英语冠词的用法-物业公司工作总结

数学中的简单逻辑推理问题
一、“被墨水盖住”的算式

如果要 想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领，不
但应具有非凡的推理能力，还要懂得大量的其他知识。然 而，
只要你有心，也可以破译一些简单的密码。
现在我们来看一个例子：
据 传说，英国物理学家牛顿（1642－1727）小的时候，
学习成绩几乎在学校是倒数第一。后来他下 决心改变这一令
人沮丧的状况。有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没
有任何错误，但正当 他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发
生了：墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。下图显示了这个令人不快的结果。



式中只剩下了3个数字较为清 晰。小牛顿尽了一切努力，
最后终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、
8、9全部10个数字，一样一个。如果这是一种从0到9这
10个数字编制的密码，你能破译出被墨水 盖住的都是哪些数
字吗？
由于被墨水盖住的是10个数字，所以原式应为：

2 8 ？
+？？4
────—
？？？？
我们可以把这个算式写成：
28A
+CB4
────—
GFED
其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9
中的某一个。
我们 先考虑千位上的G。两个三位数相加，和是四位数，
由于两个百位上的数相加，和最多向千位进1，所以 ，G只
能是1，这时，算式就成了：
28A
+CB4
────
1FED

再看百位上的C和F。如果要保证向千位进1，C不能
小于7，即C只可能是7或9中的一个。设C=9，那么如果

十位不进位到百位，F= 1；如果十位进位到百位，F=2。这都
和已知的数字重复。所以C≠9。
所以C=7，F=0。即
28A
+7B4
────
10ED
这时，B可能是3、5、6、7中的某一个。如果B=3，那
么应有E=1或2，但这不可能；
如果B=5，那么E=3，但6+4≠9，9+4≠6；如果B=6，那么
E=5，这时令A= 9，则有D=3。
整理出来就是：A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F=0，G=1。
于是，小牛顿的算式应为：
289
+764
────
1053

二、问路问题
有这样一个故事：在太平洋中有AB两 个相邻的小岛。A
岛居民都是诚实的人，B岛的居民都是骗子。当你问一个问
题时，A岛的居民 会告诉你正确的答案，而B岛的居民给你

的答案都是错误的。一天，一个旅游者独自登上 了两岛中的
某个岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛
上的人既有本岛的居民又 有另一岛的来客。他想问岛上的人
“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正
确 。旅游者动脑筋想了会一儿，终于想出一个办法，他只需
要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的 回答中准确
无误地断定这里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗？
如果旅游者直接问 “这是A岛还是B岛？”那么当被问
者是A岛人时，他会得到正确的回答；当被问者是B岛人时，
他会得到错误的回答。两种回答截然相反，而旅游者又无法
知道他得到的答案对不对，因此这样问话达 不到问路的目的。
聪明的旅游者的问话是，“你是这个岛的居民吗？”如果对
方回答“是”，那 么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不
是”，那么这个岛一定是B岛。你能说出这是为什么吗？ 下面我们就对上面的问题进行分析：我们知道，旅游者
提出问题时并不知道提问地是何岛，也不知道 被问者是何岛
居民。他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。因
此，所提问题的答案必 须是因提问地而异，而不由被问者是
A岛居民或是B岛居民发生变化。
根据上述特点，我们设法找到这样的问题：
1、使得在A岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都
回答同样的一种答案；

2、在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。
于是，我们就可以根据任一人 的回答来判断提问地为何
岛了。显然，这样的问题必须与提问地相关，并且还要与被
问者有关， 如果在A岛提出这样的问题时，A岛居民应作肯
定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实 际
相反），那么在B岛提出同一问题时，A岛居民应作否定回答
（B岛居民也会做否定回答，但 回答与实际情况相反）。
“你是这个岛的居民吗？”这一问题就是一个满足以上
要求的问题， 我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被
问者对问题的相应回答。
问题：你是这个岛的居民吗？
被问者
问话地
A岛居民
回答
A岛
B岛
是
不是
是
不是
B岛居民 < br>由上表可以一目了然地发现：在A岛提问时，回答总为
“是”；在B岛提问时，回答总为“不是” 。这就为旅游者
判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以解
决。
请想 一想，如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上
的居民吗？”，那么能根据任一人的回答来判断提问地 是何

