陕西工业职业技术学院专业-周冬雨高考成绩

《高等数学（二）》期末复习题
一、选择题
1、若向量
b
与向量
a(2,1,2)
平行，且满足
ab18
，则
b
（ ）
（A）
(4,2,4)
（B）
(2，4,4)

（C）
(4,2,4)
（D）
(4,4,2)
.
2、在空间直角坐标系中，方程组


x
2
y
2
z0

z1
代表的 图形为 ( )
（A）直线 (B) 抛物线 （C） 圆 (D)圆柱面
3、设
I

(x
2
y
2
)dxdy
，其中区域
D
由
x
2
y
2
a
2
所围成，则
I
（
D
(A)

2

a2

a
0
d


a
2
rdr

a
4
(B)

d


0
a
2
adr2
a
4
00

(C)

2
< br>a
r
2
dr
2
3

a
3
(D)

2

a
1
0
d

< br>00
d


0
r
2
rdr
2
a
4

4、 设
L为：x1,0y
3
2
的弧段
，则

L
6ds
（ ）

（A）9 (B) 6 （C）3 (D)
3
2


5、级数

(1)
n
1
n
n
的敛散性为 （ ）
1
（A） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 n
6、二重积分定义式

f(x,y)d

limf(
i
,

i
)

i
中的

代表的是（ ）
D

0
i

1
（A）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对
7、设
f(x,y)
为连续函数，则二次积分

11x
0
dx

0
f(x,y)dy
等于 ( )
（A）

1
y

1x
x
(B)

11y
0
d
0
f(x,y)d
0dy

0
f(x,y)dx

(C)

1x
0
dy

1
0
f(x,y)dx
(D)

11
0
dy

0
f(x,y)dx

8、方程
2zx
2
y
2
表示的二次曲面是 ( )
（A）抛物面 （B）柱面 （C）圆锥面 （D） 椭球面
9、二元函数
zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
可微是其在该点偏导数存在的（ ）.
（A） 必要条件 （B） 充分条件 （C） 充要条件 （D） 无关条件
）

10、设平面曲线L为下半圆周
y1x
2
,
则曲线积分

L
(x
2
y
2)ds
( )
(A)
0
(B)
2

(C)

(D)
4


11、若级数

a
n1
n

n
收敛，则下列结论错误的是 （ ）
(A)

2a
n1

收敛 (B)

(a
n1

n
2)
收敛 (C)
n100

a

n
收敛 (D)

3a
n1

n
收敛
12、二重积分的值与 （ ）
（A）函数f及变量x,y有关； (B) 区域D及变量x,y无关；
（C）函数f及区域D有关； (D) 函数f无关，区域D有关。
13、已知
ab
且
a(1,2,1),b(x,4,2),
则x = ( )
（A） -2 （B） 2 （C） -3 （D）3



z
2
x
2
y< br>2
14、在空间直角坐标系中，方程组

代表的图形为( )
y1

（A）抛物线 (B) 双曲线 （C）圆 (D) 直线
15、设
zarctan(xy)
，则
z
= （ ）
y
11
1
sec
2
(xy)
(A) (B) （C） (D)
2
1(xy)
2
1(xy )
2
1(xy)
2
1(xy)
16、二重积分
（A ）
(C)

1
0
dy

x
0
1
y
2
f(x,y)dx
交换积分次序为 ( )
y< br>2
0

1
0
dx

f(x,y)dy
(B)

1
0
dx

f(x,y)dy

0x
2
0
1

1
0
dx

f( x,y)dy
(D)

dx

0
1
f(x,y)dy

17 、若已知级数

u
n1

n
收敛，
S
n
是它的前
n
项之和，则此级数的和是（ ）
（A）
S
n
(B)
u
n
(C)
limS
n
(D)
limu
n

nn
18、设
L
为圆周：< br>xy16
，则曲线积分
I
22

L
2xyds
的值为（ ）
（A）
1
(B) 2 （C）
1
(D)

