东北大学秦皇岛分校教务处-篮球拉拉队口号

.
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项 ：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将
试卷类 型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题 时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
={
x
|
3
x
1
}，则
A．
AIB{x|x0}

C．
AUB{x|x1}





B．
AUBR

D．
AIB

2．如图，正 方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方 形
的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．
1

4
1

2
B．
π

8
π

4
C． D．
3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z
满 足
R
，则
zR
；
z
p
2
：若复数< br>z
满足
z
2
R
，则
zR
；
p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
..

.
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>a
5
24
，
S
6
48
，则
{ a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8 < br>5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围
是
A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1x)
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为
2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为

A．10 B．12
n

n
C．14 D．16
和两个空白框中，可以分别填入 8．右面程序框图是为 了求出满足3
−2
>1000的最小偶数
n
，那么在

A．
A
>1 000和
n
=
n
+1
B．
A
>1 000和
n
=
n
+2
C．
A

1 000和
n
=
n
+1
D．
A

1 000和
n
=
n
+2
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+
..
2π
)，则下面结论正确的是
3

.
A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原 来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
到曲线
C
2
B．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
到曲 线
C
2
C．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线
C
2
D．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的到曲线
C
2

π
个单位长度，得
6
π
个单位长度，得
12
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长 度，得
26
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得< br>212
10．已知
F
为抛物线
C
：
y
=4< br>x
的焦点，过
F
作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，直
线
l
2
与
C
交于
D< br>、
E
两点，则|
AB
|+|
DE
|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
2
11．设
xyz
为正数，且
2
x
3
y
5
z
，则
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学生响应国 家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，
4，1，2，4 ，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是
2，2 ，2，依此类推.求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100且该数列的前< br>N
项和为2的整数幂.那么该款
软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
012
001
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= .

x2y1

14．设
x
，
y
满足约束条件

2xy1
，则
z3x2y
的最小值为 .

xy0

x
2
y
2
15．已知 双曲线
C
：
2

2
1
（
a
>0 ，
b
>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲线
C
ab
的一条渐近 线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°，则
C< br>的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、E
、
F
为圆
O
上
的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FA B
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△ABC
的边长变化时，
所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_______。
..
3

.


三、解答题：共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第2 2、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
a
2
△
ABC
的内角
A
，
B
，< br>C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，< br>ABCD
，且
BAPCDP90
o
.

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
APD 90
o
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值 .
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上 随机抽取16个零件，并测量其
尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态 下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2
)
．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的 零件数，
求
P(X1)
及
X
的数学期望；
（2）一天内 抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

 3

)
之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情 况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
..

. 1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x) (

x
i
16x
2
)
2
0.212< br>，其中
x
i
为抽取


16
i1
16
i1
16
i1
的第
i
个零件的尺寸，
i 1,2,,16
．
ˆ
，用样本标准差
s
作为
的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需对当用样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
3

ˆ
,
< br>ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的数据估计
和

（精确到0.01）． 天的生产过程进行检查？剔除
(

附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

2)
，则
P(

3

Z

3< br>
)0.997 4
，
0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
20.（12分）
33
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1 ,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P< br>4
（1，）中恰有
22
ab
三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过
P< br>2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点.若直线P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为–1，证明 ：
l
过
定点.
21.（12分）
2
xx
已知函 数
（fx)
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
< br>（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为

ysin

,

xa4t,
（t为参数）
.

y1t,

（1）若
a
=−1，求
C
与
l< br>的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为17
，求a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x
）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.


2
..