岛吗？为什么？试通过列表的方式说明理由。
数学中有个分支叫做数理逻 辑，它通过数学方法来研究
逻辑规律。在数理逻辑中，列表法是一种基本的研究方法，
只是其中 表的形式与本文中的表有许多不同，使用了一些有
关命题、真值的抽象符号，但其基本思想与我们用表讨 论问
题的思想是大体一致的，都是通过列表来分析和说明问题。
数学是以逻辑推理为重要研究 方法的学科。所谓逻辑推
理，就是合乎事理的、有根有据的推导判断。上面的两个问
题正是运用 到逻辑推理的问题，同学们应在数学学习中注意
提高自己的逻辑推理能力，使自己勤于思考并且善于思考 ，
成为聪明人。

九宫图的应用
班级：六年级 教师：张桐生
一、数学故事：任意写一个三位数
做几次简单运算，可以发现一个小 小规律。任意写一个
三位数，例如135。把它的数字倒过来写，成为531。用其
中较大的减 去较小的，得到
531-135=396。
换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到
876-678=198， 995-599=396， 963-369=594。
以上4个式子里得到的差，有一个明显 的共同点：差的
中间一位数字都是9。再仔细看看，还发现一个共同点：差
的首、尾两位数字的 和等于9。这样，通过观察和归纳，就
发现了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数
颠倒相减的例子，来验证上面得到的规律，结果大部分都完
全符合，只有两种例外情形。
第一种例外，如594-495=99，差是两位数99，不是三
位数。
第二种例外，如323-323=0，这时的差是0。
由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补
充：
第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；
第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。

在其他情形下，差都是三位数。
这样一来，规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去，
在纸上任意写三位数，然后颠倒相减， 只要把差的末位数字
告诉你，就能猜出差是多少。无论哪种情形，只要掌握规律，
总能应答如流 ，一猜就准。
二、九宫图的应用
（一）历史
古老而悠久的中华文化的宝殿中，有两颗璀璨夺目的明
珠--河图洛书，至今吸引着众多学者的研究热情 ，人们为河
图洛书的神话般的传说，高深的奥义，丰富的内容，简洁的
形式万分惊讶，对河图洛 书与中国的思想文化、社会科学、
自然科学的密切联系更是迷惑不解。种种论述表明，河图洛
书 是中华文化的总源头，对中国及世界文化的发展，都有过
深刻的影响。然而，令我们每个人吃惊和迷惑不 解的是，河
图洛书只是两个简单的数字图。
（二）龙马载河图，神龟背洛书
河图 洛书是我们祖先创造出来的，翻遍祖国的各种古典
著作，我们根本找不到这位创始人。河图洛书的产生， 至少
要追溯到四千五百多年以前，那时，人类尚处于无文字时代，
人类的认识水平还十分低，很 难想象那时就有人能够制造出
如此高深莫测的图书。在我国各种古籍中，对河图洛书的起
源，仅 有两个龙马载河图，神龟背洛书的传说。

1、龙马载河图
相传远古时期的 孟津河边，一天河水忽然
大涨，波浪滔天，水中有一巨兽，似龙非龙，
似马非马，浪里飞腾。当 时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告，
立即去河边观看，只见河中洪涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如
登平地，大体象马却身有鱼鳞，高八九尺，有两翼，形体象
骆驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人 走近河边，将
图案记录下来，刚刚记下，怪兽即没而不见。后伏羲皇帝认
真研究了这副图发现它 正是由十种花点组成，这十种花点代
表1-10这10个数，两种花点构成一组，布局在东西南北中五个位置上，每组花点所表示的数，其差均是5.这种和谐统
一，四方对称的特征，黄帝越研究越感 到奇妙无比，后来他
就依此画八卦，建甲历，定时辰，治理国家。由于此幅图是
在孟津河中发现 的，故称此图为河图。
2、神龟背洛书
公元前23世纪，大禹治水的时候，在黄河支流洛 水中，
有一天突然浮规出一个大乌龟，当时，大禹与治水士兵正在
河边现察洛河水情，商议治理 黄河大计，遇到乌龟在河里上
下翻腾就十分奇怪，只见此龟行走水面，游来游去，其身形
庞大， 甲背平圆。近处仔细观看，发现甲上载有9种花点的
图案，大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来， 带回去
作了深入的研究，他惊奇地发现，9种花点数正好是1-9这

