界定理和Cauchy收敛准则
7、 两个基本极限
8、 无穷小、无穷大、高阶、低阶、同阶、等阶无穷小
9、 应用四则运算、变量代换、等阶无穷小代换、 洛必达法则、化为定积分、泰勒展式等方
法求极限。求不定式
,
0
等极限
0
例1 设
limx
n
A
（有限或

）,求证
lim
n

x
i1
n
i
n
n
A

例2 设
limx
n
A
（
x
n
0,A0
），求证
lim
n
x
1
x
2

x
n
A

n
n
例3 设
a
n
0,
且
li m
a
n1
A,
求证：
lim
n
a
n< br>A

n
n
a
n
n
nnn
例4 设
a
n

0,i

1,2,

,k,
求证：
lim
n
a
1
a
2
a
n

max(
a
1
,
a
2
,

,< br>a
n
)

例5 设
x
1
,a
均为正数，
x
n1

例6 试求
lim(1
n
1a
(x
n
),
求证数 列
{x
n
}
收敛，并求其极限
2x
n
111
)(1)

(1)

222
23n
例7 试求
lim
1
n
cosn< br>

0

2
lnxsin

1
x
例8 试求
lim
x0
1
lnxcos
x
例9 试求
lim[
n
1
]
n


k1
k(k1)
n
例10 试求
lim(cos)

x
1
x
x
2

2
n
64
2n1
)
例11 试求
lim(
n
3
例12 试求
lim(
x

a
i1
n
x
i
n
)
其中
(a
i

0,i

1,2,

,n)

1
x
n
1984
例13 设
lim

为异于零的常数，求

,
并求此极限值
n
n(n1)

例14 设
x
n
1< br>11
lnn,
求证数列
{x
n
}
收敛
2n
1
12n
例15 试求
lim[(1)(1)

(1)]
n

n
nnn
例16 计算
limn(a1)

(a0)

n
1
n
例17 求极限
lim( 
n
1
a
2n


)

(a1)

2n
aa
x0
例18 设
f(x)
一阶连续可导，
f(0)f

(0)1
，求
limf(sinx)1

lnf(x)
x
例19 设
f(x )
在
[a,]
上可导，且
limf

(x)L0,
试证明
lim
x
f(x)
L

x
例20 试求
lim


习题
1
x
2t
2
x
2
(1t)edt

0
x
x

x
n
1
1、 求
lim
n

n
x1
2、 求
lim(
n
12n


)

n
k
n
k
n
k
2
3、 求
lim
n
1

arctgnxdx

n
2
4、 设对于
n0,1,2,,
均有
0x 1,
且
x
n1
x
n
2x
n
,求
limx
n

5、 求
lim
n
(nk)
k1
n
n
2

6、 求极限
lim{lim[cos(m!

x)]}

mn
n

7、 求
lim(1
n
11
n
)

n
n
2
sinx
8、 求
lim(tgx)
x0

1
9、 求
lim
4
t0
4t

t
2
0
sin
2
tdt

10、设
f(x)
在
[a,b]
上连续，
F
1
(x)

x
a
f(t)dt,
F
n 1


F
n
(t)dt,
证明
limF
n
(x)0

a
n
x
11、若
f(x)在
x1
处有连续的一阶导数，且
f

(1)2,
试求
lim
d
f(cosx)

x0
dx
x< br>2
12、求
lim[]
x
，其中
a、bR

x
(xa)(xb)
13、试确定
a,b,
使得
lim( x
x0
3
sin3xax
2
b)0

14、设
x0
时，
f(x)~x,
x
n

f(
i1
n
2i1
a),
证明：
limx
n
a

2
n
n
15、证明
lim(
3
1
n
i1
1)

2
6
n

第二讲 连续性与导数
基本概念和主要问题
1、 函数在某点处连续及在某区间上连续的定义、函数在一点处连续等价的一些定义
2、 函数的间断点及其分类
3、 一致连续的概念
4、 闭区间上连续函数的基本性质
（1） 零点定理 （2）介值定理 （3）有界定理 （4）最值定理
（5）Cantor定理（一致连续性定理）
5、导数、左导数、右导数的定义，可导与连续的关系，连续可导性概念
6、导数的几何意意，平面曲线的切线与法线方程
7、基本初等函数的求导公式，两个函数和 、差、积、商的求导方程、反函数与复合函
数的求导法则，参数方程与隐函数求导

