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江苏省南京市联合体2019届九年级上学期期末模拟考试
数学试题
一．选择题（共6小题，满分12分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）

A．
x
2
﹣5
x
＝0

B．
x
+1＝0

C．
y
﹣2
x
＝0

D．2
x
3
﹣2＝0

2．函数
y
＝x
2
+2
x
﹣4的顶点所在象限为（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．某居民今年1至6月份（共6个月）的月平均用水量5
t
，其中1至5月份月用水量（单位：
t
）统
计如图所示，根据表中信息，该户 今年1至6月份用水量的中位数和众数分别是（ ）


A．4，5

B．4.5，6

C．5，6

D．5.5，6

4．如图，半径为5的⊙
A
中，弦
BC
，
ED
所对的圆心角 分别是∠
BAC
，∠
EAD
，若
DE
＝6，∠
BA C
+∠
EAD
＝180°，则弦
BC
的长等于（ ）


A．8

B．10

C．11

D．12

5．在平面直角坐标系中，点
P
（
m
，
n
）是线段
AB
上一点，以原点
O
为位似中心把△
AOB
放大到原来的
两倍，则点
P
的对应点的坐标为（ ）

A．（2
m
，2
n
）

B．（2
m，2
n
）或（﹣2
m
，﹣2
n
）

C．（
m
，
n
）

D．（
m
，
n
）或（﹣
m
，﹣
n
）

6．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩 各不相同，其中一名参赛
选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成 绩的（ ）

A．中位数

B．众数

C．平均数

D．方差

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

7．已知：＝，则的值是 ．

8．如图，在△
ABC
中，∠
C
＝90°，
A C
＝3，
BC
＝4，若以
C
为圆心，
R
为半径的圆 与斜边
AB
只有一个
公共点，则
R
的值是 ．


9．关于
x
的一元二次方程
x
2
+4
x
﹣
k
＝0有实数根，则
k
的取值范围是 ．
10．已知
x
1
，
x
2
是一元二次方程
x2
﹣2
x
﹣1＝0的两实数根，则的值是 ．

11． 已知线段
AB
＝10
cm
，
C
为线段
AB
的黄金分割点（
AC
＞
BC
），则
BC
＝ ．

12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6
cm
，圆心角为120° 的扇形，则该圆锥的侧面面积为
cm
（结果保留π）．

13．如 图所示，
D
、
E
分别是△
ABC
的边
AB
、
BC
上的点，
DE
∥
AC
，若
S
△BDE
：
S
△
CDE
＝1：3，则
S
△
BDE
：
S
四边
形
DECA
的值为 ．


14．如图，在平面直角坐标系中，矩形活动框架
ABCD
的长
A B
为2，宽
AD
为，其中边
AB
在
x
轴上，
且原点
O
为
AB
的中点，固定点
A
、
B
，把这个矩形活动框架沿箭头方向推，使
D
落在
y
轴的正半轴
上点< br>D
′处，点
C
的对应点
C
′的坐标为 ．


15．如图所示，在四边形
ABCD
中，
AD
⊥
AB
，∠
C
＝110°，它的一个外角∠
ADE
＝60°，则∠B
的大小

是 ．

16．已知二次函数
y
＝
ax
2
+
bx
+c
（
a
≠0）的图象与
x
轴交于（
x
1
，0），且﹣1＜
x
1
＜0，对称轴
x
＝1．如
图所示， 有下列5个结论：①
abc
＞0；②
b
＜
a
+
c< br>；③4
a
+2
b
+
c
＞0；④2
c
＜3
b
；⑤
a
+
b
＞
m
（
am< br>+
b
）（
m
≠1的实数）．其中所有结论正确的是 （填写番号）．


三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）

17．（8分）解方程

（1）
x
2
﹣2
x
﹣2＝0

（2）（< br>x
+1）
2
＝4（
x
﹣1）
2
．

18．（6分）如图，在△
ABC
中，∠
C
＝90°，
E< br>是
BC
上一点，
ED
⊥
AB
，垂足为
D．

求证：△
ABC
∽△
EBD
．


19．（6分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点
A
（1 ，3）．

（1）求此抛物线的表达式；


（2）如果点
A
关于该抛物线对称轴的对称点是
B
点，且抛物线与
y
轴的交点是< br>C
点，求△
ABC
的面积．
20．（8分）如图，在一个可以自由转动 的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标
有数字1，2，3．