9个数，各 数的位置排列也相当奇巧，纵横六线及两条对角
线上三数之和都为15，既均衡对称，又深奥有趣，在奇 偶数
的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。大禹受到启发，他
参照九数而划分天下雨九别，并 且把一般政事也区分为九奥。
据《史记．夏本纪》写道：夏禹治水时，“左准通、右规矩，
载四 时，以开九州，通九道，陂九泽……”大禹治水以九宫
为据，应用到测量、气象、地理与交通运输之中， 从而治理
黄河，大获成功，受到黄河两岸人们的拥戴。由于神龟所背
图是在黄河支流洛水中发现 ，且图中内容如书一样深奥，故
人们称此为洛书。
（三）应用：如何分班？
为师各 班成绩均匀，我们给先学生排序，然后按照一定
的规律将学生分组。如分3个班，将学生排序后，按照图 1
的行（或列）从上到下一次编号132321213为一组，向下重
复。所有编号为1的一个 班，编号为2的一个班，编号为3
的一个班。如分4个班则按图2处理；5个班按图3处理；6
个班按图4处理。

1 3 2
3 2 1
2 1 3
1 4 3 2
3 2 1 4
2 3 4 1
4 1 2 3
图1 图2

3 1 6 5 2 4
1 3 4 5 2

2 4 5 1 3

5 2 3 4 1

3 5 1 2 4

4 1 2 3 5

图3

作业：按照示例4图，请与同学合作，编制一张分
班的分班表。











6 2 5 3 4 1
5 4 1 2 3 6
1 6 3 4 5 2
4 5 2 1 6 3
2 3 4 6 1 5

图4
7个

鸡兔同笼问题
班级：六年级 教师：张桐生
鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约
在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有 趣的问题。书
中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九
十四足，问雉兔各几何 ？”这四句话的意思是：有若干只鸡
兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有
94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
第一类：列表举例法。
方法1：根据鸡和兔共20只的 条件，假设鸡只有1只，
那么兔有19只，腿共有78条……在这样的逐一举例中，直
至寻求到 所求的答案。

方法2：先作一些分析，比较后再试。

方法3：先假设鸡和兔各占一半，再列表。

60>54，说明兔子多了，应减少兔子的只数。
上面三种方法中，第一张表格是常规的逐一 列举法，即
根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有
19只，腿共有78条； 假设鸡有2只，那么兔就有18只，腿
共有76条。。。，再这样的逐一举例中，直至找到所求的答案。
第二类：作图分析法。
方法1：先画20个圆圈表示20个头。再为每个动物画
两条 腿，20只动物只用完40条腿，还多出了14条腿。把剩
下的14条腿用完，要给其中的7只动物加2 条腿，这7只
就是兔子，另外的13只就是鸡。
方法2：先画20个头，接着假设全部是兔， 共画80条
腿，多出了26条腿，要给其中的13只动物去掉2条腿，这
13只就是鸡，另外的 7只就是兔了。

第三类：方程解答法。
解法1：设其中有X只兔，有Y只鸡 。列式为：X＋Y＝
20，4X+2Y=54。最后算出X=7，Y=13。
解法2：设其中有X只兔，有（20－X）只鸡。列式为：
2X+4x（20－X）=54,最 后算出X＝7，得出兔的只数是7只，
那么20－X＝13就是鸡的只数。
第四类：假设推理法。
方法1： 假设这20只全部是兔子，那么就应该有80条
腿，而题目只告诉我们 有54条腿，我们算的8 0与实际
相比多算了26条腿，这是为什么呢？因为一只鸡是两条腿，
而我们把它当成四条腿算 了，如果用一只鸡来换一只兔，就
要减少2条腿，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然26
÷2＝13(只），所以鸡有13只，兔子有7只。可以列式为：
（20X4-54)÷(4-2)=1 3（只），20-13=7(只）。
方法2：假设这20只全部是鸡，那么就应该有40条腿，
比实际少了14条腿，是因为每只兔子少算了2条腿，这样
共有兔子是7只，鸡则是13只。列式如下 ：（54-20x4)÷(4
－2）=13(只），20－13＝7（只）。
解决鸡兔同笼问 题通常使用假设法，可以假设所有的动
物都是兔子，并求出在假设情况下的总腿数，再把实际的腿
数和假设情况下的腿数相比较，看看多出了多少，每多2只
腿说明有一只鸡，将多出的腿数除以2就算 出共有多少只鸡。

