2019年考研数学一真题及答案解析
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2019年研究生统一入学考试数学（一）
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32
分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.当
A
B
C
D
时，若 与
是同阶无穷小，则 等于（
C
）
，则 2.设函数
A 可导点，极值点
B 不可导点，极值点
C 可导点，非极值点
D
不可导点，非极值点
是
的（
B
）
3.设
是单调增加的有解数列，则下列级数中收敛的是（
D
）
A
B
C
D
4. 设函数
可取为（
D
）
。如果对上半平面（ 都有
）内的任意有向光滑封闭曲线
，那么函数
A
B
C
D
5. 设是阶实对称矩阵，
是阶单位矩阵。若
A
B
C
D
，且 ，则二次型 规范形为（
C
）
6.如图所示，有 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
和增广矩阵分别记为 ，则（
A
）
A
B
D
充分必要条件是（
C
）
组成的线性方程组的系数矩阵
C
7.设
A
B
C
为随机事件，则
D
，则 （
A
） 8.设随机变量 和
相互独立，且都服从正态分布
A 与 无关，而与 有关
B
与有关，而与 无关
C 与，
D 与，
都有关
都无关
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
9. 设函数
10.微分方程
可导，
满足条件
，则
。
11. 幂级数 在
的特解
。
。
12. 设 为曲面
内的和函数
的上侧，则
为阶矩阵，若
。
。
13. 设 ， 线性无关，且 ，则线性方程组 的通解为
14.设随机变量 的概率密度为
。
，
为
的分布函数，
为
的数学期望，则
三、解答题：15—23小题，共94分.
请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
设函数
（1）求
是微分方程
；
满足条件
的特解。（本题满分10分）
解：
因
的解可以通过分开变量法求解，
，
所以
有 ，
，
于是方程两边同时乘以
有
时的特解，
所以
解得
最后
有
（2）求曲线
解： 由（1）
得
，
，
。
凹凸区间及拐点。
令
解得
当时
当
当
当
所以
，
或 。
时，
；
时，
时，
；
；
时，
。
的拐点是
当
曲线是凹的；
当
曲线是凸的。
16. 设
，
为实数，函数
（本题满分10分）
（1）求 ，；
解：由题意得
在点（ ,
）处的方向导数中，沿方向
的方向导数最大，最大值为 。
时，
时，
， 所
以
另一方面因为方向导数最大值为10， 所
以
解得
，
（2）求曲面
解：
当
。
（
）的面积。
时，
，
时，面积 为
， 因
故，在
17. 求曲面 （ ）与
轴之间图形的面积。（本题满分10分）
解：
面积
=
18. 设
（1）证明数列
解：
（ ）（本题满分10分）
单调递减；且 （
）
所以
单调递减，另一方面
其中的
（2）求
，所以
。
解： 利用（1）的结论与不等
式
19. 设 是由锥面
根据对称性可知
，
（
）与平面 10分）
围成的椎体，求 的形心坐标。（本题满分
而 面投影为
因
故形心坐标为
20. 设向量组
（本题满分11分）
（1）求 ，， ；
。
，
，
为
的一个基，
在这个基下的坐标是
。
解：
则
解得 ， ，
由于
所以 ，
，
为 的一个基。
21. 已知矩阵 与 相似。（本题满分11分）
（1）求 ，；
解：
注意到
以
，对于 成立， 所
所以
（2）求可逆矩阵 使得
解：
。
，
且
有特征根 ，
，
，
，
分别求出对应
于 ， 的特征向量为
，
和
，
， ，
所以如果记
，
则有
所以
而
，
，
即为所求的 。
22. 设随机变量 与 相互独立，
服从参数为的指数分布， 的概率分布为
。（本题满分11分）
令
（1）求
的概率密度；
解：
， ，
（2） 为何值时， 与不相关；
解：
因为
以
与独立 所
（3）与是否相互独立？
解：
因
又
则
故不独立。
23. 设总体
的概率密度为
，
是已知参数，
（本题满分11分）
（1）求 ；
解：
是未知参数， 是常数， ， ，
， 是来自总体 简单随机样本；