0


二、填空题
1、
lim
x0
y0
xy
1 xy1


2、二元函数
zsin(2x3y)
，则
z


x
3、积分
I
2
xy4

e
2
x
2
y
2
d

的值为

4、若
a,b
为互相垂直的单位向量， 则
ab
5、交换积分次序




1
0
dx

x
2
0
f(x,y)dy

6、级数

(
n 1

11

n
)
的和是
n
23
7、
lim
y0
24xy


x0
xy
z


y
8、二元函数
zsin(2x3y)
，则
1
9、 设
f(x,y)
连续，交换积分次序
10、设曲线
L
：
x ya

222

，则

(2sinx3ycosx) ds

0x
L
dx

2
f(x,y)dy

x
11、若级数

(u
n1
n
1)
收 敛，则
limu
n


n
22
12、若
f(xy,xy)xy
则
f(x,y)

13、
lim
y0
11xy


x0
xy

14、已知
ab
且
a(1,1,3),b(0,x,1),
则x =
1 5、设
zln(x
3
y
3
),
则
dz
(1,1)


16、设
f(x,y )
连续，交换积分次序



1
0
dy

y
y
2
f(x,y)dx

17、
级数

u
n
s,则级数

(u< br>n
u
n1
)的和是

n1n1
2
18、设
L
为圆周：
xyR
，则曲线 积分
I

三、解答题
22

L
xsinyds
的值为
1、（本题满分12分）求曲面
ze2xy3
在点
(1,2,0)
处 的切平面方程。
z

2、（本题满分12分）计算二重积分

e
D
x
y
dxdy
，其中
D
由
y
轴及开口向右的抛物线
y
2
x
和直线
y1
围成的平面区域。
3、（ 本题满分12分）求函数
uln(2x3y4z)
的全微分
du
。 < br>2

x
2
y
,(x,y)(0,0)

4 2
4、（本题满分12分）证明：函数
f(x,y)

xy
在点 （0，0）的两个偏导数存在，但函数
f(x,y)

0,(x,y)(0,0)< br>
在点（0，0）处不连续。
5、（本题满分10分）用比较法判别级数
< br>(
n1
2

n
n
)
的敛散性。
2n1
6、（本题满分12分）求球面
xyz14
在点
(1,2,3 )
处的法线方程。
7、（本题满分12分）计算
I
22

(x
D
2
y
2
)dxdy
，其中
D {(x,y)1x
2
y
2
4}
。

x t

8、（本题满分12分）力
F

x,y,x
的作用下，质点从
(0,0,0)
点沿
L

y2t
移至

2

zt
(1,2,1)
点，求力
F
所做的功
W
。
9、（本题满分12分）计算函数
uxsin(yz)
的全微分。
10、（本题满分10分）求级数
1
的和。

n1
n( n1)
222

11、（本题满分12分）求球面
xyz14
在点
(1,2,3)
处的切平面方程。
（xxyy）
12、（本题满 分12分）设
zln
,求
x
22
zz
y
。
xy
22
(1xy)dxdy
，其中
D
是由
yx
，
y0
，
x
2
y
2
 1
13、（本题满分12分）求

D
在第一象限内所围成的区域。 
x0




4
14、（本题满分12 分）一质点沿曲线

yt
从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程 中，力
F1xiyjk

zt
2

所作的功W
。
15、（本题满分10分）判别级数
1
nsin
的敛散性。

n
n1


《高等数学（二）》期末复习题答案
一、选择题1、A 2、C 3、D 4、A 5、B 6、D 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B
12、C 13、B 14、B 15、B 16、A 17、C 18、D
4
二、填空题1、 2 ；2、
2cos(2x3y)
；3、