也可以假设全部是兔子来解。
方法3：把一只鸡和一只 兔看做一个整体，一个整体中
就有（4＋2=6）条腿，54条腿应该是几个这样的整体呢？54
÷6＝9(个），在9个这样的整体里兔子的只数应该不是9只，
因为9只兔和11只鸡的腿的条数超 过了总条数54。那么就
把兔看成8只，还是偏大，最后把兔的只数看成7只，鸡是
13只，腿 的总条数就正好是54了。列式为：4＋2＝6（只），
54÷6＝9(个），9－1＝8（只），9－ 2＝7（只），20－7＝13
（只），7X4＝28（条），13X2＝26（条）28+26=54 (条）
第五类：“金鸡独立”法
此方法是：每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来”。显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是
27，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等 的，兔子的脚数是兔
子的头数的2倍。所以，从27中减去总的头数20得7，就
是兔子的头数 。当然，20-7=13，鸡就是13只了。
鸡兔同笼问题早在我国古代数学名著《孙子算经》中就< br>出现过，社会发展到今天，鸡和兔同装一笼的此类事件应该
不多见了。但学生可以借助“鸡兔同笼 ”这个载体经历尝试、
创新的过程， 让学生感受到数学思想的运用与解决实际问
题的联系，体会到数学的价值。
作业：设计一个算法，输入鸡兔的头和脚数，输出鸡和
兔的数量。

抽屉原理的简单应用
班级：六年级 教师：张桐生
“任意367个人中，必有生日相同的人。”
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一
双手套。”
“从数1，2，…，10中任取6个数，其中至少有2个数
为奇偶性不同。”……
大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据
什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。抽屉 原理又称
鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特
殊方法。它的内容可以用形 象的语言表述为：“把m个东西
任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放
进了至少2个东西。”举个最简单的例子，把3个苹果按任
意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽 屉里放有两个
或两个以上的苹果。这是因为如果每一个抽屉里最多放有一
个苹果，那么两个抽屉 里最多只放有两个苹果。运用同样的
推理可以得到：
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有
一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有
一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
下面我们用抽屉原理来分析前面的例子：第一个结论中，

由于一年最多有3 66天，因此在367人中至少有2人出生在
同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至 少有
2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双
手套分别编号，即号码为1，2 ，…，5的手套各有两只，同
号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，
因此其 中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入
5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
例：利用上述原理证明：“任意7个整数中，至少有3
个数的两两之差是3的倍数。”
分析：因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可
能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得 余数相同，即
它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另 一
种表述：“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自
然数），那么一定有一个抽屉中放 进了无限多个东西。”
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中
有重要的作用。 许多有关存在性的证明都可用它来解决。
一、抽屉原理和六人集会问题
1958年67月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：
“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此
相识，或者有三个人以前彼此不相识。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

在平面上用6个点A、B 、C、D、E、F分别代表参加集
会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他
们 的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其
余各点间的5条连线AB，AC，...，AF ，它们的颜色不超过
2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设
AB，AC，A D同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不
妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即 一个红色三角形，
A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条
连线全为 蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、
D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发 生，都符
合问题的结论。

图1

六人集会问题是组合数学中著 名的拉姆塞定理的一个
最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一
些深入的结论 。这些结论构成了组合数学中的重要内容
-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次

看到了抽屉原理的应用。
二、抽屉原理与“电脑算命”
“电脑 算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、
月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、 命运
的句子，据说这就是你的“命”。
其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上
的抽屉原理很容易说明它的荒谬。
如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同
组合数应为70×365×2＝51100，我们 把它作为“抽屉”数。
我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1×
=215 26×51100+21400，根据原理2，存在21526个以上
的人，尽管他们的出身、经历、天 资、机遇各不相同，但他
们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！
在我国古代，早就有 人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字
之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道：“余最不
信 星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）
生一人，一日生十二人，以岁计之则有四千三百 二十人，以
一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而
已，今只以一大郡计，其 户口之数已不下数十万人（如咸丰
十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人以
至 小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大
人始生之时，必有庶民同时而生者，又何贵贱贫 富之不同

也？”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，
得到的 抽屉数为60×360×12＝259200。
所谓“电脑算命”，不过是把人为编好的算命语句像中
药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即
根据出生的年月、日、性别的不同的 组合按不同的编码机械
地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。这种在古
代迷信的亡灵 上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。