例1 设
f(x)
在
[a,b]
上有定义，且单调增加，取界于f(a)、f(b)
中的一切值，试证
f(x)
在
[a,b]
连 续.
x
2n1
ax
2
bx
例2 设
f(x)lim
是连续函数，求
a,b
的值.
2n
n
x1
例3 设
f(x)
在有限开区间
(a,b)
内一致连续，求证
f(x)
在
(a,b)
上有界.
例4
e
xy
tg(xy)y,
求
y

(0)
.
例5 设
f(x)x(x1)(x2)(xn),
求
f

(0)
.

g(x)cosx
x0

,
例6 设函数
f (x)

，其中
g(x)
具有二阶的连续导函数，且
x
x 0

a,

g(0)1,

（1） 确定
a
的值，使
f(x)
在
x0
连续
（2） 求
f

(x)

（3） 讨论
f

(x)
在
x0
的连续性.
例7 设< br>f(x)
为连续函数，对任意的实数
a,
有
=
f(x)
.



a
a
sinxf(x)dx0,求证
f(2

x)


e
x
例8 设函数
f(x)

2
< br>axbxc
x0
x0
，且
f

(0)存在，试确定常数
a,b,c
.

x
2
1
0x1
例9 设
f(x)

若已知
f(x)
在
[0,2]
上连续，在
(0,2)
上可导，试求
1x2

axb
a,b
.
x2

e
x
例10 设
f(x)< br>
，求
a,b,
使
f(x)
在
x2
可导.

axb
x2

x0x1
,
试证明
f(x)
在
(1,1)
上一致连续. 例11 设
f(x)

3
x1x0


ln(1x)
x0
< br>例12 设
f(x)

,
讨论
f

(x)
在
x0
的连续性.
x
x0


1
例13 若函数
f(x)
的导函数
f

(x)
在开区间
(a,b)
上存在且有界，试 证
f(x)
在
(a,b)
上一
致连续.
例14 设
f(x)
处处可导，且
0f

(x)
k
，试证由下列 递推关系所确定
(k
为正常数）
1x
2
的
x
n< br>当
n
时有极限，
x
0
任意，
x
n
f(x
n1
)(n1,2,
），且证明此极限满足
方程
x f(x)
.
1


(sinxcos)
2
x0
例15 设
y

，求
y

(0)
.
x
x0

0

例16 已知
f(t)
在
(,)
上连续，求

e
x
x
2
f( t)dt
在
x0
的导数.
1
x
例17 已知在
x1
所确定的可微函数
f(x)
满足条件
f

(x) f(x)f(t)dt0,

x1

0
f(0)1,
（1）求
f

(x)
； （2）证明
f(x)
在x0
时满足不等式
e
x
f(x)1
.
例18 设
f(x)
在二阶可导，试证明
f

(x)lim
例1 9 设
f(x)
h0
f(xh)f(xh)2f(x)
. 2
h

2
dx
1x
2x
2
,
已知
g(y)
是
f(x)
的反函数，求
g

( y)
.
x
2
,
求
f
(n)
(0)
. 例20 设
f(x)
2
1x

习题
1 设
f(x)
在区间
[0,1]
上连续，
f(0)0,
f(1)1,
求证对任意的自然数
n,
存在

[0,1 ],
使
得
f(

)f(

)
1n
1
.
n
1


arctg
x0
2 设
f(x )

,
讨论
f(x)
在
x0
的连续性、可微性 .
x
x0


0
x

x0

,
讨论
f(x)
在
x0
的连续性. 3 设
f (x)

1cosx
x0

2

4 设
f(x)xlnx,
求出间断点，并变可去间断点为连续.
5 设函数
f(x)
定义在
(,)
上，满足
f(x)f(x),
且< br>f(x)
在
x0
和
x1
两点连续，
证明
f(x)
是常值函数.
6 设
f
n
(x)xx

(n1,2,)
，证明
（1）对每个
n1,
方程
f
n
(x)1
在
(,1)
内有且仅有一根.
（2）若c
n
(,1)
是
f
n
(x)1
的根，则存 在
limc
n
,
试求其极限值.
n
2
2
n
1
2
1
2
7 证明 若导数
f(x)
在有限区域
(a,b)
内可导，但无界，则其导函数
f

(x)
在
(a,b)
内无界.
8 设
y
















axb
,
求
y
(n)
.
cxd

第三讲 微分中值定理与导数的应用
基本概念和主要问题

1 费马定理
2 罗尔定理
3 拉格朗日中值定理
4 柯西中值定理
5 泰勒展式
6 函数单调性的判别法
7 函数的极值与最值
8 函数的凹凸性与拐点
9 平面曲线的渐近线
10 函数作图


例1 设
f(x),g(x)
在(,)
内有定义，
f

(x)
与
f
 
(x)
均存在，且满足下式
f

(x)f

(x)g(x)f(x)0,
如果
f(a)f(b)0(ab),
求证：
f(x)0
.
例2 设
f(x)
在
[a,b]
上连续，在
(a,b)
上可导，且
f(a)f(b)0,
试证：必存在

(a,b),
使得
f(

)f

(

)0.