(e1)
； 4、 0 ；5、

dy

11
y0
f(x,y)dx
；
6、

7、

3
2
1y
1
； 8、
3cos(2x3y)
；9、

dy

10、 0 ；11、 -1 ； 12、
xy
13、
f(x,y)dx
；
0y
4
1
33

； 14、 3 ；15、
dxdy
；
2
22

16、

1
0
dx

x
x
f(x,y)dy
；17、
2Su
1
；18、 0
z
三、解答题1、（本题满分12分）解：设< br>F(x,y,z)ze2xy3


则
F
x
2y
，
F
y
2x
，
F
z
1e
对应的切平面法向量
z
n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,0)

代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：
4(x1)2(y2)0(z0)0
或
2xy40

2、（本题满分12分）

1

y
y
2

1
y
y

解 ：

edxdy

dy

edx




ye

dy



(yey)dy


yee


0
0
00
2
2


0D

0
u2u3u8z

3、（本题满分12分） 解：因为 ， ，
x2x3y4z
2
y2x3y4z
2
z2x3y4z
2

1y
2
x
y
x
y
1
x
y
y
2
1

du
uuu238z
dxdydz
所以
dudxdydz

xyz2x3y4z
2< br>2x3y4z
2
2x3y4z
2
x0
4、（本题 满分12分）解：
f
x
(0,0)lim
f(0x,0)f(0,0 )0
lim0
同理
f
y
(0,0)0

x0
xx
x
2
kx
2
k

所以函数在（0，0 ）点两个偏导数存在。

lim
2
f(x,y)
lim
4

2
x0
xk
2
x
4
ykx
1k< br>x0
limf(x,y)
不存在 因此函数在（0，0）点不连续
x0
y0


n
n
n
n
1< br>n
1
)()()
，而

()
n
是收敛的等比级数


原5、（本题满分10分）解：

(
2n12n2
n1
2
级数收敛


222
6、（本题满分12分）解：设
F(x,y,z)xyz14
则
F
x
2x
，
F
y
2y
，
F
z
2z


对应的法向量 < br>n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,3)
代入
(1,2,3)
可得法向量：（2，4，6）

则法线方程：
x1y2z3


123
7、（本题满分12分）解：
I

0
2

d



1

2
2


d


2
15
1
4
2





2
41
8、（本题满分12分）
W
9、（本题满分12分）

Fds


xdxy dyxdz

L

L

1
0
tdt4 tdt2t
2
dt

(2t
2
3t)dt


0
1
5

6


u

x
sinyz
，
u
y
xzc osyz

u
z
xycosyz


duu

x
dxu
y
dyu
z
dz

sin(yz)dxxzcos(yz)dyxycos(yz)dz

10、（本题满分10分）
解：
111


n(n1)nn1
S
n

111
111111
...
)

1

(1)()...(

122 3n(n1)
223nn1n1

1
1
limS
n
lim(1)1
所以级数

的和为1
nn
n(n1)
n1
n1


22 2
11、（本题满分12分）解：设
F(x,y,z)xyz14
则
F
x
2x
，
F
y
2y
，
F
z
2z


对应的切平面法向量 n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,3)< br> 代入
(1,2,3)
可得法向量：（2，4，6）
则切平面方程：
2(x1)4(y2)6(z3)0
或
x2y3z140

12、（本题满分12分）
z2xyzx2y
zz2x
2
xyxy2y
2

2
；
2
解：因为 所以
xy2

22
22
x
xxyy
y
xxyy
x y
xxyy

x

cos



D(

,

)0



< br>y

sin

4


13、（本题满分1 2分）解：令，则
1
2
4
(1xy)dxdyd

( 1

)

d




0 0
16

D
2 2

,0


1

，所以

14、（本题满分12分）
W

Fds
L



L
1x
4
dxydyd

z

(t2t)dt

0
1



1
0
tdt


1

2
15、（本题满分10分）解： 设
u
n
nsin
1
于是
limu
n
lim
nn
1
n
n
sin
1

n
10
故
u
发散。

n
n1

《高等数学（二）》期末复习题
一、选择题
1、若向量
b
与向量
a(2,1,2)
平 行，且满足
ab18
，则
b
（ ）
（A）
(4,2,4)
（B）
(2，4,4)

