东平湖-中国古代情人节

广东省深圳市
2019
年高一下学期数学期末考试试卷
< br>一、选择题
:
本大题共
10
小题，每小题
5
分，共< br>50
分。

1.
若集合
A={-2
，
1，
2
，
3}
，
B={x|x=2n
，
n∈N}
，则
A∩B=
（

）

A. {-2} B. {2} C. {-2
，
2} D. ∅
【答案】
B
【考点】交集及其运算

【解析】【解答】解：
∵
∴

故答案为：
B
【分析】通过集合
B
中
,
用列举法表示出集合
B,
再利用交 集的定义求出。

2.
连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（

）

A. B. C. D.


【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为：

故答案为：
C
【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。

3.
下列函数 中，既是偶函数又在区间
(0
，
+∞)
上单调递减的是（

）

A. y=x
3
B. y=|x| C. y=sinx D. y=
【答案】
D
【考点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】解：由于函数

是奇函数，不是偶函数，故排除
A
；

由于函数


由于函数


由于函数

故答案为：
D
是偶函数
,
但它在区间
(0
，
+∞)
上单调递增，故排除
B
；

是奇函数
,
不是偶函数，故排除
C
；

是偶函数
,
且满足在区间
(0
，
+∞)
上单调递减，故满足条件。

【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项 中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。

4.
如图，扇形
OAB
的圆心角为
90°
，半径为
1
，则该扇形绕
OB
所在直线 旋转一周得到的几何体的表面积为
（

）


A. B. 2π C. 3π D. 4π
【答案】
C
【考点】球的体积和表面积


【解析】【解答】解：由已知可得：以
OB
所在直线为旋转轴将整个图形旋 转一周所得几何体是一个半球，


半球的半径为
1
，



故半球的表面积为：

故答案为：
C
【分 析】以
OB
所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公 式及
圆的表面积公式即可求得。

5.
已知函数
f(x)=cosx
，下列结论不正确的是（

）

A.
函数
y=f(x)
的最小正周期为
2π
B.
函数
y=f(x)
在区间
(0
，
π)
内单调递减

C.
函数
y=f(x)
的图象关于
y
轴对称

D.
把函数
y=f(x)
的图象向左平移

【答案】
D
【考点】余弦函数的奇偶性，余弦函数的单调性，余弦函数的对称性

【解析】【解答】解：
∵
函数


函数

在上为减函数，故选项
B
正确；

其最小正周期为
2π
，故选项
A
正确；

个单位长度可得到
y=sinx
的图象

函数


把函数

故答案为：
D
为偶函数，关于轴对称，故选项
C
正确；

的图象向左平移

个单位长度可得，

故选项
D
不正确。

【分析】 利用余弦函数
式得出
的性质对
A
、
B
、
C
三个选项逐一判断，再利用平移
“
左
+
右
-”
及诱导公进而得出答案。

6.
已知直线
l
是平面
a
的 斜线，则
a
内不存在与
l
（

）

A.
相交的直线
B.
平行的直线
C.
异面的直线
D.
垂直的直线

【答案】
B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】【解答】解：
∵
直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面
的斜线。

∴
在平面内肯定不存在与直线平行的直线。


故答案为：
B
【分析】本题考查平面的斜线与平面内的直线的位置关系。

7.
若
a>0
，且
a≠1
，则
“a= ”
是
“
函数
f(x)=log
a
x-x
有零点
”< br>的（

）

A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

【答案】
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】解：当

函数

当

所以
“
时
,,
函数与有交点，故

有零点；

有零点时，不一定取，

只要满足
”
是
“
函数
都符合题意。

有零点
”
的充分不必要条件。


故答案为：
A
【分析】结合函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案。
< br>8.
如图，
△ABC
中，
E
，
F
分别是BC
，
AC
边的中点，
AE
与
BF
相交于点< br>G
，则
=
（

）


A. B. C. D.

【答案】
C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义

【解析】【解答】解：
∵ E
，
F
分别是
BC
，
AC
边的中点，
AE
与
BF
相交于点
G
，

∴G
是
∴

又
∵
∴

故答案为：
C
【分析 】本题考查向量的加减法的法则，利用
G
是
的加减法的法则，即可得出答案。

9.
英国数学家布鲁克泰勒
( Taylor Brook
，
1685~1731)
建立了如下正、余弦公式（

）

sinx=x-
的重心，进而得出，

再利用向量



的重心

cosx-1=
其中
x∈R
，
n∈N*
，
n!=1×2×3×4x…xn< br>，例如
:1!=1
，
2!=2
，
3!=6
。试用上述 公式估计
cos0
．
2
的近似值为
(
精
确到
0
．
01)
A. 0
．
99 B. 0
．
98 C. 0
．
97 D. 0
．
96
【答案】
B
【考点】微积分基本定理

