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整数部分
十进制计数法：一（个）、十、百、千、万„„都叫做计数单位.其中“一” 是计
数的基本单位.10个1是10,10个10是100„„每相邻两个计数单位之间的进率
都是十.这种计数方法叫做十进制计数法

整数的读法：从高位一级一级读,读出级名（亿、 万）,每级末尾0都不读.其他数
位一个或连续几个0都只读一个“零”.

整数的写法：从高位一级一级写,哪一位一个单位也没有就写0.
四舍五入法：求近似数, 看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或大于5舍
去尾数向前一位进1.这种求近似数的方法就 叫做四舍五入法.

整数大小的比较：位数多的数较大,数位相同最高位上数大的就大,最 高位相同比
看第二位较大就大,以此类推.

小数部分
把整数1平均分成 10份、100份、1000份„„这样的一份或几份是十分之几、
百分之几、千分之几„„这些分数可 以用小数表示.如110记作0.1,7100记作
0.07.

小数点右边第一 位叫十分位,计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位,计数
单位是百分之一（0.01）„„ 小数部分最大的计数单位是十分之一,没有最小的计
数单位.小数部分有几个数位,就叫做几位小数.如 0.36是两位小数,3.066是三位小
数

小数的读法：整数部分整数读,小数点读点,小数部分顺序读.

小数的写法：小数点写在个位右下角.

小数的性质：小数末尾添0去0大小不变.化简

小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小,1十2百3千倍.

小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推.

分数和百分数
■分数和百分数的意义
1、分数的意义：把单位“ 1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,
叫做分数.在分数里,表示把单位“ 1”平均分 成多少份的数,叫做分数的分母；表
示取了多少份的数,叫做分数的分子；其中的一份,叫做分数单位.

2、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数.也 叫百分
率或百分比.百分数通常不写成分数的形式,而用特定的“%”来表示.百分数一般
只表 示两个数量关系之间的倍数关系,后面不能带单位名称.

3、百分数表示两个数量之间的倍比关系,它的后面不能写计量单位.

4、成数：几成就是十分之几.

■分数的种类
按照分子、分母和整数部分的不同情况,可以分成：真分数、假分数、带分数

■分数和除法的关系及分数的基本性质
1、除法是一种运算,有运算符号；分数是一种数.因 此,一般应叙述为被除数相当
于分子,而不能说成被除数就是分子.
2、由于分数和除法有密切的关系,根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基
本性质.
3、分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外）,分数的大小不变,这叫
做分数的基 本性质,它是约分和通分的依据.

■约分和通分
1、分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数.
2、把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分.
3、约分的方法： 用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除
到得出最简分数为止.
4、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分.
5、通分的方法：先 求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最
小公倍数作分母的分数.

■倒数
1、乘积是1的两个数互为倒数.
2、求一个数（0除外）的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置.
3、 1的倒数是1,0没有倒数

■分数的大小比较
1、分母相同的分数,分子大的那个分数就大.
2、分子相同的分数,分母小的那个分数就大.
3、分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分数,再比较大小.
4、如 果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分
数就大；如果整数部分相同 ,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带分数就
大.

■百分数与折数、成数的互化：
例如：三折就是30％,七五折就是75％,成数就是十分之 几,如一成就是牐闯砂俜
质褪?0%,则六成五就是65%.

■纳税和利息：
税率：应纳税额与各种收入的比率.
利率：利息与本金的百分率.由银行规定按年或按月计算.
利息的计算公式：利息=本金×利率×时间

百分数与分数的区别主要有以下三点：

1．意义不同.百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数.”它只能
表示两 数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量.如：可以说 1米 是 5
米 的 20％,不可以说“一 段绳子长为20％米.”因此,百分数后面不能带单
位名称.分数是“把单位‘1’平均分成若干份,表 示这样一份或几份的数”.
分数不仅 可以表示两数之间的倍数关系,如：甲数是3,乙数是4,甲数是乙
数的?；还可以表示一定的数量.

2．应用范围不同.百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析
与比较 .而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用.

3．书写形式不同.百分数通 常不写成分数形式,而采用百分号“％”来表示.
如：百分之四十五,写作：45％；百分数的分母固定 为100,因此,不论百分
数 的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分；百分数的分子可以是自< br>然数,也可以是小数.而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有：真分数、
假分数、带分 数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,
是假分数的要化成带分数.

