黑板报大全-幼儿园新学期家长会

2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题： 本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 .
1．（5分）已知集合
M{x|x(x2)0}
，
N{2，
1
，0，1，
2}
，则
M
I
N(

)

A．
{0
，1，
2}
B．
{2
，
1}
C．
{1}
D．
{2
，
1
，0，
2}

2．（5分）已知 复数
z
在复平面中对应的点
(x,y)
满足
(x1)
2< br>y
2
1
，则
|z1|(

)

A．0 B．1 C．
2
D．2
3．（5分）为了节能减排，发展低碳经 济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能
源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的 相关信息：
中国新能源汽车产销情况一览表

新能源汽新能源汽
车产量 车销量
产量比上销量比上
（万年同（万年同
辆） 期增辆） 期增
长长
(%)

2018年3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
(%)

6.8 105 6.8 117.4
8.1 117.7 8.2 138.4
9.6 85.6 10.2 125.6
8.6 31.7 8.4 42.9
9
9.9
53.6 8.4 47.7
39 10.1 49.5
12.7 64.4 12.1 54.8
14.6 58.1 13.8 51
17.3 36.9 16.9 37.6
第1页（共21页）

112
月
2019年1月
2月
根据上述图表信息，下列结论错误的是
(

)

127 59.9 125.6 61.7
9.1 113 9.6 138
5.9 50.9 5.3 53.6

A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆
B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆
C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量
D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆
4．（5分）已知

，

，

是三个不同的平面，
m
，
n< br>是两条不同的直线，下列判断正确的
是
(

)

A ．若



，



，则



C．若



，
m

，
n

，则
mn

B．若
m

，
n

，则
mn


D．若



，
m

，
n

，则
mn

5．（5分）已知正项等比数列
{a< br>n
}
中，
a
3
a
5
4
，且
a
4
，
a
6
1
，
a
7
成等差 数列，则该数列
公比
q
为
(

)

A．
1

4
B．
1

2
C．2 D．4
6．（5分）我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜< br>想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了
1和自 身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如
40337
．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是
(

)

A．
1

26
B．
1

22
C．
1

17
D．
1

15
第2页（共21页）

7．（5分）圆x
2
y
2
2x4y10
关于直线
axby 30(a0,b0)
对称，则
小值是
(

)

A．1 B．3 C．5 D．9
12

的最
ab
8．（ 5分）正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为
(

)


A．
33033
B．
3309
C．
123
D．
99
10

22
9．（5分） 已知函数
f(x)Asin(

x

)(A0
，
0
，
0



)
的周期为
，将其图象

个单位长度后关于
y
轴对称，现将
y f(x)
的图象上所有点的横坐标伸长到原来
6


的2倍（纵坐标 不变），所得图象对应的函数为
g(x)
，若
g()2
，则
f( )(

)

34
向右平移
A．
6

2
B．

6

2
C．
31

2
D．
13

2

x
2
2x ,x
„
0

10．（5分）已知函数
f(x)

3x
，若函数
yf(x)m
有两个不同的零点，则
m
的
,x0


x1
取值范围是
(

)

A．
(1,3)
B．
(1
，
3]
C．
(1,)
D．
[1
，
)

x< br>2
y
2
11．（5分）已知点
F
1
，
F2
分别是双曲线
C:
2

2
1(a0,b0)< br>的左，右焦点，
O
为坐标
ab
原点，点
P
在双曲线< br>C
的右支上，且满足
|F
1
F
2
|2|OP|，
tanPF
2
F
1
4
，则双曲线
C的离
心率为
(

)

A．
5
B．5 C．
17

3
D．
17

9
12 ．（5分）设
f(x)
是定义在
R
上的函数，满足条件
f(x1) f(x1)
，且当
x„1
时，
f(x)e
x
3
，则
af(log
2
7)
，
bf(3),cf(3< br>1.5
)
的大小关系是
(

)