【解析】【解答】解：由题中的余弦公式得


故答案为：
B
【分析】利用题中给出的公式即可估算出答案。

10.
已知函数
f (x)=m·2
x
+x+m
2
-2
，若存在实数
x
，满足
f(-x)=-f(x)
，则实数
m
的取值范围为（

）

A. (-∞
，
-2]U(0
，
1) B. [-2
，
0)U(0
，
1] C. [-2
，
0)U[1
，
+∞) D. (-∞
，
-2]U[1
，
+∞)
【答案】
A
【考点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】解：由题意知
,
方程


则


化简得
,

，

，

有解，

即

∵
∴

当

当

时，
时，
，

。

化简得
化简得
，

解得
，

解得

;


综上所述的取值范围为

故答案为：
A
【分析】根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出
，

再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围。

二、填空题
:
本大 题共
6
小题，共
32
分，其中第
11-14
题，每小题5
分，第
15
、
16
小题，每
小题都有两个空、每个空
3
分．

11.
设
i
为虚数单位，复数
z =i(4+3i)
的模为
________
。

【答案】
5

【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模

【解析】【解答】解：
∵
∴
复数

故答案为：
5
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案。

12.
已知


【答案】
-6

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】解：
∵
∴
∴

故答案为：
-6
【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求得。

13.
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0
．
8
，乙的中靶概率 为
0
．
7
，现两人各自独立
射击一次，均中靶的概率为
________
．

=(2
，
4)
，

，

=(1
，
3)


=(2
，
4)
，
=(1
，
3)
，则
=________
．

的模为

【答案】
0.56

【考点】相互独立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】解：
∵
甲的中靶概率为
0.8
，乙的中靶概率为
0.7
，

∴
两人均中靶的概率为

故答案为：
0.56
【分析 】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率为单独射中
目标时 的概率之积计算。


14.
某学校高一年级举行选课培训活动，共有< br>1024
名学生、家长、老师参加，其中家长
256
人．学校按学
生、 家长、老师分层抽样，从中抽取
64
人，进行某问卷调查，则抽到的家长有
_____ ___
人

【答案】
16

【考点】分层抽样方法

【解析】【解答】解：
∵
共有1024
名学生、家长、老师参加，其中家长
256
人，


通过分层抽样从中抽取
64
人，进行某问卷调查，

∴
抽到的家长人数为：

故答案为：
16
【分析】利用分层抽样的性质直接可以求出答案。

15.
函数
f(x)=Asin(
________
．

x+ )
的部分图象如图，其中
A>0
，
>0
，
0<<
．则
=________ tan =



【答案】
2
；


【考点】 由
y=Asin
（
ωx+φ
）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】解：
∵
∴
∵
∴



，








由图可知：

又

解得
∵
∴
∴


故答案为：
2
；

【分析】本题考查由
f(x)=Asin( x+ )
的部分图象确定其解析式，由图可知
再由图象过点求出，

进而求出。

，

由求出

，
16.棱长均为
1m
的正三棱柱透明封闭容器盛有
am
3
水，当侧面< br>AA
1
B
1
B
水平放置时，液面高为
hm(
如图
1);
当
转动容器至截面
A
1
BC
水平放置 时，盛水恰好充满三棱锥
A-A
1
BC(
如图
2)
，则a=________ h=________
．


【答案】
；



【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：< br>∵
正三棱柱的棱长均为
1m
，

∴
∴
由题意可得
由
∴
∴
∵
∴
∴

在等边


中，边上的高为




得

，



∵
∴

故答案为：

；

，

进而算出
，

进而得出
即可。

，

通过面积的比值得出对应边长的比

【分析】本题利用体积相等得出
,
值，进而求出
三、解答题
:
本大题共
5
小题，第
17题
12
分，其余每小题
14
分，共
68
分．

17.
已知
△BC
的三个内角
A
，
B
，< br>C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，
a> c
，且
2csinA=
（
1
）求角
C
的大小
;
（
2
）若
c=4
，
△ABC
的面积为

【答案】

（
1
）解：
∵ 2csinA=
由正弦定理得
∵ a>c
∴
，求
△ABC
的周长

a
，

得

a
．

∴

（
2
）
∵
解得
又
∵
解得
∴
∴




即

的周长为


【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用

【解析】【分析】本题考查正余 弦定理的应用以及正余弦定理的变形式，（
1
）通过正弦定理得
，

进而求出
（
2
）由正弦定理中的三角形面积公式求出
最后求得的周长。

，

再根据
a>c
得出
，

再根据余弦定理
，

进而得出
求出
；
，

18.
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
为单位圆与
x
轴正半轴的交点，点
P
为单位圆上的一点，且
∠AOP= ，点
P
沿单位圆按逆时针方向旋转角
θ
后到点
Q(a
，
b)