（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；

（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转 动转盘一
次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概 率
（用画树状图或列表等方法求解）．

21．（8分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：

甲：8，8，7，8，9

乙：5，9，7，10，9

（1）填表：


平均数

8

8

众数



9

中位数

8



方差



3.2

甲

乙

（2）从统计的角度分析：教练根据此次成绩，选择甲参加射击比赛，其理由是什么？

（3）若乙再射击1次，且命中8环，则其射击成绩的方差 （填“变大”“变小”或“不变”）

22．（8分）如图，
AB
是⊙
O
的直径，
CD
与⊙
O
相切于点
C
，与
AB
的延长线交于
D
．

（1）求证：△
ADC
∽△
CDB
；

（2）若< br>AC
＝2，
AB
＝
CD
，求⊙
O
半径．

23．（8分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿
A B
＝2
m
，它的影子
BC
＝1.6
m
，
木 竿
PQ
落在地面上的影子
PM
＝1.8
m
，落在墙上的影子
MN
＝1.1
m
，求木竿
PQ
的长
度．

24．（8分）如图，圆内接四边形
ABCD
的两组对边延长线分别交于
E< br>、
F
，∠
AEB
、∠
AFD
的平分线交于
P
点．求证：
PE
⊥
PF
．

25．（10分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为 30元的一批图书，以40元的单价出售
时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10 元的情况下，若每本涨价1元，则每
天就会少售出10本，设每本书上涨了
x
元．请解 答以下问题：

（1）填空：每天可售出书 本（用含
x
的代数式表示）；

（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？

26 ．（8分）已知，平面直角坐标系中的点
A
（
a
，1），
t
＝
ab
﹣
a
2
﹣
b
2
（
a
，
b
是实数）

（1）若关于
x
的反比例函数
y
＝过点
A
，求
t
的取值范围．

（2）若关于x
的一次函数
y
＝
bx
过点
A
，求
t
的取值范围．

（3）若关于
x
的二次函数
y
＝< br>x
2
+
bx
+
b
2
过点
A
，求
t
的取值范围．

27．（10分）如图，Rt△
ABC
，
CA
⊥
BC
，
AC
＝4，在
AB
边上 取一点
D
，使
AD
＝
BC
，作
AD
的垂直 平分线，
交
AC
边于点
F
，交以
AB
为直径的⊙< br>O
于
G
，
H
，设
BC
＝
x
．

（1）求证：四边形
AGDH
为菱形；

（2）若EF
＝
y
，求
y
关于
x
的函数关系式；

（3）连结
OF
，
CG
．

①若△
AOF
为等腰三角形，求⊙
O
的面积；

②若
BC
＝3，则
CG
+9＝ ．（直接写出答案）．

参考答案

一．选择题

1．解：
A
、
x
2
﹣5
x
＝0是一元二次方程；

B
、
x
+1＝0是一元一次方程；

C
、
y
﹣2
x
＝0是二元一次方程；

D
、2
x
3
﹣2＝0不是一元二次方程．

故选：
A
．

2．解：

∵
y
＝
x
2
+2
x
﹣4＝（
x
+1）
2
﹣5，

∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣5），

∴顶点在第三象限，

故选：
C
．

3．解：根据 题意知6月份的用水量为5×6﹣（3+6+4+5+6）＝6（
t
），

∴1至6月份用水量从小到大排列为：3、4、5、6、6、6，

则该户今年1至6月份用水量的中位数为
故选：
D
．

4．解：作直径
CF
，连结
BF
，如图，

则∠
FBC
＝90°，

∵∠
BAC
+∠
EAD
＝180°，

而∠
BAC
+∠
BAF
＝180°，

∴∠
DAE
＝∠
BAF
，

∴＝，

＝5.5、众数为6，

∴
DE
＝
BF
＝6，

∴
BC
＝
故选：
A
．

＝8．

5．解：点
P
（
m
，
n
）是线段
AB
上一点，以原点
O
为位似中心把△
AOB
放大到原来的两倍，

则点
P
的对应点的坐标为（
m
×2，
n
×2）或（
m
×（﹣2），
n
×（﹣2 ）），即（2
m
，2
n
）或（﹣2
m
，﹣
2
n
），

故选：
B
．

6．解：由于总共有7个 人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，
故应知道中位数的多少．< br>
故选：
A
．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