2
3
A．
abc
B．
acb
C．
bac
D．
cba

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
第3页（共21页）

r
rr
r
r
r
13．（5分）平 面向量
a
与
b
的夹角为
60
，且
a(3,0)
，
|b|1
，则
|a2b|
．

y< br>„
x

14．（5分）若实数
x
，
y
满足约 束条件

xy
„
4
，则
z2xy
的最小值是 ．

y
…
3

c
，15．（5分）在
ABC
中，内角
A
，若
tanAg
b
，
C
的对边分别为
a
，
tanC1
，
b3ccosA
，< br>B
，
则
cosC
．
x
2
y
2
16．（5分）已知椭圆
C:
2

2
1(ab0) ,A
为右顶点．过坐标原点
O
的直线交椭圆
C
于
ab
2
P
，
Q
两点，线段
AP
的中点为
M
， 直线
QM
交
x
轴于
N(2,0)
，椭圆
C
的离心率为，则
3
椭圆
C
的标准方程为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1 7．（12分）已知数列
{a
n
}
是递增的等比数列，且
a
1
a
4
9
，
a
2
a
3
8< br>．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和 ，
b
n

a
n1
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
S
n
S
n1
18．（12分）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的 价值追
求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生
最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？
某单位准备通过 考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25
个普薪职位．实际报名人 数为2000名，考试满分为400分．考试后对部分考生考试成绩进
行抽样分析，得到频率分布直方图 如下：试结合此频率分布直方图估计：
（1）此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？
（2）若考生甲的成绩为280分，能否被录取？若能被录取，能否获得高薪职位？（分数精
确到个位， 概率精确到千分位）

19．（12分）如图，已知四边形
ABCD
为等腰 梯形，平面
BDEF
平面
ABCD
，
BDEF
为正方形，
第4页（共21页）

ADBC
，
ADAB1
，
ABC60
．
（1）求证：平面
CDE
平面
BDEF
．
（2）点N
为线段上
CE
一动点，求三棱锥
FCDN
体积的取值范围．

20．（12分）设函数
f(x)x
2
axlnx
．
（1）若当
x1
时，
f(x)
取得极值，求
a
的值，并 求
f(x)
的单调区间．
（2）若
f(x)
存在两个极值点
x
1
，
x
2
，求
a
的取值范围，并证明：
f(x
2
)f(x
1
)
4a

．
x
2
x
1
a2
21．（12分）过点
P(0,2)
的直线与抛物线
C:x
2
4y
相交于
A
，
B< br>两点．
（1）求
11
的值．

|AP|
2
|BP|
2
（2）
A
，
B
在直线
y2
上的射影分别为
A
1
，
B
1
，线段
A
1
B
1
的中点为
Q
，求证：
BQPA
1
．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B
铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22．（10分）在极坐标系中，已知圆的圆 心
C(6,)
，半径
r3
，
Q
点在圆
C
上运动，以极
3
点为直角坐标系原点，极轴为
x
轴正半轴建立直角坐标系．
（1）求圆
C
的参数方程；
（2）若
P
点在线段
OQ
上，且
|OP|:|PQ|2:3
，求动点
P
轨迹的极坐标方 程．
23．设函数
f(x)|2x1||x1|
．
（1）画出
yf(x)
的图象；
（2）若不等式
f(x)a |x1|
对
xR
成立，求实数
a
的取值范围．

第5页（共21页）

第6页（共21页）

2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有 一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合
M{x|x(x2)0}
，< br>N{2
，
1
，0，1，
2}
，则
M
I
N(

)

A．
{0
，1，
2}
B．
{2
，
1}
C．
{1}
D．
{2
，
1
，0，
2}

【解答】解：QM{x|0x2}
，
N{2
，
1
，0，1，2}
，
M
I
N{1}
．
故选：
C
．
2．（5分）已知复数
z
在复平面中对应的点
(x,y)
满足
(x1)
2
y
2
1
，则
|z1|(

)

