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简单的三角恒等变换
第二十四中学 王珏
一．教学目标
1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元 、方程、逆向
使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余 弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三
角恒等变形在数学中的应用。学习三角变换的 内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，
体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
3 、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中
如何选择公式 ，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使
用公式等数学思想方法的认识 ，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
二、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、和差化积
公式。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提
高从整体 上把握变换过程的能力。
三、教学过程
1、复习公式：
cos





cos

cos

sin

sin


cos




cos

cos

sin

sin


sin





 sin

cos

cos

sin


sin





sin

c os

cos

sin


tan
< br>




tan

tan
< br>tan

tan


tan





1tan

tan< br>
1tan

tan

sin2

2s in

cos


cos2
cos
2

sin
2

2cos
2
112sin
2


tan2

< br>2tan

1tan
2


公式变形：
sin

cos


1
sin2


2

2
2sin

1cos2

←——→
sin



2
1cos2

21cos2

2
2
cos

2





1



cos

2


←——→
cos


2
2、例1：试以
cos

表示
sin2

2
,cos
2

2
,tan
2< br>
2
．
【设计意图】：在熟练掌握倍角公式的基础上，理解角的倍、半间的相 对性，提高学生的公式
变换能力，培养学生运用方程思想、换元思想解决数学问题的能力。
【 师生活动】：教师——出示问题，让学生自主探究，教师重在引导学生分析角的倍、半间的
关系。并注意 从一般思路引导：要用一个表示另一个，如果能找到它们之间的一个关系式，
那么根据方程思想，问题差 不多就可以得到解决了。
师生——教师重点提出
2

是

的倍角，

与
进一步引导学生从

与
角式之间的关系：

2
是什么关系？——

是

2
的倍角。

2
之间的关系出发思考
cos

与sin
2
2
的关系，从而建立这两个三




co s

cos

2•

12sin
2
，由此利用方程思想即可解出想要的关系。
2

2

教师——也可从代换的角度直接从倍角公式出发变形得到：
在倍角公式
cos2

12sin
2

2c os
2

1
中以

代替2

，
即刻得到用
cos

表示sin
2
2
解：由
sin




2
代替

，然后 进行变形，

2
，cos
2

2
的结论，利用同角 三角函数间的关系求得
tan
2

2
。
1cos2

1cos

，可以得到
sin
2
；
2
22

1cos2


1cos

由
cos

2




，可以得到
cos
2

．
22

2

所以
tan
2

2

2

1cos

．

1cos

cos
2
2
sin
2

总结：掌握各个公式的推导过程，是 理解和运用公式的首要环节，熟练地运用公式进行升幂
和降幂。
3、思考：（1）已知
cos

，如何求
sin

,cos,tan?

222


（2）代数式变换与三角变换有什么不同呢？
【 设计意图】：思考（1）重点培养学生的灵活运用公式的能力，从而引入半角公式，增强学
生对三角公式 的进一步理解；思考（2）主要引导学生对“所包含的角，以及这些角的三角函
数种类的差异”对三角变 换的影响进行认识，从而使学生更好地把握三角恒等变换的特点。
【师生活动】：教师——提出问题，进行巡视
学生——自主思考，写出结论
sin

2

1cos


1cos
< br>
1cos

；
cos
；
tan

22221cos

教师——上述公式称为半角公式，让学生思考“
”如何选取？
学生——自主探究，相互交流。
教师——进行总结，“

”号由

所在象限决定。
2师生——对第二个问题的思考，通过师生共同分析得出：代数式变换往往着眼于式子结构形
式的变换 ；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会
有所包含的角，以及这 些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式
子所包含的各个角之间的联系，并以 此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒
等变换的重要特点。
4、变式训练：
求证：
tan

2

sin

1cos

（教科书P142练习第1题）

1cos

sin

【设计意图】：变式训练给出了
sin

、cos
与tan
伸。

2
的关系式，是对例1结论的进一步理解和延
【师生活动】：师生——安排学生黑板板书，其他学生自主探究，根据解题情况共同点评，总
结规律。
解：方法一：
sin


1cos

2sin< br>
2
cos

2

2cos
2
< br>2
2
tan



2
cos
2< br>sin


1cos


sin
< br>2sin
2
2sin

2

2

c os
sin
cos

2

2
tan
< br>

2
cos
2
sin
cos
sin



2

2


2
2
方法二：
tan

2
•2cos
•2cos


2

2
sin


1cos

tan

2
sin



2

2
cos
2

1cos



sin< br>
cos•2sin
22
2
sin

•2sin
5、例2：求证：
（１）、
sin

cos

1

sin





 sin







；
2< br>
（２）、
sin

sin

2sin



2
cos



2
． < br>【设计意图】：本例引出的和差化积和积化和差公式，有其结构上的同构特点，反映了角

、

的三角函数与角



，


2
的三角函数间的内在联系。另外，两式之间又反映了由角

、

与

、

建立的转换关系，这体现了数学上的对应转换即映射反 演的思想方法。
【师生活动】：教师——出示题目，让学生自主探究。
学生——自主分析， 对于（1）式可能得出如下问题思路：从等式左式不好下手，但从右式出
发容易变形，利用和（差）的正 弦公式展开、合并，从而得出左式。
教师——对学生的上述思路给予充分的肯定，这是证明三角恒等式 的基本方法，引导学生进
一步思考其他方法：哪些公式中包含
sin