7．解：由＝，得

b
＝
a
．

＝＝﹣，

故答案为：﹣．

8．解解：过点
C
作
CD
⊥AB
于点
D
，

∵
AC
＝3，
BC< br>＝4．如果以点
C
为圆心，
r
为半径的圆与斜边
AB
只有一个公共点，

∴
AB
＝5，

当直线与圆相切时，< br>d
＝
r
，圆与斜边
AB
只有一个公共点，圆与斜边
A B
只有一个公共点，如图1，

∴
CD
×
AB
＝< br>AC
×
BC
，

∴
CD
＝
r
＝，

当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，

∴3＜
r
≤4，

故答案为：3＜
r
≤4或
r
＝．

9．解：∵关于
x
的一元二次方程
x
2
+4
x
﹣
k
＝0有实数根，

∴△＝4
2
﹣4×1×（﹣
k
）＝16 +4
k
≥0，

解得：
k
≥﹣4．

故答案为：
k
≥﹣4．

10．解：∵
x
1
、
x
2
是一元二次方程
x
2
﹣2
x
﹣1 ＝0的两实数根，

∴
x
1
+
x
2
＝2，
x
1
x
2
＝﹣1，＝2
x
1
+1，
∴
故答案为：6．

11．解：∵
C
为线段
AB
的黄金分割点（
AC
＞
BC
），

∴
AC
＝
＝+＝
＝2
x
2
+1，

＝＝＝6．

AB
＝
AC
＝×10＝5﹣5，

）
cm
．

∴
BC
＝
AB
﹣AC
＝10﹣（5
故答案为（15﹣5
﹣5）＝（15﹣5
）
c m
．

＝12π（
cm
2
）．

12．解：该圆锥的侧面面积＝
故答案为12π．

13．解：∵
S
△
BDE
：
S
△
CDE
＝1：3，

∴
BE
：
EC
＝1：3，

∵
DE
∥
AC
，

∴△
BED
∽△
BCA
，

∴
S
△
BDE
：
S
△
BCA
＝（）
2
＝1：1 6，

∴
S
△
BDE
：
S
四边形
DECA
＝1：15，

故答案为：1：15．

14．解：∵
AD
′＝
AD
＝，

AO
＝
AB
＝1，

∴
OD
′＝＝1，

∵
C
′
D
′ ＝2，
C
′
D
′∥
AB
，

∴
C
′（2，1），

故答案为：（2，1）

15．解：∵∠
ADE
＝60°，

∴∠
ADC
＝120°，

∵
AD
⊥
AB
，

∴∠
DAB
＝90°，

∴∠
B
＝360°﹣∠< br>C
﹣∠
ADC
﹣∠
A
＝40°，

故答案为：40°．

16．解：由图象可得，

a
＜0，
b
＞0，
c
＞0，

∴
abc
＜0，故①错误，

当
x
＝﹣1时，
y
＝
a
﹣
b
+
c
＜0，得
b
＞
a
+
c
，故②错误，
∵二次函数
y
＝
ax
2
+
bx
+< br>c
（
a
≠0）的图象与
x
轴交于（
x
1，0），且﹣1＜
x
1
＜0，对称轴
x
＝1，