（C）
(4,2,4)
（D）
(4,4,2)
.
2、在空间直角坐标系中，方程组


x
2
y
2
z0

z1
代表的 图形为 ( )
（A）直线 (B) 抛物线 （C） 圆 (D)圆柱面
3、设
I

(x
2
y
2
)dxdy
，其中区域
D
由
x
2
y
2
a
2
所围成，则
I
（
D
(A)

2

a2

a
0
d


a
2
rdr

a
4
(B)

d


0
a
2
adr2
a
4
00

(C)

2
< br>a
r
2
dr
2
3

a
3
(D)

2

a
1
0
d

< br>00
d


0
r
2
rdr
2
a
4

4、 设
L为：x1,0y
3
2
的弧段
，则

L
6ds
（ ）

（A）9 (B) 6 （C）3 (D)
3
2


5、级数

(1)
n
1
n
n
的敛散性为 （ ）
1
（A） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 n
6、二重积分定义式

f(x,y)d

limf(
i
,

i
)

i
中的

代表的是（ ）
D

0
i

1
（A）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对
7、设
f(x,y)
为连续函数，则二次积分

11x
0
dx

0
f(x,y)dy
等于 ( )
（A）

1
y

1x
x
(B)

11y
0
d
0
f(x,y)d
0dy

0
f(x,y)dx

(C)

1x
0
dy

1
0
f(x,y)dx
(D)

11
0
dy

0
f(x,y)dx

8、方程
2zx
2
y
2
表示的二次曲面是 ( )
（A）抛物面 （B）柱面 （C）圆锥面 （D） 椭球面
9、二元函数
zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
可微是其在该点偏导数存在的（ ）.
（A） 必要条件 （B） 充分条件 （C） 充要条件 （D） 无关条件
）

10、设平面曲线L为下半圆周
y1x
2
,
则曲线积分

L
(x
2
y
2)ds
( )
(A)
0
(B)
2

(C)

(D)
4


11、若级数

a
n1
n

n
收敛，则下列结论错误的是 （ ）
(A)

2a
n1

收敛 (B)

(a
n1

n
2)
收敛 (C)
n100

a

n
收敛 (D)

3a
n1

n
收敛
12、二重积分的值与 （ ）
（A）函数f及变量x,y有关； (B) 区域D及变量x,y无关；
（C）函数f及区域D有关； (D) 函数f无关，区域D有关。
13、已知
ab
且
a(1,2,1),b(x,4,2),
则x = ( )
（A） -2 （B） 2 （C） -3 （D）3



z
2
x
2
y< br>2
14、在空间直角坐标系中，方程组

代表的图形为( )
y1

（A）抛物线 (B) 双曲线 （C）圆 (D) 直线
15、设
zarctan(xy)
，则
z
= （ ）
y
11
1
sec
2
(xy)
(A) (B) （C） (D)
2
1(xy)
2
1(xy )
2
1(xy)
2
1(xy)
16、二重积分
（A ）
(C)

1
0
dy

x
0
1
y
2
f(x,y)dx
交换积分次序为 ( )
y< br>2
0

1
0
dx

f(x,y)dy
(B)

1
0
dx

f(x,y)dy

0x
2
0
1

1
0
dx

f( x,y)dy
(D)

dx

0
1
f(x,y)dy

17 、若已知级数

u
n1

n
收敛，
S
n
是它的前
n
项之和，则此级数的和是（ ）
（A）
S
n
(B)
u
n
(C)
limS
n
(D)
limu
n

nn
18、设
L
为圆周：< br>xy16
，则曲线积分
I
22

L
2xyds
的值为（ ）
（A）
1
(B) 2 （C）
1
(D)