cos

呢？
学生——在和（差）角的正弦公式中，涉及
sin

cos

式。
师生——在和（差）角的正弦公式中，把
sin

cos

和cos

sin

作为未知数，，通过 解二元一
次方程组，即可得到结果。
教师——进行总结：①此结论证明运用了方程（组）思想 。②分析式子左右两边的特点可以
看出，左边是积的形式，右边是和、差的形式，所以习惯上称此公式为 积化和差公式，类似
地可以求出
cos

sin

,cos

cos

,sin

sin

。接着提 出如何证明（2）式？
学生——从右式出发变形，利用和（差）的正弦公式展开、合并，从而得出左式。

教师——对学生的上述思路给予充分的肯定，引导学生进一步思考，在证明（2）式的过程中，
可否 利（1）式的结果？可以提示学生分析所证的两个式子左右两边在结构形式上有什么不
同？
※ 说明：这种设问，能更好的发挥本例的教育功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为
思考的出发点， 并在建立它们之间的联系进而消除不同点上下功夫，这样不仅有利于深化
对和（差）角公式的理解，而且 还有利于本例的两个小题的内在联系的认识。
学生——只要令





,





，（2）式就转化为 （1）式了。
教师——如此一来，这两个式子也就没有什么本质区别了，运用换元的思想可直接由（1 ）导
出（2），请同学们动手演练一下。
学生——自主探究，动手演练。
※ 说明 ：通过分析公式特点指出，此公式称为和差化积公式，类似地可以求出
sin

si n

,cos

cos

,cos

 cos

。
sin





sin

cos

cos

sin

,
sin





sin

cos

cos

sin

证明：（1）（方法一） ：
两式相加得
2sin

cos

sin




sin





；
即
sin

cos


1

sin





sin







．
2

（方法二 ）：令
sin

cos

x,cos

sin< br>
y
，
1


sin




sin






x


xysin





2
则






xysin






y
1

sin





sin







2

即
sin

cos


1

sin




sin







．
2


（２）（方法一）：
原式2[sinco scossin][coscossinsin]
22222222
 

2(sincoscos
2
cos
2
sinco ssin
2
sincoscossinsin
2
)
222222 222222


2sincos(cos
2
s in
2
)2sincos(cos
2
sin
2
)
22222222


2sincos2sincos
2222

sin

sin


（方法二）：





2




2


，





2


.

2


,

令



2


，



2
由（１）得sin





s in





2sin

cos
①；
把

,

的值代入①式中得
sin< br>
sin

2sin



2
cos



2
．
2cos2

cos2

． 6、变式训练：已知
sin

cos

2sin

,sin

c os

sin
2

,求证：
【设计意图】：巩固三角公式 ，掌握运用三角公式进行恒等变形的常用方法，提高学生的综合
解题能力。
【师生活动】：师 生——学生自主探究，教师根据巡视情况指定具有典型思路的学生上黑板板
书。教师进行点评，总结解题 方法。
证明：（方法一）：
cos2

12sin
2
2cos2

2

12sin
2
< br>
24sin
2


将
sin

cos

2sin

代入：
2cos2

2

sin

cos


2sin2

2sin

cos

cos
2

12sin

cos


2

又
sin

cos

sin
2

,< br>
2cos2

12sin
2

cos 2


（方法二）：
sin

cos

2sin

,sin

cos

sin
2< br>
，
又


sin

cos


12sin

cos

12sin
2< br>
，
2
4sin
2

12sin
2

,
4•
1cos2

1cos2

，
1 2•
22
2

1cos2


1

1cos2


，
2cos2

cos2

．
总结：证明条件三角恒等 式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方
面的关系。方法一用代入法把

化成

，再把

化成

；方法二中利用恒等式< br>
sin

cos


2
的方法。

12sin

cos

消去条件中
sin< br>
cos

的方法，即消元法，这是三角变换中常用

7 、课堂小结
【设计意图】：通过总结，把学习的三角恒等变换知识进一步归类，使知识系统化，培养学 生
的综合分析问题的能力。
【师生活动】：师生——总结本节涉及的思路和方法：
（1）三角函数式的化简常用方法：
①直接应用公式进行降次、消项；
②化切为弦，异名化同名；
③ 三角公式的逆用等。
（2）三角恒等式的证题思路 是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左
右同一等方法，使等式两端化“异”为“ 同”。
8、作业：教科书P143习题3.2A组第1、2、3题
2cos
2
2
3

备选练习：已知
sin2

,0 2


，求
52
sin

1


2sin




4


的值。
3

4
解：sin2

,02
,cos2


525

cos
sin


1cos

sin

1c os

sin

1sin2

1
原式 


cos

sin


cos
sin


cos

sin


cos2

2

2sin



4

2
四、板书设计
简单的三角恒等变换

1
sin

cos

sin2


2
2
2

1



cos

2





2

sin


←——→
sin< br>

1cos2

2cos
2


1cos2

2
1cos2

2
←——→
cos



2

《简单的三角恒等变换》教学反思

第二十四中学 王珏
本节课的主要内容是推导半角公式与和差化积、积化和差公式。半角公式推导过程中主要是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角
函数值，教学过程主要是引导学 生重点观察余弦的二倍角公式，掌握
角的倍、半间关系，不断培养学生的观察能力、灵活运用能力；和差
化积、积化和差公式的推导，教学中要引导学生观察式子的结构，联
系两角和（差）的正弦公式 ，重点突出换元的思想、化归的思想、方
程的思想等。最后，通过引导学生比较所证明的公式，找出异同 点，
加深记忆，通过总结证明公式的过程，不断提高利用三角变换进行三
角函数式的求值、化简 、证明的能力。