A．0 B．1 C．
2
D．2
【解答】解：
(x1)
2
y
2
1
，表示以
C(1,0)
为圆心，1为半径的圆．
则
|z1|1
．
故选：
B
．
3．（5分） 为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能
源汽车产业发展．下面 的图表反映了该产业发展的相关信息：
中国新能源汽车产销情况一览表

新能源汽新能源汽
车产量 车销量
产量比上销量比上
（万年同（万年同
辆） 期增辆） 期增
长长
(%)

2018年3月
4月
(%)

6.8 105 6.8 117.4
8.1 117.7 8.2 138.4
第7页（共21页）

5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
9.6 85.6 10.2 125.6
8.6 31.7 8.4 42.9
9
9.9
53.6 8.4 47.7
39 10.1 49.5
12.7 64.4 12.1 54.8
14.6 58.1 13.8 51
17.3 36.9 16.9 37.6
127 59.9 125.6 61.7
9.1 113 9.6 138
5.9 50.9 5.3 53.6
112
月
2019年1月
2月
根据上述图表信息，下列结论错误的是
(

)


A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆
B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆
C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量
D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆
【解答】解：由图表信息可 知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：
所以选项
A
正确；
由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：
125.6

77 .67
，所以选项
B
正确；
10.617
6.8
3.3 2
，
11.05

由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销 量为10.1，产量为9.9，所以选项
C
正
第8页（共21页）

确；
由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车 的销量为：
9.60.252.4
，所以
选项
D
错误，
故选：
D
．
4．（5分）已知

，

，

是三个不同的平面，
m
，
n
是两条不同的直线，下列判断 正确的
是
(

)

A．若



，



，则




C．若



，
m

，
n

，则
mn

B．若
m

，
n

，则
mn

D．若



，
m

，
n
，则
mn

【解答】解：对于
A
，由


，



，得


或

与

相交，故
A
错误；
对于
B
，由
m

，
n

，利用线面垂直的性质可得< br>mn
，故
B
正确；
对于
C
，由



，
m

，
n

，得
m n
或
mn
或
m
与
n
相交不存在或
m
与
n
异面
不存在，故
C
错误；
对于
D
，由



，
m

，
n
，得
mn
或
m
与
n
异面．

判断正确的是
B
．
故选：
B
．
5． （5分）已知正项等比数列
{a
n
}
中，
a
3
a< br>5
4
，且
a
4
，
a
6
1
，
a
7
成等差数列，则该数列
公比
q
为
(

)

A．
1

4
B．
1

2
C．2 D．4
【解答】解：正项等比数列
{a
n
}< br>中，
a
3
a
5
4
，
2
a3
a
5
4
，即
a
4
2
， 可得< br>q0
，
a
4
a
4
，
a
6
1
，
a
7
成等差数列，可得
a
4
a
7
2a
6
2
，
即
22q
3
4q< br>2
2
，解得
q2
，
故选：
C
． 6．（5分）我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜
想简述 为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了
1和自身外无其他正 因数，则称这个整数为素数），如
40337
．在不超过40的素数，随
机选取2 个不同的数，这两个数的和等于40的概率是
(

)

第9页（共21页）

A．
1

26
B．
1

22
C．
1

17
D．
1

15
【解答】解：不超过40的素数有：2， 3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12
个，
随机选取2个不同的数，
2
66
， 基本事件总数
nC
12
这两个数的和等于40包含的基本事件有：
(3, 37)
，
(11,29)
，
(17,23)
，共3个，

这两个数的和等于40的概率是
p
31
．

6622
故选：
B
．
7．（5分）圆
x
2
y
2
2x4y10
关于直线
axby30(a 0,b0)
对称，则
小值是
(

)

A．1 B．3 C．5 D．9
12

的最
ab
【解答】解：圆
x
2
y
2
2x4y10
的圆心坐标为
(1,2 )
，
由圆
x
2
y
2
2x4y10关于直线
axby30(a0,b0)
对称，
a2b3
，即
则
a2b
1
，
331212a2b52b2a52b2a54
()()…2g3
．
abab3333a3b33a3b33
当且仅当