0


二、填空题
1、
lim
x0
y0
xy
1 xy1


2、二元函数
zsin(2x3y)
，则
z


x
3、积分
I
2
xy4

e
2
x
2
y
2
d

的值为

4、若
a,b
为互相垂直的单位向量， 则
ab
5、交换积分次序




1
0
dx

x
2
0
f(x,y)dy

6、级数

(
n 1

11

n
)
的和是
n
23
7、
lim
y0
24xy


x0
xy
z


y
8、二元函数
zsin(2x3y)
，则
1
9、 设
f(x,y)
连续，交换积分次序
10、设曲线
L
：
x ya

222

，则

(2sinx3ycosx) ds

0x
L
dx

2
f(x,y)dy

x
11、若级数

(u
n1
n
1)
收 敛，则
limu
n


n
22
12、若
f(xy,xy)xy
则
f(x,y)

13、
lim
y0
11xy


x0
xy

14、已知
ab
且
a(1,1,3),b(0,x,1),
则x =
1 5、设
zln(x
3
y
3
),
则
dz
(1,1)


16、设
f(x,y )
连续，交换积分次序



1
0
dy

y
y
2
f(x,y)dx

17、
级数

u
n
s,则级数

(u< br>n
u
n1
)的和是

n1n1
2
18、设
L
为圆周：
xyR
，则曲线 积分
I

三、解答题
22

L
xsinyds
的值为
1、（本题满分12分）求曲面
ze2xy3
在点
(1,2,0)
处 的切平面方程。
z

2、（本题满分12分）计算二重积分

e
D
x
y
dxdy
，其中
D
由
y
轴及开口向右的抛物线
y
2
x
和直线
y1
围成的平面区域。
3、（ 本题满分12分）求函数
uln(2x3y4z)
的全微分
du
。 < br>2

x
2
y
,(x,y)(0,0)

4 2
4、（本题满分12分）证明：函数
f(x,y)

xy
在点 （0，0）的两个偏导数存在，但函数
f(x,y)

0,(x,y)(0,0)< br>
在点（0，0）处不连续。
5、（本题满分10分）用比较法判别级数
< br>(
n1
2

n
n
)
的敛散性。
2n1
6、（本题满分12分）求球面
xyz14
在点
(1,2,3 )
处的法线方程。
7、（本题满分12分）计算
I
22

(x
D
2
y
2
)dxdy
，其中
D {(x,y)1x
2
y
2
4}
。

x t

8、（本题满分12分）力
F

x,y,x
的作用下，质点从
(0,0,0)
点沿
L

y2t
移至

2

zt
(1,2,1)
点，求力
F
所做的功
W
。
9、（本题满分12分）计算函数
uxsin(yz)
的全微分。
10、（本题满分10分）求级数
1
的和。

n1
n( n1)
222

11、（本题满分12分）求球面
xyz14
在点
(1,2,3)
处的切平面方程。
（xxyy）
12、（本题满 分12分）设
zln
,求
x
22
zz
y
。
xy
22
(1xy)dxdy
，其中
D
是由
yx
，
y0
，
x
2
y
2
 1
13、（本题满分12分）求

D
在第一象限内所围成的区域。 
x0




4
14、（本题满分12 分）一质点沿曲线

yt
从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程 中，力
F1xiyjk

zt
2

所作的功W
。
15、（本题满分10分）判别级数
1
nsin
的敛散性。

n
n1


《高等数学（二）》期末复习题答案
一、选择题1、A 2、C 3、D 4、A 5、B 6、D 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B
12、C 13、B 14、B 15、B 16、A 17、C 18、D
4
二、填空题1、 2 ；2、
2cos(2x3y)
；3、