数学中的简单逻辑推理问题
一、“被墨水盖住”的算式

如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领， 不
但应具有非凡的推理能力，还要懂得大量的其他知识。然而，
只要你有心，也可以破译一些简 单的密码。
现在我们来看一个例子：
据传说，英国物理学家牛顿（1642－172 7）小的时候，
学习成绩几乎在学校是倒数第一。后来他下决心改变这一令
人沮丧的状况。有一 次，他把自己的作业做得干净整齐，没
有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发
生了：墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。
下图显示了这个令人不快的结果。



式中只剩下了3个数字较为清晰。小牛顿尽了一切努力，
最后 终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、
8、9全部10个数字，一样一个。如果 这是一种从0到9这
10个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的都是哪些数
字吗？
由于被墨水盖住的是10个数字，所以原式应为：

2 8 ？
+？？4
────—
？？？？
我们可以把这个算式写成：
28A
+CB4
────—
GFED
其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9
中的某一个。
我们 先考虑千位上的G。两个三位数相加，和是四位数，
由于两个百位上的数相加，和最多向千位进1，所以 ，G只
能是1，这时，算式就成了：
28A
+CB4
────
1FED

再看百位上的C和F。如果要保证向千位进1，C不能
小于7，即C只可能是7或9中的一个。设C=9，那么如果

十位不进位到百位，F= 1；如果十位进位到百位，F=2。这都
和已知的数字重复。所以C≠9。
所以C=7，F=0。即
28A
+7B4
────
10ED
这时，B可能是3、5、6、7中的某一个。如果B=3，那
么应有E=1或2，但这不可能；
如果B=5，那么E=3，但6+4≠9，9+4≠6；如果B=6，那么
E=5，这时令A= 9，则有D=3。
整理出来就是：A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F=0，G=1。
于是，小牛顿的算式应为：
289
+764
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1053

二、问路问题
有这样一个故事：在太平洋中有AB两 个相邻的小岛。A
岛居民都是诚实的人，B岛的居民都是骗子。当你问一个问
题时，A岛的居民 会告诉你正确的答案，而B岛的居民给你

的答案都是错误的。一天，一个旅游者独自登上 了两岛中的
某个岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛
上的人既有本岛的居民又 有另一岛的来客。他想问岛上的人
“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正
确 。旅游者动脑筋想了会一儿，终于想出一个办法，他只需
要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的 回答中准确
无误地断定这里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗？
如果旅游者直接问 “这是A岛还是B岛？”那么当被问
者是A岛人时，他会得到正确的回答；当被问者是B岛人时，
他会得到错误的回答。两种回答截然相反，而旅游者又无法
知道他得到的答案对不对，因此这样问话达 不到问路的目的。
聪明的旅游者的问话是，“你是这个岛的居民吗？”如果对
方回答“是”，那 么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不
是”，那么这个岛一定是B岛。你能说出这是为什么吗？ 下面我们就对上面的问题进行分析：我们知道，旅游者
提出问题时并不知道提问地是何岛，也不知道 被问者是何岛
居民。他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。因
此，所提问题的答案必 须是因提问地而异，而不由被问者是
A岛居民或是B岛居民发生变化。
根据上述特点，我们设法找到这样的问题：
1、使得在A岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都
回答同样的一种答案；

2、在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。
于是，我们就可以根据任一人 的回答来判断提问地为何
岛了。显然，这样的问题必须与提问地相关，并且还要与被
问者有关， 如果在A岛提出这样的问题时，A岛居民应作肯
定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实 际
相反），那么在B岛提出同一问题时，A岛居民应作否定回答
（B岛居民也会做否定回答，但 回答与实际情况相反）。
“你是这个岛的居民吗？”这一问题就是一个满足以上
要求的问题， 我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被
问者对问题的相应回答。
问题：你是这个岛的居民吗？
被问者
问话地
A岛居民
回答
A岛
B岛
是
不是
是
不是
B岛居民 < br>由上表可以一目了然地发现：在A岛提问时，回答总为
“是”；在B岛提问时，回答总为“不是” 。这就为旅游者
判断提问地是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”得以解
决。
请想 一想，如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上
的居民吗？”，那么能根据任一人的回答来判断提问地 是何