（
1
）当
θ=
（
2
）设
θ∈[
时，求
ab
的值

，
]
，求
b-a
的取值范围

，





【答案】

（1
）解：有题意可得
当
即
∴
时，

（
2
）
∵
∴
∴
∵ θ∈[
∴
即

【考点】任意角的三角函数的定义

【解析 】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义。（
1
）有题意得出
，

再通过当
利用配角公式化简得
值范围。

19.
某科研课题 组通过一款手机
APP
软件，调查了某市
1000
名跑步爱好者平均每周的跑 步量
(
简称
“
周跑量
”)
，
得到如下的频数分布表

周跑量
(km
周
) [10
，
15 ) [15
，
20 ) [20
，
25 ) [25
，
30 ) [30
，
35 ) [35
，
40 ) [40
，
45 ) [45
，
50 ) [50
，
55 )
人数
100 120 130 180 220 150 60 30 10
，

由
θ∈[
时，

，
]
得出
，

，

进而求出的值；（
2
）
的取

，
]

的取值范围为

，



，

进而得到
（
1
）在答题卡上补全该市
1000
名跑步爱好者 周跑量的频率分布直方图
:

注
:
请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑

（< br>2
）根据以上图表数据计算得样本的平均数为
28.5km
，试求样本的中位数
(
保留一位小数
)
，并用平均数、
中位数等数字特征估计该市跑步爱 好者周跑量的分布特点


（
3
）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步 爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，
如下表
:
周跑量

类别

小于
20
公里
20
公里到
40
公里

不小于
40
公里

休闲跑者

核心跑者

4000
精英跑者

4500
装备价格（单位：元）
2500
根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元
?
【答案】

（
1
）


（
2
）中位数的估计值：

∵

∴
中位数位于区间
设中位数为，

∴
解得
∵

（
3
）依题意可知，休闲跑者共有人， 核心跑者
人，精英跑者
人

该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要

【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数

元




中，

【解析】【分析】（
1
）根据频数和频率之间的关系计算即可；（
2
）根据频率分布直方图利用中位数两边
频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（
3
）根据频率分布直方图求出休 闲跑者，核心跑者，
精英跑者分别人数，进而求出平均值。


20.如图长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB= AD
，
E
，
F
分别为棱
AB
，
A
1
D
1
的中点


（< br>1
）求证
:
平面
EFC⊥
平面
BB
1
D;
（
2
）请在答题卡图形中画出直线
DB
1
与平面
EFC
的交点
O(
保留必要的辅助线
)
，写出画法并 计算

值
(
不必写出计算过程
)
【答案】

（
1
）证明：在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB=
∴
∴
在
平面

中，


在中，


∴
∵
在
∴
∴
∵
∴
平面



中，




AD
，
E，
F
分别为棱
AB
，
A
1
D
1
的中点

的

∵
∴
平面

平面

平面

（
2
）【解答】在平面内过点
M
作的平行线，连接交于点，




【考点】平面与平面垂直的判定

【解析】 【分析】（
1
）利用面面垂直的判定定理，通过
得出
而证出平面，

最后证得平面
进而得出
平面
平面得出
得出
，

再根据
进

。（
2
）利用面面垂直的性质定理即可画出。< br>21.
已知函数
f(x)=
（
1
）当
a=1时，求
f(x)
的最小值
;
，其中
a∈R
．

（
2
）设函数
f(x)
恰有两个零点
x
1

，
x
2

，

且
x
2
-x
1
>2
，求
a
的取值范围

【答案】

（
1
）解：当
a=1
时，
∵< br>当
当
时，
时，
，

函数
，

函数
，

当
故当
a=1
时，

（
2
）
∵
，函数
（
i
）当
∵
∴此时函数

也恰有一个零点，即（不合题意舍去）


恰有两个零点
x
1
，
x
2

有一个零点，令得
,
时，函数
最小值为
-14
。

在
在

上为增函数，函数值
上为减函数，在
时，函数值上为增函数，
取最小值为
-14
；

;

（
ii
）函数
，

∵
∴
即

解得
当
当





恰有两个零点
x
1
，
x
2

，即或

时，结合上述无解

时，结合上述可得


∴a
的取值范围为：

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值

【解 析】【分析】
(1)
当
a=1
时，直接代入函数求导，从而得到函数
上为减函数，在上为增函数，即可求得的最小值为
-14
；

在上为增函数， 在
（
2
）利用零点定理结合一元二次不等式根与系数的关系即可求出
a
的范围。