(e1)
； 4、 0 ；5、

dy

11
y0
f(x,y)dx
；
6、

7、

3
2
1y
1
； 8、
3cos(2x3y)
；9、

dy

10、 0 ；11、 -1 ； 12、
xy
13、
f(x,y)dx
；
0y
4
1
33

； 14、 3 ；15、
dxdy
；
2
22

16、

1
0
dx

x
x
f(x,y)dy
；17、
2Su
1
；18、 0
z
三、解答题1、（本题满分12分）解：设< br>F(x,y,z)ze2xy3


则
F
x
2y
，
F
y
2x
，
F
z
1e
对应的切平面法向量
z
n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,0)

代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：
4(x1)2(y2)0(z0)0
或
2xy40

2、（本题满分12分）

1

y
y
2

1
y
y

解 ：

edxdy

dy

edx




ye

dy



(yey)dy


yee


0
0
00
2
2


0D

0
u2u3u8z

3、（本题满分12分） 解：因为 ， ，
x2x3y4z
2
y2x3y4z
2
z2x3y4z
2

1y
2
x
y
x
y
1
x
y
y
2
1

du
uuu238z
dxdydz
所以
dudxdydz

xyz2x3y4z
2< br>2x3y4z
2
2x3y4z
2
x0
4、（本题 满分12分）解：
f
x
(0,0)lim
f(0x,0)f(0,0 )0
lim0
同理
f
y
(0,0)0

x0
xx
x
2
kx
2
k

所以函数在（0，0 ）点两个偏导数存在。

lim
2
f(x,y)
lim
4

2
x0
xk
2
x
4
ykx
1k< br>x0
limf(x,y)
不存在 因此函数在（0，0）点不连续
x0
y0


n
n
n
n
1< br>n
1
)()()
，而

()
n
是收敛的等比级数


原5、（本题满分10分）解：

(
2n12n2
n1
2
级数收敛


222
6、（本题满分12分）解：设
F(x,y,z)xyz14
则
F
x
2x
，
F
y
2y
，
F
z
2z


对应的法向量 < br>n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,3)
代入
(1,2,3)
可得法向量：（2，4，6）

则法线方程：
x1y2z3


123
7、（本题满分12分）解：
I

0
2

d



1

2
2


d


2
15
1
4
2





2
41
8、（本题满分12分）
W
9、（本题满分12分）

Fds


xdxy dyxdz

L

L

1
0
tdt4 tdt2t
2
dt

(2t
2
3t)dt


0
1
5

6


u

x
sinyz
，
u
y
xzc osyz

u
z
xycosyz


duu

x
dxu
y
dyu
z
dz

sin(yz)dxxzcos(yz)dyxycos(yz)dz

10、（本题满分10分）
解：
111


n(n1)nn1
S
n

111
111111
...
)

1

(1)()...(

122 3n(n1)
223nn1n1

1
1
limS
n
lim(1)1
所以级数

的和为1
nn
n(n1)
n1
n1


22 2
11、（本题满分12分）解：设
F(x,y,z)xyz14
则
F
x
2x
，
F
y
2y
，
F
z
2z


对应的切平面法向量 n(F
x
,F
y
,F
z
)
(1,2,3)< br> 代入
(1,2,3)
可得法向量：（2，4，6）
则切平面方程：
2(x1)4(y2)6(z3)0
或
x2y3z140

12、（本题满分12分）
z2xyzx2y
zz2x
2
xyxy2y
2

2
；
2
解：因为 所以
xy2

22
22
x
xxyy
y
xxyy
x y
xxyy

x

cos



D(

,

)0



< br>y

sin

4


13、（本题满分1 2分）解：令，则
1
2
4
(1xy)dxdyd

( 1

)

d




0 0
16

D
2 2

,0


1

，所以

14、（本题满分12分）
W

Fds
L



L
1x
4
dxydyd

z

(t2t)dt

0
1



1
0
tdt


1

2
15、（本题满分10分）解： 设
u
n
nsin
1
于是
limu
n
lim
nn
1
n
n
sin
1

n
10
故
u
发散。

n
n1