3
2b2a3< br>，即
a
，
b
时上式取等号．

2
3a3b4
12

的最小值是3．
ab
故选：
B
．
8．（5分）正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为
(

)


第10页（共21页）

A．
33033
B．
3309
C．
123
D．
99
10

22
【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3，
底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：
a
；所以
斜高为：
3
2
1
2
10
，
13
该三棱锥的表面积为 ：
32310(23)
2
33033
．
24
3
a3
，解得
a23
．
2
故选：
A
．

9．（5分）已知函数
f(x) Asin(

x

)(A0
，

0
，
0



)
的周期为

，将其图象

个单位长度后关于
y
轴对称，现将
yf(x)
的图象上 所有点的横坐标伸长到原来
6


的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函 数为
g(x)
，若
g()2
，则
f()(

)

34
向右平移
A．
6

2
B．

6

2
C．
31

2
D．
13

2
【解答】解：函数
f(x)A sin(

x

)(A0
，

0
，
0



)
的周期为

，可得

2
，

个单位长度后关于
y
轴对称，
6< br>

5

可得
yAsin(2x

)0



，所以


，所以

．
3326
将其图象向右平移
将
yf(x)
的图 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得图象对应的函数为
g(x)Asin(x
5

)
，
6


5

若
g()2
，可得：2Asin()
，可得
A2
，
336
f(x)2sin(2x
5

)
，
6

5

6
，
f()2sin()2sin
42632
故选：
B
．

x
2
2x,x
„
0

10．（5分） 已知函数
f(x)

3x
，若函数
yf(x)m
有两 个不同的零点，则
m
的
,x0


x1
第11 页（共21页）

取值范围是
(

)

A．
(1,3)
B．
(1
，
3]
C．
(1,)
D．
[1
，
)

【解答】解：依题意，函数
f(x)
的图象与直线
ym
有两个交点，
而当
x0
时，
f(x)
3(x1)33
33
，
x1x1
作出图象如下图所示，
由图象可知，
m(1,3)
．
故选：
A
．

x
2
y
2
11．（5分）已知点
F
1
，< br>F
2
分别是双曲线
C:
2

2
1(a0 ,b0)
的左，右焦点，
O
为坐标
ab
原点，点
P
在双曲线
C
的右支上，且满足
|F
1
F
2
|2 |OP|
，
tanPF
2
F
1
4
，则双曲线< br>C
的离
心率为
(

)

A．
5
B．5 C．
17

3
D．
17

9
【解答】解：点
P
在双曲 线
C
的右支上，且满足
|F
1
F
2
|2|OP|
，
即有
O
为△
PF
1
F
2
外接圆的圆心，
即有
F
1
PF
2
90
，
由双曲线 的定义可得
|PF
1
||PF
2
|2a
，
Q tanPF
2
F
1
4
，所以
|PF
1
|4|PF
2
|
，
则
|PF
1
|
8 a2a
a
，
|PF
2
|a
，
33
由| PF
1
|
2
|PF
2
|
2
|F
1
F
2
|
2
，
第12页（共21页）

即
(
8a
2
2a
2
) ()4c
2
，
33
17
2
a
，
9
即有
c
2

e
17
，
3
故选：
C
．
12．（5分）设
f(x)
是定义 在
R
上的函数，满足条件
f(x1)f(x1)
，且当
x„ 1
时，
f(x)e
x
3
，则
af(log
2
7)
，
bf(3),cf(3
1.5
)
的大小关系 是
(

)


2
3
A．
abc
B．
acb
C．
bac
D．
cba

【解答】解：由
f(x 1)f(x1)
可得函数的图象关于
x1
对称，
又当
x „1
时，
f(x)e
x
3
单调递减，故
x1
时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函
数值越大，
11
1
Qlog< br>2
7(2,3)
，
3(,)
，
3
1.5

