(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中中奥数辅导:集合概念及集合上的运算

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2020年09月06日 20:00
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全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第一讲 集合概念及集合上的运算

知识、方法、技能

高中一年级数学(上)( 试验本)课本中给出了集合的概念;一般地,符合某种条件(或
具有某种性质)的对象集中在一起就成为 一个集合.
在此基础上,介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、< br>无限集,集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十
余个新 名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题,形成了以集合为背
景的题目和用集合 表示空间的线面及其关系,表面平面轨迹及其关系,表示充要条件,描述
排列组合,用集合的性质进行组 合计数等综合型题目.

赛题精讲
Ⅰ.集合中待定元素的确定
充分利用 集合中元素的性质和集合之间的基本关系,往往能解决某些以集合为背景的高
中数学竞赛题.请看下述几 例.
例1:求点集
{(x,y)|lg(x
3
1
3
1< br>y)lgxlgy}
中元素的个数.
39
3
【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.
【略解】由所 设知
x0,y0,及x
3
1
3
1
yxy,

39
由平均值不等式,有
x
1
3
111
y 3
3
(x
3
)(y
3
)()xy,
3939
当且仅当
x
3
1
3
111
y,即 x
3
,y
3
(虚根舍去)时,等号成立.
3993
故所给点集仅有一个元素.
【评述】此题解方程中,应用了不等式取等号的 充要条件,是一种重要解题方法,应注意掌
握之.
例2:已知
A{y|yx4 x3,xR},B{y|yx2x2,xR}.求AB.

【思路分析】先进一步确定集合A、B.
1 7
22


【 略解】
y(x2)11,

y(x1)33.

∴A=
{y|y1},B{y|y3},故AB{y|1y3}.

【评述】此题应避免如下错误解法:
联立方程组
2


yx4x3,
2
消去
y,2x2x10.
因方程无实根,故
AB

.

2

yx2x2.

22
这里的错因是 将A、B的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛
物线的值域.
例3:已知集合
A{(x,y)||x||y|a,a0},B{(x,y)||xy| 1|x||y|}.


AB
是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则a的值为 .
【思路分析】可作图,以数形结合法来解之.
【略解】点集A是顶点为(a,0),(0 ,a),(-a,0),(0,-a)的正方形的四条边构成(如
图Ⅰ-1-1-1).
将< br>|xy|1|x||y|
,变形为
(|x|1)(|y|1)0,

所以,集合B是由四条直线
x1,y1
构成.
欲使
AB
为正八边形的顶点所构成,只有
a2或1a2
这两种情况.
(1)当
a2
时,由于正八形的边长只能为2,显然有
2a222,


a22
.
(2)当
1a2
时,设正八形边长为l,则
2l
,l222,

2
l
这时,
a12.

2
lcos45
综上所述,a的值为
22或2,

2,0).

图Ⅰ-1-1-1

如图Ⅰ-1-1-1中
A(2,0),B(2
【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题,题目并不难,读者应从解 题过程中体会
此类题目的解法.
Ⅱ.集合之间的基本关系
充分应用集合之间的基本 关系(即子、交、并、补),往往能形成一些颇具技巧的集合
综合题.请看下述几例.
2 7


例4:设集合
A{|nZ},B{n|nZ},C{n
在下列关系中,成立的是


A.
ABCD


n
2
1n1
|nZ},D{|nZ},

2 36
( )
B.
AB

,CD


D.
ABB,CD

C.
ABC,CD


12n1n12n1
,,nZ.

22366
n1n1
【解法1】∵
A{|nZ},B{n|nZ},C{n|nZ},D {|nZ},

2236
【思路分析】应注意数的特征,即
n

ABC,CD
.故应选C.

【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应,令
A

 {
n

n

|nZ},B

{n

|nZ},C

{n

|nZ},D{|nZ}.

2236
3
x
上的角的集
3
结论仍然不变,显然 A′为终边在坐标轴上的角的集合,B′为终边在x轴上的角的集
合,C′为终边在y轴上的角的集合 ,D′为终边在y轴上及在直线
y
合,故应选(C).
【评述】解法1是直接法 ,解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的
的角的集合,研究角的终边,思路清晰 易懂,实属巧思妙解.
例5:设有集合
A{x|x[x]2}和B{x||x|2 },求AB和AB
(其中[x]表示不
超过实数x之值的最大整数).
【思路分析】应首先确定集合A与B.
从而
1x2.显然,2A.

AB{x|2x2}.


xAB,则x[x]2,[x]{1,0,1,2},

从而得出
x
2
2
3([x]1)或x1([x]1).
于是
AB{1,3}

【评述】此题中集合B中元素x满足“|x|<3”时,会出现什么样的结果,读者试解之.
例6:设
f(x)x
2
bxc(b,cR),且A{x|xf(x),x R},B{x|xf[f(x)],xR}

如果A为只含一个元素的集合,则A=B.
【思路分析】应从A为只含一个元素的集合入手, 即从方程
f(x)x0
有重根来解之.
3 7


【略 解】设
A{

|

R},则方程f(x)x0
有重 根

,于是
f(x)x(x

),

2f(x)(x

)
2
x..从而xf[f(x)],

x[(x

)
2
(x

)]
2< br>(x

)
2
x,

整理得
(x

)[(x

1)1]0,

x,

均为实数
22
(x

1)
2
10,故x

.