数的整除
■整除的意义
整数a除以整数b（b≠0）,除得的商正好是整数而没 有余数,我们就说a能
被b整除（也可以说b能整除a）
除尽的意义 甲数除以乙数,所得 的商是整数或有限小数而余数也为0时,我
们就说甲数能被乙数除尽,（或者说乙数能除尽甲数）这里的 甲数、乙数可
以是自然数,也可以是小数（乙数不能为0）.

■约数和倍数 < br>1、如果数a能被数b整除,a就叫b的倍数,b就叫a的约数.2、一个数的
约数的个数是有限 的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.3、一个数
的倍数的个数是无限的,其中最小的是它本 身,它没有最大的倍数.

■奇数和偶数
1、能被2整除的数叫偶数.例如：0、2、4、6、8、10„„注：0也是偶数 2、
不能被2整除的数叫基数.例如：1、3、5、7、9„„

■整除的特征

1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8.
2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5.
3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除,这
个数就能被3 整除.

■质数和合数
1、一个数只有1和它本身两个约数,这个数叫做质数（素数）.
2、一个数除了1和它本身外,还有别的约数,这个数叫做合数.
3、1既不是质数,也不是合数.
4、自然数按约数的个数可分为：质数、合数
5、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数

■分解质因数
1、每个 合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的
质因数.例如：18=3×3×2,3 和2叫做18的质因数.
2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.通常 用
短除法来分解质因数.
3、几个数公有的因数叫做这几个数的公因数.其中最大的一个叫 这几个数
的最大公因数.公因数只有1的两个数,叫做互质数.几个数公有的倍数叫做
这几个数 的公倍数.其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数.
4、特殊情况下几个数的最大公约数和最小公 倍数.（1）如果几个数中,较
大数是较小数的倍数,较小数是较大数的约数,则较大数是它们的最小公 倍
数,较小数是它们的最大公约数.（2）如果几个数两两互质,则它们的最大
公约数是1,小 公倍数是这几个数连乘的积.

■奇数和偶数的运算性质：
1、相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数.
2、奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数,

奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数,偶数- 偶数=偶数；奇数×奇数=奇数,奇
数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数.

整数、小学、分数四则混合运算
■四则运算的法则
1、加法a、整数和小数：相同 数位对齐,从低位加起,满十进一b、同分母
分数：分母不变,分子相加；异分母分数：先通分,再相加
2、减法a、整数和小数：相同数位对齐,从低位减起,哪一位不够减,退一当
十再减b、同分 母分数：分母不变,分子相减；异分母分数：先通分,再相减
3、乘法a、整数和小数：用乘数每一位 上的数去乘被乘数,用哪一位上的数
去乘,得数的末位就和哪一位对起,最后把积相加,因数是小数的, 积的小数
位数与两位因数的小数位数相同b、分数：分子相乘的积作分子,分母相乘
的积作分母 .能约分的先约分,结果要化简
4、除法a、整数和小数：除数有几位,先看被除数的前几位,（不够 就多看

一位）,除到被除数的哪一位,商就写到哪一位上.除数是小数是,先化成整数再除,商中的小数点与被除数的小数点对齐b、甲数除以乙数（0除外）,
等于甲数除以乙数的倒 数

■运算定律
加法交换律 a＋b=b＋a
结合律 （a＋b）＋c=a＋（b＋c）

减法性质 a－b－c=a－（b＋c）
a－（b－c）=a－b＋c

乘法交换律 a×b=b×a
结合律 （a×b）×c=a×（b×c）
分配律 （a＋b）×c=a×c＋b×c

除法性质 a÷（b×c）=a÷b÷c
a÷（b÷c）=a÷b×c
（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c
（a－b）÷c=a÷c－b÷c
商不变性质m≠0 a÷b=（a×m）÷（b×m） =（a÷m）÷（b÷m）
■积的变化规律：在乘法中,一个因数不变,另一个因数扩大（或缩小）若
干倍,积也扩大（或缩小 ）相同的倍数.
推广：一个因数扩大A倍,另一个因数扩大B倍,积扩大AB倍.
一个因数缩小A倍,另一个因数缩小B倍,积缩小AB倍.

■商不变规律：在除法中,被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数,
商不变.
推广：被除数扩大（或缩小）A倍,除数不变,商也扩大（或缩小）A倍.
被除数不变,除数扩大（或缩小）A倍,商反而缩小（或扩大）A倍.

■利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便.但在有余数
的除法中要注意余数.
如：8500÷200= 可以把被除数、除数同时缩小100倍来除,即85÷2= ,商
不变,但此时的余数1是被缩小100被后的,所以还原成原来的余数应该是
100.