，
32
3

2
3
故
acb
．
故选：
B
．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
r
rr
r
r
r
13．（5分）平面向量
a
与
b
的夹角为
60
，且
a(3,0)
，
|b| 1
，则
|a2b|

r
r
【解答】解：
Q< br>a(3,0)
，

|a|3
，
r
r
r
又
a
与
b
的夹角为
60
，
|b|1< br>，
rrr
rrrr
r

|a2b|
2
 (a2b)
2
a
2
4a
g
b4b
2

19
．
9431cos60419
．
r
r

|a2b|19

故答案为：
19
．

y
„
x

14．（5分）若实数
x
，
y
满足约束条件

xy
„
4
，则
z2xy
的最小值是
9
．

y
…
3


y
„
x

【解答】解：作出不等式组件

xy
„
4
所表示的平面区域，

y
…
3

第13页（共21页）

作出直线
2xy0
，对该直线进行平移，
结合
Z
最小，直线的截距最小；
可以发现经过点
C(3,3)
时
Z
取得最小值
9
；
故答案为：
9
．

c
，15．（5分）在
ABC
中，内角
A
，若
tanAg
b
，
C
的对边分别为
a
，
ta nC1
，
b3ccosA
，
B
，
则
cosC

6
．
3
【解答】解：
ABC
中，内角A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b，
c
，
由于
b3ccosA
，则
sinB3sinCcosA
，
则：
sin(AC)3sinCcosA
，
整理得：
tanA
2
，
tanC
故
tanA2tanC
，
所以：
tan
2
C
则：
tanC
所以
tanC
故答案为：1
，
2
2
（负值舍去）．
2
26
时，解得：
cosC
．
2
3
6

3
x
2
y
2
1 6．（5分）已知椭圆
C:
2

2
1(ab0),A
为右顶点．过坐标原点
O
的直线交椭圆
C
于
ab
第14页（ 共21页）

P
，
Q
两点，线段
AP
的中点为
M
，直线
QM
交
x
轴于
N (2,0)
，椭圆
C
的离心率为
x
2
y
2
椭圆
C
的标准方程为
1
．
3620
【解答】解： 设
P(x,y)
，则由
A(a,0)
；
线段
AP
的中点为
M
，则
M(
xay
，
)
；
2 2
2
，则
3
由题意，
Q
，
N
，
M
三点共线，
k
MN
k
NQ
；
1
y0
0(y)
2
即；

xa
2(x)
2
2
可得
xa42x
；
所以a6
，由椭圆
C
的离心率为
2
，得
c4
，
b
2
20
；
3
x
2
y
2故椭圆
C
的标准方程为：
1
．
3620
x
2
y
2
故答案为：
1
．
3620
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
17．（12分）已知数列
{a
n
}
是递增的等比数列，且< br>a
1
a
4
9
，
a
2
a
3
8
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，
b
n

a
n1
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
Sn
S
n1
【解答】解：（1）
Q
数列
{a
n
}
是递增的等比数列，且
a
1
a
4
9
，
a
2
a
3
8
．
a
1
a
4
9
，
a
1
a
4
a
2
a
3
8
．
解得
a
1
1
，
a
4
8
或
a
1
8
，
a
41
（舍
)
，
解得
q2
，即数列
{an
}
的通项公式
a
n
2
n1
；
a
1
(1q
n
)
2
n
1
， （2）
S
n

1q
b
n

a
n1
SS
n
11
，

n1

S
n
S
n1
S
n
S
n1
S
n< br>S
n1
111111111
．
1
n1
S
1
S
2
S
2
S
3
Sn
S
n1
S
1
S
n1
21
第1 5页（共21页）


数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n

18．（12分）“公平正义”是社会主义和谐社会 的重要特征，是社会主义法治理念的价值追

求．“考试”作为一种公平公正选 拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生
最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已 能否被录取？能获得什么样的职位？
某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名， 其中275个高薪职位和25
个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．考试后对 部分考生考试成绩进
行抽样分析，得到频率分布直方图如下：试结合此频率分布直方图估计：
（1）此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？
（2）若考生甲的成绩为280分，能否 被录取？若能被录取，能否获得高薪职位？（分数精
确到个位，概率精确到千分位）