岛吗？为什么？试通过列表的方式说明理由。
数学中有个分支叫做数理逻 辑，它通过数学方法来研究
逻辑规律。在数理逻辑中，列表法是一种基本的研究方法，
只是其中 表的形式与本文中的表有许多不同，使用了一些有
关命题、真值的抽象符号，但其基本思想与我们用表讨 论问
题的思想是大体一致的，都是通过列表来分析和说明问题。
数学是以逻辑推理为重要研究 方法的学科。所谓逻辑推
理，就是合乎事理的、有根有据的推导判断。上面的两个问
题正是运用 到逻辑推理的问题，同学们应在数学学习中注意
提高自己的逻辑推理能力，使自己勤于思考并且善于思考 ，
成为聪明人。

九宫图的应用
班级：六年级 教师：张桐生
一、数学故事：任意写一个三位数
做几次简单运算，可以发现一个小 小规律。任意写一个
三位数，例如135。把它的数字倒过来写，成为531。用其
中较大的减 去较小的，得到
531-135=396。
换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到
876-678=198， 995-599=396， 963-369=594。
以上4个式子里得到的差，有一个明显 的共同点：差的
中间一位数字都是9。再仔细看看，还发现一个共同点：差
的首、尾两位数字的 和等于9。这样，通过观察和归纳，就
发现了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数
颠倒相减的例子，来验证上面得到的规律，结果大部分都完
全符合，只有两种例外情形。
第一种例外，如594-495=99，差是两位数99，不是三
位数。
第二种例外，如323-323=0，这时的差是0。
由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补
充：
第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；
第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。

在其他情形下，差都是三位数。
这样一来，规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去，
在纸上任意写三位数，然后颠倒相减， 只要把差的末位数字
告诉你，就能猜出差是多少。无论哪种情形，只要掌握规律，
总能应答如流 ，一猜就准。
二、九宫图的应用
（一）历史
古老而悠久的中华文化的宝殿中，有两颗璀璨夺目的明
珠--河图洛书，至今吸引着众多学者的研究热情 ，人们为河
图洛书的神话般的传说，高深的奥义，丰富的内容，简洁的
形式万分惊讶，对河图洛 书与中国的思想文化、社会科学、
自然科学的密切联系更是迷惑不解。种种论述表明，河图洛
书 是中华文化的总源头，对中国及世界文化的发展，都有过
深刻的影响。然而，令我们每个人吃惊和迷惑不 解的是，河
图洛书只是两个简单的数字图。
（二）龙马载河图，神龟背洛书
河图 洛书是我们祖先创造出来的，翻遍祖国的各种古典
著作，我们根本找不到这位创始人。河图洛书的产生， 至少
要追溯到四千五百多年以前，那时，人类尚处于无文字时代，
人类的认识水平还十分低，很 难想象那时就有人能够制造出
如此高深莫测的图书。在我国各种古籍中，对河图洛书的起
源，仅 有两个龙马载河图，神龟背洛书的传说。

1、龙马载河图
相传远古时期的 孟津河边，一天河水忽然
大涨，波浪滔天，水中有一巨兽，似龙非龙，
似马非马，浪里飞腾。当 时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告，
立即去河边观看，只见河中洪涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如
登平地，大体象马却身有鱼鳞，高八九尺，有两翼，形体象
骆驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人 走近河边，将
图案记录下来，刚刚记下，怪兽即没而不见。后伏羲皇帝认
真研究了这副图发现它 正是由十种花点组成，这十种花点代
表1-10这10个数，两种花点构成一组，布局在东西南北中五个位置上，每组花点所表示的数，其差均是5.这种和谐统
一，四方对称的特征，黄帝越研究越感 到奇妙无比，后来他
就依此画八卦，建甲历，定时辰，治理国家。由于此幅图是
在孟津河中发现 的，故称此图为河图。
2、神龟背洛书
公元前23世纪，大禹治水的时候，在黄河支流洛 水中，
有一天突然浮规出一个大乌龟，当时，大禹与治水士兵正在
河边现察洛河水情，商议治理 黄河大计，遇到乌龟在河里上
下翻腾就十分奇怪，只见此龟行走水面，游来游去，其身形
庞大， 甲背平圆。近处仔细观看，发现甲上载有9种花点的
图案，大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来， 带回去
作了深入的研究，他惊奇地发现，9种花点数正好是1-9这