例3 设
f(x)
在
[0,1]上连续,在
(0,1)
上可微,且
f(0)1,f(1)0,
求证: 在
(0,1)
上至少存在一
点，使得
f(

)

f

(

)0.

例4 设
f(x)
为连续函数，
f(0)0,
lim
极值.
例5 求
2,
3
3,
4
4,,
n
n< br>中的最大者.
f(x)
2,
讨论
f(x)
在
x 0
处是否可微及取
x0
1cosx
x
2
x
n< br>x


)e
的极值，其中
n
为正整数.
例6 求
f(x)(1x
2!n!
1ax
对于
x< br>是3阶无穷小，求常数
a,b
的值.
1bx
1
例8 给定 曲线
y
2
,
求该曲线在横坐标为
x
0
的点处的切 线方程，并求该切线被两坐标轴
x
例7 已知
e
x

所截线段的最短长度.
例9 设
PQ
是抛物线
x4y
的弦，它在此抛物线过
P
点的法线上，求弦
PQ< br>长度的最小
值.
例10 已知平面曲线
L
的方程为
(xy )8x,
考虑把
L
围在内部且各边平行于坐标轴的

222
2

矩形，试求这些矩形面积的最小值.
例11 该抛物线
yaxbxc
满足下列两个条件：（1）通过
(0, 0)
和
(1,2)
两点，且
a0
；
（2） 与抛物线
yx2x
所围的面积最小，试求
a,b,c
的值.
2
2

x
2x
x0
例12 已知函数
f (x)

，问
x
为何值时，
f(x)
取得极值.
x0
x1

例13 求证方程
xpqcosx0
有且只有一个实根，其中
p,q
为常数，
0q1.

例14 证 明方程
lnx
x
x
x


1cos2xdx< br>在
(0,)
内有且只有两个实根.
e
0
例15 证明
e1(1x)ln(1x).(x0)

例16 试确定
a, b,c,
使
yxaxbxc
有一拐点
(1,1)
，且在< br>x0
处有极值.
例17 设
f(x)
二阶可导，且
f(0)f(1)1,
例18 讨论方程
axlnx
例19 试确定方程
sinx
3
x[0, 1]
minf(x)1,
求证
maxf

(x)8.

x[0,1]
(a0)
实根的个数.
x
的实根个数.
8


14xx
2
4x0
例20 试讨 论函数
f(x)

在闭区间
[4,1]
上是否满足拉格朗
32


xx2x1
0x1
日中值定理的条件，若满足 ，求出该定理结论中的

值.



习题
1 求直线
4x3y16
与椭圆
18x5y45
之间的最短距离.
2 设
f(x)
为二阶可导函数，试确定满足
af(x)bf()
常数
a,b
应满足的条件.
3 设
f(x)
是在
R上连续的偶函数，且
f(x)0,
试确定
F(x)
极值点.
4 设函数
f(x)
在
[0,]
上满足
f

(x)0,
且
f(0)0,
证明对任意的
x0,y0,都有
22
1
x
c
(ab,c0)
的极值存在时，
x

a
a
xtf(t)dt

(xa)
的
f(xy)f(x)f(y)
.

5 设
f(x)
在
[a,b]
上有连续的 导函数，
ba4,
证明至少存在一点

(a,b),
使得 < br>f

(

)1f
2
(

).
6 求函数
f(x)

x1
x
(t
2
1)dt
的极值.
7 设函数
f(x)
在
[a,b]< br>上连续，在
(a,b)
可导，
f(x)
不恒等于常数，且
f( a)f(b),
试证
明在
(a,b)
内至少存在一点

,
使
f

(

)0.