【解答】解：（1）设
(0.0020.0029x)1000.5
，解得：
x0.0001
．

可得其中位数为：
200
0.0001
(300200)202
．
0.0041
（2）
300~4 00
分的人数为：
0.0011002000200
．
280~30 0
分的人数为：
0.00411002000
而
16420030 0
．

考生甲的成绩为280分，不能被录取．
300280
164
．
100
19．（12分）如图，已知四 边形
ABCD
为等腰梯形，平面
BDEF
平面
ABCD
，
BDEF
为正方形，
ADBC
，
ADAB1
，
ABC60
．
（1）求证：平面
CDE
平面
BDEF
．
（2）点N
为线段上
CE
一动点，求三棱锥
FCDN
体积的取值范围．

【解答】（1）证明：如图所示，作
DPBC
，
AQBC，垂足分别为
P
，
Q
．
第16页（共21页）

由
ABC60
．可得
CPBQ
3
1
，
QPAD1
．
DP
．
2
2
BD
2
DP
2
BP
2
3
，
BD
2
DC
2
4BC
2
．
BDDC
．
Q
平面
BDEF
平面
ABCD
，平面
BDEF

平面
ABCDBD
．
CD 
平面
BDEF
，又
CD
平面
CDE
，

平面
CDE
平面
BDEF
．
（2）解：Q
平面
CDE
平面
BDEF
．平面
CDE

平面
BDEFDE
．
BDDE
．
BD
平面
CDE
．
设点
N
到平面
A BCD
的距离为
h
，
h(0
，
3]
．
111131
三棱锥
FCDN
体积
VBDgDCgh31h h(0,]
．
323262

20．（12分）设函数
f(x)x
2
axlnx
．
（1）若当
x1
时，
f(x)
取得极值，求
a
的值，并 求
f(x)
的单调区间．
（2）若
f(x)
存在两个极值点
x
1
，
x
2
，求
a
的取值范围，并证明：
f(x
2
)f(x
1
)
4a

．
x
2
x
1
a2
12x
2
ax1
【解 答】解：（1）
f

(x)2xa,(x0)
，
xx< br>Qx1
时，
f(x)
取得极值．
f

（1）0
，
a3
．
2x
2
3x1(2x1)(x 1)

f

(x)
，

xx
11
解
f

(x)0
得，
0x
或
x1
；解
f

(x)0
，得
x1
， 2
2
11
f(x)
的单调增区间为
(0,),(1,)< br>，单调减区间为
(,1)
．
22
2x
2
ax1
（2）
f

(x),(x0)
，
x
Qf(x )
存在两个极值点，

方程
f

(x)0
即2x
2
ax10
在
(0,)
上有两个不等实根．
第17页（共21页）

Q
Va
2< br>80,x
1
x
2

1a
0
，
x
1
x
2
0
，

a22
． 22
f(x
2
)f(x
1
)x
2
2
ax
2
lnx
2
x
1
2
ax
1< br>lnx
1


x
2
x
1
x2
x
1
x
2
x
1
a
所证不等式
lnx
2
lnx
1
a
lnxlnx1


2
x
2
x
1
2x
2
x
1
lnxlnx
1
4
lnxlnx
1
f(x
2
)f(x
1
)
4a
2
． 
，即
2


等价于
2
x
2
x
1
ax
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
a2
x
2
1
x< br>2
x
1
不妨设
x
2
x
1
0，即证
ln2
，
x
2
x
1
1
x
1
x
2
14(t1)
2
2(t1)
令
t1
，
h(t)lnt
，则
h

