天狮职业技术学院-国旗下演讲稿

巧求面积
本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子．
如图，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC的面积是三角形CDE面积的几倍？

解：连结BD，在△ABD与△BCD中，因为AD=DC，又因为这两个三角
形的高是同 一条高，所以S
△ABD
=S
△BCD
．在△BCD与△DCE中，因为BC =CE，
又因为这两个三角形也具有同一条高，所以有S
△BCD
=S
△CD E
．因此，S
△
ABC
=S
△ABD
+S
△BCD
=2S
△CDE
．
从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边
有什么关系．

如右图，
CE于M，



在△ACM与△DCN中，有AC∶CD=AM∶DN．因此，

即 ，当两个三角形各有一个角，它们的和是180°时，这两个三角形
的面积之比等于分别夹这两个角的两 条边的长度乘积之比．
类似可知，当两个三角形各有一个角，它们相等时，这个结论也成立．
解：在△ABC与△CDE中，因为AD=DC，所以 AC=2CD，又因为BC=CE，
所以S△ABC=2×1×S△CDE=2S△CDE．
答：△ABC的面积是△CDE面积的2倍．
下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子．
例1 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△
BDE的面积是多少？

解：在△BDE与△ABC中，∠DBE+∠ABC=180°．因为AE=3AB，所 以
BE=2AB．又因为BD=2BC，所以S
△BDE
=2×2×S
△AB C
=4×1=4．
答：△BDE的面积是4．
例2 如图，在△ABC中 ，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍．如果△
ADE的面积等于1平方厘米，那么△ABC的面积是 多少？

解：在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC =3AE，所
以S
△ABC
=6×3×S
△ADE
=18×1=18 （平方厘米）．
答：△ABC的面积为 18平方厘米．

例3 如图，将△ABC的各边都延长一倍至 A′、 B′、 C′，连接这
些点，得到一个新的三角形A′ B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′
C′的面积．

解：在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为
AB=AA′，所以A ′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S
△A′B′B
=1×2×S
△
A BC
=2S
△ABC
=2．
同理S
△B′C′C
=2×1×S
△ABC
=2．
S
△A′C′A
=2×1×S
△ABC
=2．
所以S
△A′B′C′
=S
△A′B′B
+S
△B′C′C
+S
△ A′C′A
+S
△ABC

=2+2+2+1
=7
答：△A′B′C′的面积为7．
例4 如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、
D′，连接这些点得到一个新 的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′
D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的 面积是多少？
分析 要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与四边形A′
B′C′D′的关系，因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△
A′D′A与四边 形ABCD的关系．

解：连结AC、BD．

在△A′B ′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为A′A=AB，
所以A′B=2AB，又 因为 B′B=BC，所以有S
△A′B′B
=2×1×S
△ABC
=2S< br>△
ABC
．
同理 有S
△B′C′C
=2×1×S
△BCD
=2S
△BCD

S
△C′D′D
=2×1×S
△ADC
=2S
△ADC

S
△A′D′A
=2×1×S
△ABD
=2S
△ABD
．
所以 S
四边形A′B′C′D′
=S
△A′B′B
+S
△B′C′C
+S
△C′D′D
+S
△A′D′
A
+S< br>四边形ABCD

=2S
△ABC
+2S
△BCD
+2S
△ADC
+2S
△ABD
+S
四边形ABCD

=2（S
△ABC
+S
△ADC
）+2（S
△BCD< br>+S
△ABD
）+S
四边形ABCD

=2S
四 边形ABCD
+2
S四边形ABCD
+S
四边形ABCD

=5S
四边形ABCD

则S
四边形ABCD
=30÷5=6（平方厘米）．
答：四边形ABCD的面积为6平方厘米．

B
1
C
1
=C
1
C，△A
1
B
1
C
1
的面积为1平 方厘米，则△ABC的面积为多少平方厘
米？

解：连接A
1
C．如上图
在△BB
1
C与△A
1B
1
C
1
中，∠BB
1
C+∠A
1
B
1
C
1
=180°，因为
A
1
B
1
=

所以有S
△BB1C
=2×2×S
△A1B1C1
=4×1=4（平方厘米）．
在△A
1
C
1
C与△A
1
B
1
C
1
中，∠A
1
C
1C+∠A
1
C
1
B
1
=180°，因为CC
1
=C
1
B
1
，
A
1
C
1
=A
1
C
1
，所以有S
△A1C1C
=1×1×S
△A1B1C1
=1×1=1（平方厘米）．
在△ABD与△ADC中，∠ADB+∠ADC=180°．因为BD=DC，

在△ABA1与△ABD中，∠BAA1=∠BAD．因为AB=AB，AA
1
=



答：三角形ABC的面积为9平方厘米．