∴
x
＝2时的函数值与
x
＝0的函数值相等，

∴
x
＝2时，
y
＝4
a
+2
b
+
c
＞0，故③正确，

∵
x
＝﹣1时，
y
＝
a
﹣
b
+
c
＜0，﹣
∴2
a
﹣2
b
+2
c
＜0，
b
＝﹣2
a
，

∴﹣
b
﹣2
b
+2
c
＜0，

∴2
c
＜3
b
，故④正确，

由图象可知，
x
＝1时，
y
取得最大值，此时
y
＝
a
+
b
+
c
，

∴
a
+
b
+
c
＞
am
2
+
bm
+
c
（
m< br>≠1），

∴
a
+
b
＞
am
2+
bm

∴
a
+
b
＞
m
（< br>am
+
b
），故⑤正确，

故答案为：③④⑤．


＝1，

三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）

17．解：（1）
x
2
﹣2
x
﹣2＝0，

x
2
﹣2
x
+1＝2+1，

（
x
﹣1）
2
＝3，

x
﹣1＝
x
＝1
x
1
＝1
，

，

，
x
2
＝1﹣，

（2）（
x
+1）
2
＝4（
x
﹣1）
2
．

（
x
+1）
2
﹣4（
x
﹣1）
2
＝0．

（
x
+1）
2
﹣[2（
x
﹣1）]2
＝0．

（
x
+1）
2
﹣（2
x< br>﹣2）
2
＝0．

（
x
+1﹣2
x
+2）（
x
+1+2
x
﹣2）＝0．

（﹣
x
+3）（3
x
﹣1）＝0．

x
1
＝3，
x
2
＝．

18．证明：∵
ED
⊥
AB
，

∴∠
EDB
＝90°，

∵∠
C
＝90°，

∴∠
EDB
＝∠
C
，

∵∠
B
＝∠
B
，

∴△
ABC
∽△
EBD
．

19．解：（1）设抛 物线的解析式为
y
＝
a
（
x
﹣3）
2
+5 ，

将
A
（1，3）代入上式得3＝
a
（1﹣3）
2
+5，解得
a
＝﹣，

∴抛物线的解析式为
y
＝ ﹣（
x
﹣3）
2
+5，

（2）∵
A
（1，3）抛物线对称轴为：直线
x
＝3

∴
B
（5，3），

令
x
＝0，
y
＝﹣（
x
﹣3）
2
+5＝，则
C
（0，），

△
ABC
的面积＝×（5﹣1）×（3﹣）＝5．

20．解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，

∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，

故答案为：；


（2）列表如下：


1

2

3

1

（1，1）

（2，1）

（3，1）

2

（1，2）

（2，2）

（3，2）

3

（1，3）

（2，3）

（3，3）

由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，

所以这两个数字之和是3的倍数的概率为＝．

21．解：（1）甲的众数为8，乙的中位数为9，甲的方差
；

（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；

（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．

故答案为：8，0.4，9；变小．

22．（1）证明：如图，连接
CO
，

，

∵
CD
与⊙
O
相切于点
C
，

∴∠
OCD
＝90°，

∵
AB
是圆
O
的直径，

∴∠
ACB
＝90°，

∴∠
ACO
＝∠
BCD
，

∵∠
ACO
＝∠
CAD
，

∴∠
CAD
＝∠
BCD
，

在△
ADC
和△
CDB
中，


∴△
ADC
∽△
CDB
．



＝

（2）解：设
CD
为
x
，

则
AB
＝
x
，
OC
＝
OB
＝
x
，

∵∠
OCD
＝90°，

∴
OD
＝＝＝
x
，

∴
BD
＝< br>OD
﹣
OB
＝
x
﹣
x
＝
x
，

由（1）知，△
ADC
∽△
CDB
，

∴
即
＝，

，

解得
CB
＝1，

∴
AB
＝
∴⊙
O
半径是
＝
．

，

23．解：过
N
点作
ND
⊥
PQ于
D
，


∴＝，

又∵
AB
＝2
m
，
BC
＝1.6
m
，
PM
＝1. 8
m
，
NM
＝1.1
m
，

∴
QD
＝＝2.25，

∴
PQ
＝
QD< br>+