9个数，各 数的位置排列也相当奇巧，纵横六线及两条对角
线上三数之和都为15，既均衡对称，又深奥有趣，在奇 偶数
的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。大禹受到启发，他
参照九数而划分天下雨九别，并 且把一般政事也区分为九奥。
据《史记．夏本纪》写道：夏禹治水时，“左准通、右规矩，
载四 时，以开九州，通九道，陂九泽……”大禹治水以九宫
为据，应用到测量、气象、地理与交通运输之中， 从而治理
黄河，大获成功，受到黄河两岸人们的拥戴。由于神龟所背
图是在黄河支流洛水中发现 ，且图中内容如书一样深奥，故
人们称此为洛书。
（三）应用：如何分班？
为师各 班成绩均匀，我们给先学生排序，然后按照一定
的规律将学生分组。如分3个班，将学生排序后，按照图 1
的行（或列）从上到下一次编号132321213为一组，向下重
复。所有编号为1的一个 班，编号为2的一个班，编号为3
的一个班。如分4个班则按图2处理；5个班按图3处理；6
个班按图4处理。

1 3 2
3 2 1
2 1 3
1 4 3 2
3 2 1 4
2 3 4 1
4 1 2 3
图1 图2

3 1 6 5 2 4
1 3 4 5 2

2 4 5 1 3

5 2 3 4 1

3 5 1 2 4

4 1 2 3 5

图3

作业：按照示例4图，请与同学合作，编制一张分
班的分班表。











6 2 5 3 4 1
5 4 1 2 3 6
1 6 3 4 5 2
4 5 2 1 6 3
2 3 4 6 1 5

图4
7个

鸡兔同笼问题
班级：六年级 教师：张桐生
鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约
在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有 趣的问题。书
中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九
十四足，问雉兔各几何 ？”这四句话的意思是：有若干只鸡
兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有
94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
第一类：列表举例法。
方法1：根据鸡和兔共20只的 条件，假设鸡只有1只，
那么兔有19只，腿共有78条……在这样的逐一举例中，直
至寻求到 所求的答案。

方法2：先作一些分析，比较后再试。

方法3：先假设鸡和兔各占一半，再列表。

60>54，说明兔子多了，应减少兔子的只数。
上面三种方法中，第一张表格是常规的逐一 列举法，即
根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有
19只，腿共有78条； 假设鸡有2只，那么兔就有18只，腿
共有76条。。。，再这样的逐一举例中，直至找到所求的答案。
第二类：作图分析法。
方法1：先画20个圆圈表示20个头。再为每个动物画
两条 腿，20只动物只用完40条腿，还多出了14条腿。把剩
下的14条腿用完，要给其中的7只动物加2 条腿，这7只
就是兔子，另外的13只就是鸡。
方法2：先画20个头，接着假设全部是兔， 共画80条
腿，多出了26条腿，要给其中的13只动物去掉2条腿，这
13只就是鸡，另外的 7只就是兔了。

第三类：方程解答法。
解法1：设其中有X只兔，有Y只鸡 。列式为：X＋Y＝
20，4X+2Y=54。最后算出X=7，Y=13。
解法2：设其中有X只兔，有（20－X）只鸡。列式为：
2X+4x（20－X）=54,最 后算出X＝7，得出兔的只数是7只，
那么20－X＝13就是鸡的只数。
第四类：假设推理法。
方法1： 假设这20只全部是兔子，那么就应该有80条
腿，而题目只告诉我们 有54条腿，我们算的8 0与实际
相比多算了26条腿，这是为什么呢？因为一只鸡是两条腿，
而我们把它当成四条腿算 了，如果用一只鸡来换一只兔，就
要减少2条腿，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然26
÷2＝13(只），所以鸡有13只，兔子有7只。可以列式为：
（20X4-54)÷(4-2)=1 3（只），20-13=7(只）。
方法2：假设这20只全部是鸡，那么就应该有40条腿，
比实际少了14条腿，是因为每只兔子少算了2条腿，这样
共有兔子是7只，鸡则是13只。列式如下 ：（54-20x4)÷(4
－2）=13(只），20－13＝7（只）。
解决鸡兔同笼问 题通常使用假设法，可以假设所有的动
物都是兔子，并求出在假设情况下的总腿数，再把实际的腿
数和假设情况下的腿数相比较，看看多出了多少，每多2只
腿说明有一只鸡，将多出的腿数除以2就算 出共有多少只鸡。