简易方程
■用字母表示数
用字母表示数是代数的基本特点.既简单明了,又能表达数量关系的一般规
律.

■用字母表示数的注意事项

1、数字与字母、字母和字母相乘时,乘号可以 简写成“•“或省略不写.数与
数相乘,乘号不能省略.
2、当1和任何字母相乘时,“ 1” 省略不写.
3、数字和字母相乘时,将数字写在字母前面.

■含有字母的式子及求值
求含有字母的式子的值或利用公式求值,应注意书写格式

■等式与方程
表示相等关系的式子叫等式.
含有未知数的等式叫方程.
判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二 是等式.所
以,方程一定是等式,但等式不一定是方程.

■方程的解和解方程
使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解.
求方程的解的过程叫解方程.

■在列方程解文字题时,如果题中要求的未知数已经用字母表示,解答时就
不需要写 设,否则首先演将所求的未知数设为x.

■解方程的方法
1、直接运用四则运算中各部分之间的关系去解.如x-8=12
加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数
被减数－减数=差 减数=被减数－差 被减数=差＋减数
被乘数×乘数=积 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商

2、先把含有未知数x的项看作一个数,然后再解.如3x+20=41
先把3x看作一个数,然后再解.

3、按四则运算顺序先计算,使方程变形,然后再解.如2.5×4-x=4.2,
要先求出2.5×4的积,使方程变形为10-x=4.2,然后再解.

4、利用运算定律或性质,使方程变形,然后再解.如：2.2x＋7.8x＝20
先利用 运算定律或性质使方程变形为（2.2＋7.8）x＝20,然后计算括号里
面使方程变形为10x＝2 0,最后再解.

比和比例
■比和比例应用题
在工业生产和日常生活 中,常常要把一个数量按照一定的比例来进行分配,
这种分配方法通常叫“按比例分配”.

■解题策略
按比例分配的有关习题,在解答时,要善于找准分配的总量和分 配的比,然
后把分配的比转化成分数或份数来进行解答

■正、反比例应用题的解题策略
1、审题,找出题中相关联的两个量
2、分析,判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比例关系.
3、设未知数,列比例式
4、解比例式
5、检验,写答语

数感和符号感
■在数学教学中发展学生的数感主要指,使学生具有应用数字表示具体的
数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算,有能力进行计算,并具
有选择适当方法（心算、笔 算、使用计算器）实施计算的经验；能根据数
据进行推论,并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验, 等等.

■培养学生的数感的目的就在于使学生学会数学地思考,学会用数学的方
法理解和解释现实问题.

■ 数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高.学 生在遇到问
题时,自觉主动地与一定的数学知识和技能建立起联系,这样才有可能建构
与具体事 物相联系 的数学模型.具备一定的数感是完成这类任务的重要条
件.如,怎样为参加学校运动会的全体 运动员编号?这是一个实际问题,没有
固定的解法,你可以用不同的方 式编,而不同的编排方案可能在 实用性和
便捷性上是不同的.如,从号码上就可以分辨出年级和班级,区分出男生和
女生,或很 快的知道一名队员是参加哪类项目.

■ 数概念本身是抽象的,数概念的建立不是一次完 成的,学生理解和掌握
数的概念要经历一个过程.让学生在认识数的过程中,更多地接触和经历有
关的情境和实例, 在现实的背景下感受和体验会使学生更具体更深刻地把
握数的概念,建立数感.在 认识数的过程中,让学生说一说自己身边的数,生
活中用到的数,如何用数表示周 围的事物等,会让学 生感觉到数就在自己
身边,运用数可以简单明了地表示许多现象.估计一页书的字数,一本书有
多少页,一把黄豆有多少粒等,这些对具体数量 的感知与体验,是学生建立
数感的基础,这对学生理解数的意义会有很大的帮助.

■无论在哪个学段,都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体的情境中的
数量关系和变化规律,这是发 展学生符号感的决定性因素.
■引进字母表示,是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的 数量
关系和变化规律的重要一步.尽可能从实际问题中引入,使学生感受到字母
表示的意义.

第一,用字母表示运算法则、运算定律以及计算公式.算法的一般化,深化和
发展了对数的认识.
第二,用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系.例如,匀速 运动
中的速度v、时间t和路程s的关系是s=vt.
第三,用字母表示数,便于从具体情境 中抽象出数量关系和变化规律,并确
切地表示出来,从而有利于进一步用数学知识去解决问题.例如,我 们用字
母表示实际问题中的未知量,利用问题中的相等关系列出方程.