DP
＝
QD
+
NM
＝2.25+1.1＝3.35 （
m
）．

答：木竿
PQ
的长度为3.35米．

24．证明：∵四边形
ABCD
内接于圆，

∴∠
BCF
＝∠
A
，

∵
FM
平分∠
BFC
，

∴∠
BFN
＝∠
CFN
，

∵∠
EMP< br>＝∠
A
+∠
BFN
，∠
PNE
＝∠
BCF< br>+∠
CFN
，

∴∠
EMP
＝∠
PNE
，

∴
EM
＝
EN
，

∵
PE
平分∠
MEN
，

∴
PE
⊥
PF
．

25．解：（1）∵每本书上涨了
x
元，

∴每天可售出书（300﹣10
x
）本．

故答案为：（300﹣10
x
）．

（2）设每本书上涨了
x
元（
x
≤10），

根据 题意得：（40﹣30+
x
）（300﹣10
x
）＝3750，

整理，得：
x
2
﹣20
x
+75＝0，

解得：
x
1
＝5，
x
2
＝15（不合题意，舍去）．

答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．

26．解：（1 ）把
A
（
a
，1）代入
y
＝得到：1＝，

解得
a
＝1，

则
t
＝
ab
﹣< br>a
2
﹣
b
2
＝
b
﹣1﹣
b
2
＝﹣（
b
﹣）
2
﹣．

因为抛物线
t< br>＝﹣（
b
﹣）
2
﹣的开口方向向下，且顶点坐标是（，﹣
所以
t
的取值范围为：
t
≤﹣；


（2）把
A
（
a
，1）代入
y
＝
bx
得到：1＝
a b
，

所以
a
＝，

则
t
＝ab
﹣
a
2
﹣
b
2
＝﹣（
a
2
+
b
2
）+1＝﹣（
b
+）
2
+3≤3 ，

故
t
的取值范围为：
t
≤3；

< br>（3）把
A
（
a
，1）代入
y
＝
x
2
+
bx
+
b
2
得到：1＝
a
2
+
ab
+
b
2
，

所以
ab
＝1 ﹣（
a
2
+
b
2
），

则
t＝
ab
﹣
a
2
﹣
b
2
＝1﹣2（a
2
+
b
2
）≤1，

故
t
的取值范围为：
t
≤1．

27．（1）证明：∵
GH
垂直平分线段
AD
，

∴
HA
＝
HD
，
GA
＝
GD
，


），

∵
AB
是直径，
AB
⊥
GH
，

∴
EG
＝
EH
，

∴
DG
＝
DH
，

∴
AG
＝DG
＝
DH
＝
AH
，

∴四边形
AGDH
是菱形．


（2）解：∵
AB
是直径，

∴∠
ACB
＝90°，

∵
AE
⊥
EF
，

∴∠
AEF
＝∠
ACB
＝90°，

∵∠
EAF
＝∠
CAB
，

∴△
AEF
∽△
ACB
，

∴＝，

∴＝，

∴
y
＝
x
2
（
x
＞0）．


（3）①解：如图1中，连接
DF
．


∵
GH
垂直平分线段
AD
，

∴
FA
＝
FD
，

∴当点
D
与< br>O
重合时，△
AOF
是等腰三角形，此时
AB
＝2
B C
，∠
∴
AB
＝，


CAB
＝30°，

∴⊙
O
的面积为π．

如图2中，当
AF
＝
AO
时，


∵AB
＝
∴
OA
＝
∵
AF
＝
∴＝
＝
，

＝
，

，

，

解得
x
＝4（负根已经舍弃），

∴
AB
＝4，

∴⊙
O
的面积为8π．

如图2﹣1中，当点
C
与点
F
重合时，设
AE
＝< br>x
，则
BC
＝
AD
＝2
x
，
AB< br>＝，


∵△
ACE
∽△
ABC
，

∴
AC
2
＝
AE
•
AB
，

∴16＝
x
•
解得
x
2
＝2
，

﹣2（负根已经舍弃），

∴
AB
2
＝16+4
x
2
＝8+8，

+2）π

π或8π或（2+2）π．

∴⊙
O
的 面积＝π••
AB
2
＝（2
综上所述，满足条件的⊙
O
的面 积为

②如图3中，连接
CG
．


∵
A C
＝4，
BC
＝3，∠
ACB
＝90°，

∴
AB
＝5，

∴
OH
＝
OA
＝，

∴
AE
＝，

∴
OE
＝
OA
﹣
AE
＝1，

∴
EG
＝
EH
＝
∵
EF
＝
x
2＝，

∴
FG
＝﹣，
AF
＝＝，
AH
＝＝，

＝，

∵∠
CFG
＝∠
AFH
，∠
FCG
＝∠
AHF
，

∴△
CFG
∽△
HFA
，

∴＝，

∴＝，

∴
CG
＝
∴
﹣，

．


CG
+9＝4

故答案为4


．