B{

}A.

【评述】此类函数方程问题,应注意将之转化为一般方程来解之.
例7:已知
M{ (x,y)|yx},N{(x,y)|x(ya)1}.求MNN
成立时,a
需满足的充要条件.
【思路分析】由
MNN,可知NM.

【略解】
MNNNM.


x(ya)1得xyy(2a1)y(1a).
于是,

y(2a1)y(1a)0

2
22
22222
222
必有
yx,即NM.
而①成立的条件是
y
max

4(1a)(2a1)0,
解得
a1.

22
4(1a
2
)(2a1)
2
0,

4
1
4
【评述】此类求参数范围的问题,应注意利用集合的关系,将问题转 化为不等式问题来求解.
例8:设A、B是坐标平面上的两个点集,
C
r
 {(x,y)|xyr}.

若对任何
r0
都有
C
r
AC
r
B
,则必有
AB
.此命题是否正确?
【思路分析】要想说明一个命题不正确,只需举出一个反例即可.
【略解】不正确.
反例:取
A{(x,y)|xy1},
B为A去掉(0,0)后的集合. 容易看出
C
r
AC
r
B,
但A不包含在B中.
【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要,应注意掌握之.
Ⅲ.有限集合中元素的个数
有限集合元素的个数在课本P
23
介绍了如下性质:
一般地,对任意两个有限集合A、B,有
4 7
22
222

< p>
card(AB)card(A)card(B)card(AB).

我们还可将之推广为:
一般地,对任意n个有限集合
A
1
,A2
,,A
n
,

card(A
1
A2
A
3
A
n1
A
n
)

[card(A
1
)card(A
2
)card(A
3
)card(A
n
)][card(A
1
A
2
)card(A
1
A
3
)]

card (A
1
A
n
)card(A
n1
A
n
)][card(A
1
A
2
A
3
)] card(A
n2
A
n1
A
n
)]
(1)
n1
card(A
1
A
3
 A
n
).

应用上述结论,可解决一类求有限集合元素个数问题.
【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀,物理总评19人优秀,化
学总评有2 0人优秀,数学和物理都优秀的有9人,物理和化学都优秀的有7人,化学和数
学都优秀的有8人,试确 定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围(该
班有5名学生没有任一科是优秀).
【思路分析】应首先确定集合,以便进行计算.
【详解】设A={数学总评优秀的学生},B ={物理总评优秀的学生},C={化学总评优秀的学生}.

card(A)21,ca rd(B)19,card(C)20,card(AB)9,card(BC)7,card(C A)8.


card(ABC)card(A)card(B)ca rd(C)card(AB)card(BC)card(CA)

card(ABC),

card(ABC)card(ABC)2119209836.

这里,
card(ABC)
是数、理、化中至少一门是优秀的人数,
ca rd(ABC)
是这
三科全优的人数.可见,估计
card(ABC)
的范围的问题与估计
card(ABC)
的范
围有关.
注意到
card(ABC)min{card(AB),card(BC),card(CA)}7< br>,可知
0card(ABC)7
. 因而可得
36card(ABC)43.

又∵
card(AB C)card(ABC)card(U),其中card(ABC)5.


41card(U)48.
这表明全班人数在41~48人之间.
仅数学优秀的人数是
card(ABC).


card(A BC)card(ABC)card(BC)card(ABC)card(B)

5 7


card(C)card(BC)card(ABC)32.

可见
4card(ABC)11,
同理可知
3card(BAC)10,

5card(CBA)12.

故仅数学单科优秀的学生在4~11之间,仅 物理单科优秀的学生数在3~10之间,仅化学
单科优秀的学生在5~12人之间.
【评述】 根据题意,设计这些具有单一性质的集合,列出已知数据,并把问题用集合中元素
数目的符号准确地提出 来,在此基础上引用有关运算公式计算,这是解本题这类计数问题的
一般过程.

针对性练习题
1.设S={1,2,…,n},A为至少含有两项的、公差为正的等差数列, 其项都在S中,且添
加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列.求这种A的个数,( 这
里只有两项的数列也看做等差数列).
2.设集合S
n
={1,2,…, n},若X是S
n
的子集,把X中的所有数的和为X的“容量”.(规
定空集的容量为 0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为S
n
的奇(偶)子集.
(1)求证:S
n
的奇子集与偶子集个数相等.
(2)求证:当
n 3
时,S
n
的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.
(3)当
n3
时,求S
n
的所有奇子集的容量之和.
3 .设M={1,2,3,…,1995},A是M的子集且满足条件:当
xA
时,
1 5xA
,则A
中元素的个数最多是多少个.
4.集合
{x|1log
1
10
x
1
,xN*}
的真子集的个数是多少个?
2
k
5.对于集合
M{x|x3n,n1,2,3,4},N{x| x3,k1,2,3}.
若有集合S满足

MNSMN
,则这样的S有多少个?
6.求集合方程有序解的个数
XY{1,2,,n}.

7.设E={ 1,2,3,…,200},
G{a
1
,a
2
,a
3,,a
100
}E
,且G具有下列两条性质:

(Ⅰ)对任何
1ij100
,恒有
a
i
a
j
201;

(Ⅱ)

a
i1
100
i
10080.

试证:G中的奇数的个数是4的倍数,且G中所有数字的平方和为一个定数.

6 7








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