■字母和表达式在不同场合有不同的意义.如：
5=2x+1表示x所满足的一个条件,事 实上,x这里只占一个特殊数的位置,可
以利用解方程找到它的值；
Y=2x表示变量之间 的关系,x是自变量,可以取定义域内任何数,y是因变
量,y随x的变换而变化；
（a+b）（a－b）=a－b表示一个一般化的算法,表示一个恒等式；
如果a和b分别 表示矩形的长和宽,S表示矩形的面积,那么S=ab表示计算
矩形面积公式,同时也表示矩形的面积随 长和宽的变化而变化.
■如何培养学生的符号感
要尽可能在实际问题情境中帮助学生理 解符号以及表达式、关系式意义,在
解决实际问题中发展学生的符号感.
必须要对符号运算 进行训练,要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算.
但是并不主张进行过繁的形式运算训练.
学生的符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的,而是应该贯穿于数学学
习的全过程,伴随着学 生数学思维的提高逐步发展.

量的计算
■事物的多少、长短、大小、轻重、快慢 等,这些可以测定的客观事物的特
征叫做量.把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量.用 来作
为计量标准的量叫做计量单位.

■数+单位名称=名数
只带有一个单位名称的叫做单名数.
带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数
高级单位的数如把米改成厘米 低级单位的数如把厘米改成米

■只带有一个单位名称的数叫做单名数.如：5小时, 3千克 （只有一个单
位的） 带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数.如：5小时6分,3千克500克
（有两个单位的）
56平方分米=(0.56)平方米 就是单名数转化成单名数
560平方分米=(5)平方米(60平方分米) 就是单名数转化成复名数的例子.
< br>■高级单位与低级单位是相对的.比如,米相对于分米,就是高级单位,相
对于千米就是低级单位 .

■常用计算公式表
(1)长方形面积=长×宽,计算公式s=a b
(2)正方形面积=边长×边长,计算公式s=a×a
(3)长方形周长：(长+宽)× 2,计算公式s=(a+b)×2
(4)正方形周长=边长× 4,计算公式s= 4a
(5)平形四边形面积=底×高,计算公式s=ah．
(6)三角形面积=底×高÷2,计算公式s=a×h÷2
(7)梯形面积=(上底+下底)×高÷2,计算公式s=(a+b)×h÷2
(8)长方体体积=长×宽×高,计算公式v=abh
(9)圆的面积=圆周率×半径平方,计算公式s=лr^2
(10)正方体体积=棱长×棱长×棱长,计算公式v=a^3
(11)长方体和正方体的体积都可以写成底面积×高,计算公式v=sh
(12)圆柱的体积=底面积×高,计算公式v=s h

■1年12个月(31 天的月份有1、3、5、7、8、10、12月份,30天的月份有
4、6、9、11．月份,平年2月 28天,闰年2月29天
■闰年年份是4的倍数,整百年份须是400的倍数.
■平年一年365天,闰年一年366天.
■公元1年—100年是第一世纪,公元1901—2000是第二十世纪.

平面图形的认识和计算
■三角形
1、三角形是由三条线段围成的图形.它具有稳 定性.从三角形的一个顶点到
它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.一个三角形
有三条高.
2、三角形的内角和是180度
3、三角形按角分,可以分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
4、三角形按边分,可以分为：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

■四边形
1、四边形是由四条线段围成的图形.
2、任意四边形的内角和是360度.
3、只有一组对边平行的四边形叫梯形.
4、两组对边分别平行的四边形叫平行四边形,它容易变形.长方形、正方形
是特殊的平行四边形；正 方形是特殊的长方形.

■圆
圆是平面上的一种曲线图形.同圆或等圆的直径 都相等,直径等于半径的2
倍.圆有无数条对称轴.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.

■扇形 由圆心角的两条半径和它所对的弧围成的图形.扇形是轴对称图
形.

■轴对称图形
1、如果一个图形沿着一条直线对折,两边的图形 能够完全重合,这个图形叫
做轴对称图形；这条窒息那叫做对称轴.
2、线段、角、等腰三角形、长方形、正方形等都是轴对称图形,他们的对
称轴条数不等.

■周长和面积
1、平面图形一周的长度叫做周长.
2、平面图形或物体表面的大小叫做面积.
3、常见图形的周长和面积计算公式