8 证明不等式
ln(1x)
x
1x
(x0)
.
9 试证明曲线
y






























x1
有三个拐点位于同一直线上.
x
2
1

第四讲 不定积分与定积分
基本概念和主要问题
1 原函数和不定积分的概念
2 不定积分的性质和基本积分公式
3 不定积分的计算（1）换元积分公式 （2）分部积分公式 （3）有理函数的积分 （4）
简单无理函数的积分 (5)三角函数有理式的积分
4 定积分的定义和几何意义
5 可积函数类
6 定积分的主要性质
7 原函数存在定理
8 定积分的计算 （1）牛顿-莱布尼茨公式 （2）换元积分公式 （3）分部积分公式
（4）奇、偶函数与周期函数的积分公式
9 定积分在几何、物理中的应用 （1）平面图形的面积 （2）特殊立体的体积 （3）平
面曲线的弧长 （4）旋转面的面积 （5）曲率



例1 求（1）
1
sinx1
（2） （3）
dxdx

2sinxcosx
dx


1sinx

sin2xcosx
（4）
1
1sinxco sx1sinx
x
（5） （6）
dxedx

12tgx
dx


1s in
2
x

1cosx
dx
1x
1
d x
（2） （3）
dx

4x
2
9
dx


x(1xe
x
)

x
4
1
4
例2 求（1）
x
2
arcctge
x
arctgxdx
（6）

dx
（4）

xtgxsecxdx
（5）

1x
2
e
x
例3 已知
f

(sinx)cosx,
求
f(x)

例4 已知
f(x)
的一个原函数为
(1sinx)lnx,
求
xf

(x)dx

例5 设
f(x)
为在 区间
(a,a)
上连续的偶函数，求证在
f(x)
的原函数中恰有一个是奇 函
数。并求奇函数，并求奇函数
F(x)
，使得
F

(x) sinx
，


x



0
22

例6 求（1）

2
0
1cosxdx
（2）

x
4
1
x
1x
dx
（3）

(1t)dt

(x1)

1
1x
21
1

例7 设
f(2),f (2)0,

f(x)dx1,
求

x
2
f< br>
(2x)dx
.
00
2

例8 设
f(x)f(x

)sinx,
且
f( x)x,x[0,

],
求
例9 设函数
f(x)
在
(,)
内连续，且
F(x)
（1） 若
f(x)
是偶函数，则
F(x)
也是偶函数.
（2） 若
f(x)
为非增，则
F(x)
为非减.
例10
例11
求连续函数
f
(x)
，使得满足
设
f(x)
在[a,b]
上连续，且
x


3

f(x)d x
.


(x2t)f(t)dt,
证明：
0

1
0
f(tx)dtf(x)xsinx.

b
a< br>
b
a
f(x)dx

xf(x)dx0,
证明
f(x)
在
(a,b)
上至少
有两个零点.
例12
求
例13
直线
yx
将椭圆
x3y6y
分为 两块，设小块的面积为
A,
大块的面积为
B,
22
A
之值.
B
22
计算由曲线
(xy)a(xy)
所围成的区域在圆xy
222222
1
2
a
外部分的
2
面积 .
例14 设平面图形
A
由
xy2x
与
yx
所确定，求由图形
A
绕直线
x2
旋转一周
22
所得旋转 体的体积.
例15
sin

cos

d


2
d

,
并求其值. 求证

2
0
sin

cos

0
sin

cos

设函数
f(x)
在闭区间
[0,1]
上可微， 且满足
f(1)2

例16

1
2
0
xf(x)dx0,
求证在
(0,1)
上
至少存在一点

,
使得
f

(

)
f(

)

.
1
例17





习题
设
f(x)
在
[0,1]
上连续可导，
f( 1)f(0)1,
试证：

0
f

2
(x)d x1
.
1． 求(1)

1e
x
x
xedx

dx
（2）

dx
（3）

x
1e
x(x1)
1
2． 求（1）
sinx
1
（2）
dx

cos2x
dx
（3）

arctgxdx


sinxcos
4
x

3． 设
f(x)
在
[a,a]
上连续
(a0)
，求证

a
f(x)dx

[f(x)f(x)]dx,
并计算
a
a0



4
1



4
1sinx
dx
4． 求（1）

e
lnx< br>11
1
x
x
2
dx
（2）
0
x
2
dx
（3）
e

x< br>2
1

1
xyedx

(y1)

5． 求曲线
yx,

xy1
及
x
轴所围图形的面积.
6. 求圆
x2
(y3)
2
1
绕
x
轴旋转一周的圆环体的体积 .
7. 设
f(x)
在
[0,1]
上单调增加，
f(0) 0,f