.
2017年新课标1理数答案
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A
13.
23
14.
5

5.
23
16.
415

3
1a
2
1a
17.解：（1） 由题设得
acsinB
，即
csinB
.
23sinA
23sinA
1sinA
.
sinCsinB23sinA
2
故
sinBsinC
.
3
由正弦定 理得
（2）由题设及（1）得
cosBcosCsinBsinC,
，即
cos(BC)
所以
BC
1
2
1
.
2
2π
π
，故
A
.
3
3
1a
2
由题设得
bcsinA
，即
bc8
.
23 sinA
2
22
由余弦定理得
bcbc9
，即
(b c)3bc9
，得
bc33
.
故
△ABC
的周长为
333
.
18.解：（1）由已知
BAPCDP90
，得
AB
⊥
AP
，
C D
⊥
PD
.
由于
AB
∥
CD
，故
AB
⊥
PD
，从而
AB
⊥平面
PAD
.
又
AB


平面
PAB
，所以平面
PAB
⊥平面
PAD
.
（2）在平面
PAD
内做
PFAD
，垂足为
F
，
由（1）可知，
AB
平面
PAD
，故
ABPF
，可得
PF
平面
ABCD
.
uuur
uuur
以
F
为坐标原点，
FA
的方向为
x
轴正方向，
|A B|
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
Fxyz
.

..

.
由（1）及已知可得
A(
2
222
,1,0)
.
,0,0)
，
P(0,0,)
，
B(,1,0)
，
C(< br>2
222
uuuruuur
uuuruuur
22
22
,1,)
，
CB(2,0,0)
，
PA(,0,)
，AB(0,1,0)
. 所以
PC(
22
22
设
n(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量，则
uuur

22

nPC0
xyz0


，即， uuur
22




2x0

n CB0

可取
n(0,1,2)
.
设
m(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量，则
uuu r

22


mPA0
xz0

，即，
uuur


22


y0

mAB0

可取
n(1,0,1)
.
则
cos
nm3
，

|n||m|3
3
.
3
所以二面角
APB C
的余弦值为

19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在
(

3

,

3

)
之内的概率为0.9 974，从而零件的尺寸在
(

3

,

3< br>
)
之外的概率为0.0026，故
X~B(16,0.0026)
. 因此
P(X1)1P(X0)10.99740.0408
.
X
的数学期望为
EX160.00260.0416
.
（2 ）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
(

3

,

3

)
之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16
个零件 中，出现尺寸在
(

3

,

3
< br>)
之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这
种情况，就有 理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程
进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的.
ˆ
0.212
，由样本数据可以看
ˆ
9.97
，

的估计值为

（ii）由
x 9.97,s0.212
，得

的估计值为

..

.
出
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 有一个零件的尺寸在
(

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，剩下数据的平均数为剔 除
(

计值为10.02.
1
(169.979.22)1 0.02
，因此

的估
15

x
i1
1 6
2
i
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，剩下数据的样本方
160. 212
2
169.97
2
1591.134
，剔除
(

差为
1
(1591.1349.22
2
1510. 02
2
)0.008
，
15
因此

的估计值为
0.0080.09
.
20.（12分）解：
（1）由于
P
3
，
P
4< br>两点关于
y
轴对称，故由题设知
C
经过
P
3
，
P
4
两点.
又由
1113

2
2

2
知，
C
不经过点
P
1
，所以点
P
2
在
C
上.
2
aba4b

1
1
2



a4

b
2< br>因此

，解得

2
.
13

< br>b1

1
22

4b

a
x
2
故
C
的方程为
y
2
1
.
4
（2）设直线
P
2
A
与直线
P
2
B的斜率分别为
k
1
，
k
2
，
4t
2
4t
2
如果
l
与
x
轴垂直，设
l：
x
=
t
，由题设知
t0
，且
|t|2< br>，可得
A
，
B
的坐标分别为（
t
，），（
t
，）.

2
2
4t
2
24t
2< br>2
则
k
1
k
2
1
，得
t2
，不符合题设.
2t2t
x
2
从而可设
l
：
ykxm
（
m1
）.将
ykxm
代入
y
2
1
得
4
(4k
2
1)x
2< br>8kmx4m
2
40

由题设可知
=16(4k
2
m
2
1)0
.
4m
2
4
8km
设
A
（
x
1< br>，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），则
x
1
+
x
2
=

2
，
x
1
x
2
=
2
.
4k 1
4k1
y1y
2
1
而
k
1
k< br>2

1


x
1
x
2
< br>kx
1
m1kx
2
m1


x
1
x
2
..