(t)0
，
22
t(t1)t(t1)
x
1
t1
 h(t)
在
(1,)
上递增，
h(t)h
（1）
 0
，
x
2
1
f(x
2
)f(x
1< br>)
4a
x
2
x
1

ln2
成立，


成立．
x
2
x
2
x
1
a2
x
1
1
x
1
21．（12分）过点
P(0,2)
的直线与抛物线
C:x
2
4y
相交于
A，
B
两点．
（1）求
11
的值．

|AP |
2
|BP|
2
（2）
A
，
B
在直线y2
上的射影分别为
A
1
，
B
1
，线段< br>A
1
B
1
的中点为
Q
，求证：
BQPA1
．

xtcos

(t
为参数，
不为
90
的倾斜角）【解答】解：（1）设直线
AB
的方程为

，
y2tsin


代入抛物线
C:x
2
4y
可得
t
2
cos
2

4tsin

80
，
设
A
，
B
对应的参数分别 为
t1
，
t2
，可得
t
1
t
2

1111
t
1
2
t
2
2

2

222
|AP||BP|t
1
t
2
(t
1
t
2
)
2
4sin

8
，，
tt
12
cos
2

cos
2

1 6sin
2

16

2
42
(t
1
t
2
)2t
1
t
2
16(sin
2

cos
2

)161
cos

cos


2
64
(t
1
t
2
)646 44
4
cos

；
（2）证明：设直线
AB
的方 程为
ykx2
，联立
x
2
4y
，可得
x2
4kx80
，
设
A(x
1
，
y1
)
，
B(x
2
，
y
2
)
， 可得
x
1
x
2
4k
，
x
1
x
2
8
，
第18页（共21页）

由
A
1
(x
1
，
2)
，
B1
(x
2
，
2)
，可得中点
Q(
可得
k
BQ

y
2
2kx
2
4
，
k
PA
1

x
2
2kx
2
2kx
1
x
2
，
2)
，即
Q(2k,2)< br>，
2
224

，
x
1
x
1
由
k
BQ
k
PA
1

kx
1
x
2
4(x
1
x
2
)8k
8k 16k8k
0
，
x
1
(x
2
2k)x
1
(x
2
2k)
即
k
PA
1
 k
BQ
，可得
BQPA
1
．

请考生在第22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B
铅笔在答题卡.上把所选题 目对应的题号后的方框涂黑.
22．（10分）在极坐标系中，已知圆的圆心
C(6,)，半径
r3
，
Q
点在圆
C
上运动，以极
3< br>点为直角坐标系原点，极轴为
x
轴正半轴建立直角坐标系．
（1）求圆
C
的参数方程；
（2）若
P
点在线段
OQ
上，且
|OP|:|PQ|2:3
，求动点
P
轨迹的极坐标方 程．
【解答】解：（1）由已知得，圆心
C(6,)
的直角坐标为
C(3, 33)
，
r3
，
3
所以
C
的直角坐标方程为< br>(x3)
2
(y33)
2
9
，


x33cos

所以圆
C
的参数方程为



y333sin

(

为参数）．

（2）由（1）得，圆
C
的极坐标方程为

2
6< br>
(cos

3sin

)270
，
即

2
12

sin(

)27
．
6
设
P(

,

)
，
Q(< br>
1
，

)
，
根据
|OP|:|PQ| 2:3
，可得

:

1
2:5
，

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将

1

5


代入
C
的极坐标方程得
25

2
120

sin(

)1080，
26
即动点
P
轨迹的极坐标方程为
25

2
120

sin(

)1080
．
6
23．设函数
f(x)|2x1||x1|
．
（1）画出
yf(x)
的图象；
（2）若不等式
f(x)a |x1|
对
xR
成立，求实数
a
的取值范围．




3x,x
„
1

1

【解答】解：（1）函数
f(x)|2x1||x1|

x2,1x
；
2

1

3x,x
…

2
画出
yf(x)
的图象，如图所示；

（2）不等式
f(x)a|x1|
对
xR
成立，
即
|2x1|2|x1|a
对
xR
成立；
设
g(x)|2x1|2|x1|
，
则
g(x)|2x1||2x2|…|(2x1)(2x2)|3
，
当且仅当
1剟x
1
时取等号；
2
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所以实数
a
的取值范围是
a3
．

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