(x)
在
[0,1]
上连续，
(
1
2
1
0
3f(x)dx)

0
4f

2
(x)dx

8. 求证不等式
2e

1
4


2
e
x
2
x
0dx2e
2




























求证：

第五讲 常微分方程与反常积分
基本概念和主要问题
1 微分方程的通解、特解、积分曲线与积分曲线族.
2 用 初等积分法求解变量可分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程、贝努利方程和全微分
方程，用积分因子 法、降阶法和引入参数法求解微分方程.
3 线性微分方程通解的结构理论、常系数线性齐次方程的通解，线性非齐次方程的常数变易
法.
4 微分方程在几何与物理中的应用.
5 无穷限反常积分与无界函数的反常积分.
6 反常积分敛散性的判定.



例1 求下列微分方程的通解
（1）
xy

ylny0

(2)

22
1x
2
y

1y
2
（3）
ydx1x
2
dy0

（4）
x(y1)dxy(x1)dy0
（5）
tgydxctgxdy0

例2 解下列方程
（1）
x
2
dyxy1
dy
（3）
(x2y)dxxdy0


xyy
2
（2）
dxxy3
dx
（5）
xy

yxtg例3 解下列方程
y
(5)
(2x4y6)dx(xy3)dy0

x
dyyx
2
dz21dy

(1) (3)
zx
(2)
2xy4x

dx2x2y
dxx2dx
(4)
y


1dy
y2(x2)
2
(5)
yxy
5

x2dx
(xy)dx(xy)d y
2223
0
(3x6xy)dx(6xy4y)dy0
（2）
22
xy
32
例4 解下列方程
（1）
xdx
x
4
siny)dy0
（3）
(xyxc osy)dx(xyx
2
2
（4）
(xxyxy)dx(x y)dy0

（5）
2xydx(xy)dy0

例5 解下列方程
22
32

（1）
y


1
（2）
y

y

x
（3）
y

y0

2
1x
222
（4）
xy

(x1)(y

1)0
（5）
xyy

(xy

y)0

例6 已知方程
(x1)y

xy

y0
的一个解y
1
x,
试求其通解.
2e
x
例7 利用常数变易法求方程
y

y
x
的通解.
e1
例8 求下列方程的通解
（1）
y

5y

6y6x10x2
（2）
y

5y

5x2x

（3）
y

4y

4y2e
（4）
y

y2sinx

（5）
y

9y18cos3x30sin3x

例9 求微分方程
y

ycosx(lnx)e
例10 求微分方程
xy
2
sinx
2x
22
的通解.
dy
x
2
y
2
满足条件
y(e)2e
的特解 .
dx
2
例11 求方程
(x2xy1)y

y2xy10
的通解.
例12 试证：若
f

(x)f(1x)
，则必有
f< br>
(x)f(x)0,
并解此方程.
例13 设对于曲线
L< br>上任意的一点
P(x,y)
恒有
OPQR,
其中
Q
为
P
在
x
轴上投影，
PR
为
L
在
P
的切线，若
L
通过点
(1,2)
，求
L
的方程.
例14 求广义积分（1）


1

1
lnx
dx
（2）
dx
2

342
x
( x1)x2x
（3）


1
1
dx

2
x(1x)
c
xc
x
例15 已知
lim( )

te
2t
dt,
求
c.


x
xc




习题
1 求下列微分方程的通解
（1）
dydy
10
xy
（2）
ydx(x
2
4x)dy0
（3）
cosysinye
x

dxdx

（4）
xdy(2xyy)dx0
（5）
xdyydx(1y)dy

2 求微分方程
y
< br>4y

4ye
的通解，其中
a
为常数.）
3 对于微分方程
y

2y



yesin2 x
，试就参数

的不同值写出微分方程的特解
y
.
4 求 微分方程
y

2y

yx
+
e
满 足初始条件
y(0)3,y

(0)1
的特解.
5 求微分方程
y

yxcosx
的通解.
6 连接两点A(0,1),B(1,0)
的一条曲线，它位于弦
AB
的上方，
P(x ,y)
为曲线上的任一点，
已知曲线与弦
AP
之间的面积为
x,求曲线的方程.
7 求满足关系式
f(xa)
1
3
x*
ax
22
x
f(x)f(a)
,f

(0 )1
的可微函数.
1f(x)f(a)
8 讨论瑕积分
1
dx

0
x
q
(q0)
的敛散性.
9 计算



0
x
dx

1x