.

2 kx
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)
.
x
1
x
2
由题设
k
1
k< br>2
1
，故
(2k1)x
1
x
2
(m 1)(x
1
x
2
)0
.
4m
2
 48km
即
(2k1)
2
(m1)
2
0.
4k14k1
m1
解得
k
.
2
当且仅当
m1
时，
0
，欲使
l
：
y
所以
l
过定点（2，
1
）

21.解：（1）
f(x)
的定义域为
(,)
，
f

(x) 2ae
2x
m1m1
xm
，即
y1(x2)
，
22
(a2)e
x
1(ae
x
1)(2e
x
1)
，
（ⅰ）若
a0
，则
f
< br>(x)0
，所以
f(x)
在
(,)
单调递减. < br>（ⅱ）若
a0
，则由
f

(x)0
得
x lna
.
当
x(,lna)
时，
f

(x)0
；当
x(lna,)
时，
f

(x) 0
，所以
f(x)
在
(,lna)
单调递减，
在< br>(lna,)
单调递增.
（2）（ⅰ）若
a0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点.
（ⅱ）若
a0
，由（1）知，当
xlna
时，
f(x )
取得最小值，最小值为
f(lna)1
①当
a1
时，由于
f(lna)0
，故
f(x)
只有一个零点；
②当
a (1,)
时，由于
1
③当
a(0,1)
时，
1
又
f(2)ae
4
1
lna
.
a
1
lna0
，即
f(lna)0
，故
f(x)
没 有零点；
a
1
lna0
，即
f(lna)0
.
a
(a2)e
2
22e
2
20
，故
f(x)
在
(,lna)
有一个零点.
设正整数
n
0
满足
n
0
ln(1)
，则
f(n
0
)e
0
(ae
0
a2)n
0
e0
n
0
2
0
n
0
0
. 由于
ln(1)lna
，因此
f(x)
在
(lna, )
有一个零点.
综上，
a
的取值范围为
(0,1)
.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
3
a
nnnn
3
a
..

.
x
2
y
2
1
. 解：（1）曲线
C
的 普通方程为
9
当
a1
时，直线
l
的普通方程为
x4y30
.
21

x

x4y30< br>
x3



2
25
由

x
解得

或

.
2
24
y0


y

y1

9

25

从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0)
，
(
2124
,)
.
2525
（2）直线
l
的 普通方程为
x4ya40
，故
C
上的点
(3cos

,sin

)
到
l
的距离为
d
|3cos

4sin

a4|
. < br>17
当
a4
时，
d
的最大值为
a9a917
，所以
a8
； .由题设得
1717
a1a1
17
，所以
a16
. .由题设得
1717
当
a4
时，
d
的最大值为
综上，
a8
或
a 16
.、
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当
a1
时，不等式
f(x)g(x)
等价于
xx|x1||x1 |40
.①
当
x1
时，①式化为
x
2
 3x40
，无解；
当
1x1
时，①式化为
x
2
x20
，从而
1x1
；
当
x1
时 ，①式化为
x
2
x40
，从而
1x
2
 117
.
2
所以
f(x)g(x)
的解集为
{x| 1x
（2）当
x[1,1]
时，
g(x)2
.
117
}
.
2
所以
f(x)g(x)
的解 集包含
[1,1]
，等价于当
x[1,1]
时
f(x)2< br>.
又
f(x)
在
[1,1]
的最小值必为
f( 1)
与
f(1)
之一，所以
f(1)2
且
f(1)2
，得
1a1
.
..

.
所以
a
的取值范围为
[1,1]
.


..