也可以假设全部是兔子来解。
方法3：把一只鸡和一只 兔看做一个整体，一个整体中
就有（4＋2=6）条腿，54条腿应该是几个这样的整体呢？54
÷6＝9(个），在9个这样的整体里兔子的只数应该不是9只，
因为9只兔和11只鸡的腿的条数超 过了总条数54。那么就
把兔看成8只，还是偏大，最后把兔的只数看成7只，鸡是
13只，腿 的总条数就正好是54了。列式为：4＋2＝6（只），
54÷6＝9(个），9－1＝8（只），9－ 2＝7（只），20－7＝13
（只），7X4＝28（条），13X2＝26（条）28+26=54 (条）
第五类：“金鸡独立”法
此方法是：每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来”。显然，在这种情况下，总脚数出现了一半，是
27，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等 的，兔子的脚数是兔
子的头数的2倍。所以，从27中减去总的头数20得7，就
是兔子的头数 。当然，20-7=13，鸡就是13只了。
鸡兔同笼问题早在我国古代数学名著《孙子算经》中就< br>出现过，社会发展到今天，鸡和兔同装一笼的此类事件应该
不多见了。但学生可以借助“鸡兔同笼 ”这个载体经历尝试、
创新的过程， 让学生感受到数学思想的运用与解决实际问
题的联系，体会到数学的价值。
作业：设计一个算法，输入鸡兔的头和脚数，输出鸡和
兔的数量。

抽屉原理的简单应用
班级：六年级 教师：张桐生
“任意367个人中，必有生日相同的人。”
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一
双手套。”
“从数1，2，…，10中任取6个数，其中至少有2个数
为奇偶性不同。”……
大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据
什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。抽屉 原理又称
鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特
殊方法。它的内容可以用形 象的语言表述为：“把m个东西
任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放
进了至少2个东西。”举个最简单的例子，把3个苹果按任
意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽 屉里放有两个
或两个以上的苹果。这是因为如果每一个抽屉里最多放有一
个苹果，那么两个抽屉 里最多只放有两个苹果。运用同样的
推理可以得到：
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有
一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有
一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
下面我们用抽屉原理来分析前面的例子：第一个结论中，

由于一年最多有3 66天，因此在367人中至少有2人出生在
同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至 少有
2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双
手套分别编号，即号码为1，2 ，…，5的手套各有两只，同
号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，
因此其 中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入
5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
例：利用上述原理证明：“任意7个整数中，至少有3
个数的两两之差是3的倍数。”
分析：因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可
能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得 余数相同，即
它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另 一
种表述：“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自
然数），那么一定有一个抽屉中放 进了无限多个东西。”
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中
有重要的作用。 许多有关存在性的证明都可用它来解决。
一、抽屉原理和六人集会问题
1958年67月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：
“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此
相识，或者有三个人以前彼此不相识。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

在平面上用6个点A、B 、C、D、E、F分别代表参加集
会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他
们 的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其
余各点间的5条连线AB，AC，...，AF ，它们的颜色不超过
2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设
AB，AC，A D同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不
妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即 一个红色三角形，
A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条
连线全为 蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、
D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发 生，都符
合问题的结论。

图1

六人集会问题是组合数学中著 名的拉姆塞定理的一个
最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一
些深入的结论 。这些结论构成了组合数学中的重要内容
-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次

看到了抽屉原理的应用。
二、抽屉原理与“电脑算命”
“电脑 算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、
月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、 命运
的句子，据说这就是你的“命”。
其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上
的抽屉原理很容易说明它的荒谬。
如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同
组合数应为70×365×2＝51100，我们 把它作为“抽屉”数。
我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1×
=215 26×51100+21400，根据原理2，存在21526个以上
的人，尽管他们的出身、经历、天 资、机遇各不相同，但他
们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！
在我国古代，早就有 人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字
之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道：“余最不
信 星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）
生一人，一日生十二人，以岁计之则有四千三百 二十人，以
一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而
已，今只以一大郡计，其 户口之数已不下数十万人（如咸丰
十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人以
至 小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大
人始生之时，必有庶民同时而生者，又何贵贱贫 富之不同

也？”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，
得到的 抽屉数为60×360×12＝259200。
所谓“电脑算命”，不过是把人为编好的算命语句像中
药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即
根据出生的年月、日、性别的不同的 组合按不同的编码机械
地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。这种在古
代迷信的亡灵 上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。