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2016年第27届“希望杯”八年级全国数学邀请赛试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，a﹣1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2014
2．（4分）已知关于x的不等式组
A．﹣1 B．0
的解集是﹣1＜x＜3，则（m+n）
C．1 D．2
＝（ ）
3．（ 4分）AsshowninFig，theperimeterofparallelquadrilatera lABCDis 10cm，ACintersectsBDatO，
andOEisperpendi culartoACatE，thentheperimeteroftriangleABEis（ ）
如图，▱ABCD的周长为10cm，AC交BD于点O，OE⊥AC，则△ABE的周长为（ ）

A．2cm
4．（4分）3
13
2015
B．3cm
+5除以3
2012
C．4cm D．5cm
﹣1，所得的余数是（ ）
11
A．3﹣1 B．3﹣1 C．32 D．8
5．（4分）如图，等边△ABE 的顶点E在正方形ABCD内，对角线AC和线段BE交于点F，
若BA＝，则△ABF的面积是（ ）

A． B． C．4﹣2 D．+
6．（4分）在平面直角坐标系中，已知点 A（1，1），B（3，2），点C在坐标轴上，若△ABC
是等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．（4分）一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数 ，且任意两个内角的度数都不相同，
则n的最大值是（ ）
A．6

B．26 C．93
第1页（共23页）
D．179

8．（4分）三条边都是质数的三角形可能是（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形⑤等边三角形．
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
9．（4分）a和b都是个位数字和十位数字相同的两 位数，c是各位数字都相同的四位数，
且a+b＝c，则a+b﹣c的最大值和最小值的差是（ ）
A．6600 B．3179 C．6723 D．3187
2
10．（4分）如图 ，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方
向运动，连接PD， 以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运
动到点A时，点F运动的路径长是 （ ）

A．8 B．10 C．3π D．5π
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
11．（4分）已知a，b是不超过1 5的自然数，若关于x的方程ax＝b的解满足＜x＜，
则这样的a，b共有 组．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE＝ED，且EF＝2FC，△ABF的面积是5，则正方
形ABCD的面积是 ．

13．（4分）计算：
14．（4分）若
+++…+＝ ．
，则|x|+|y|＝ ．
cm，动点P从点C出发，沿CB15．（4分）在△A BC中，∠CAB＝120°，AB＝AC＝10
以每秒2cm的速度向B移动，当PA和△ABC的腰 垂直时，点P移动的时间至少是
秒．
16．（4分）在平面直角坐标系中，已知两 点A（﹣2，0），B（4，0），点P（m，n）在一次
第2页（共23页）

函数y＝x+2的图象上，若∠APB＝90°，则|m|＝ ．
17．（4分）如图，四边形ABCD是长方形，AC⊥CE，F是AE的中点，CF＝4．设AB＝x ，
AD＝y，则的值为 ．

18．（4分）Thesolutionsetof 2|x+1|+x﹣2≤6 is ．
19．（4分）如图，l
1
∥l
2
∥l
3
，且l< br>1
和l
2
间的距离是5，l
2
和l
3
间的距 离是7，若正方形有三
个顶点分别在三条直线上，则此正方形的面积最小是 ．
< br>20．（4分）已知∠AOB＝60°，点P在∠AOB的内部，P
1
是点P关于OA的 对称点，P
2
是
点P关于OB的对称点，若OP＝6，则P
1
P2
＝ ．
三、解答题（共3小题，满分40分）
21．（10分）若 自然数x，y满足x＞y，x+y＝2A，xy＝G，若A，G都是两位数，且互为反
序数，求x，y． （注：数字排列顺序相反的两个数互为反序数，如12和21）
22．（15分）如图，在△ABC外 分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接
EG，AM是△ABC中BC边上的中 线，延长MA交EG于点H，求证：
（1）AM＝EG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG+BC＝2（AB+AC）．
2222
2

23．（1 5分）水平桌面上有甲、乙、丙三个柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：
1，用两个相同 的管子在容器的5cm高处连通（即管子底距离容器底5cm）．三个容器中，
第3页（共23页）

只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，以相同的速度向乙和丙 注水，1分钟后，乙的水
位上升cm．问：几分钟后，甲与乙的水位高之差是0.5cm？


第4页（共23页）

2016年第27届“希望杯”八年级全国数学邀请赛试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，a﹣1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】确定出点A的纵坐标比横坐标大，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵（a﹣1）﹣（a﹣2），
＝a﹣1﹣a+2，
＝1，
∴点A的纵坐标比横坐标大，
∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴第四象限内点的横坐标一定比纵坐标大，
∴点A（a﹣2，a﹣1）不可能在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号 是解
决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象
限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（4分）已知关于x的不等式组
A．﹣1 B．0
的解集是﹣1＜x＜3，则（m+n）
C．1 D．2
2014
＝（ ）
【分析】分别求得两个不等式的解集（含m、n的式子表示）， 然后根据不等式组的解集
为﹣1＜x＜3得到关于m、n的二元一次方程组，可求得m、n的值，最后即 可求得代数
式（m+n）
2014
的值．
【解答】解：解不等式x﹣3m＜0得：x＜3m，
解不等式n﹣3x＜得：x＞，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
∴，
第5页（共23页）

解得：
∴（m+n）
，
2014
＝1．
故选：C．
【点评】本题是一道综合性的题目．考查了不等式组和二元一次方程组的解法，将 不等
式组问题转化为方程组问题是解题的关键．
3．（4分）AsshowninFig，t heperimeterofparallelquadrilateralABCDis 10cm，ACin tersectsBDatO，
andOEisperpendiculartoACatE，then theperimeteroftriangleABEis（ ）
如图，▱ABCD的周长为10cm，AC交BD于点O，OE⊥AC，则△ABE的周长为（ ）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据平行四边形的性 质得到AO＝OC，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE，
于是得到BE+CE＝BC，即可得到 结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴BE+CE＝BC，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+BC，
∵▱ABCD的周长为10cm，
∴AB+BC＝5cm，
∴△ABE的周长＝5cm，
故选：D．
【点 评】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注
意掌握数形结合思想的 应用．
4．（4分）3
13
2015
+5除以3
2012
﹣1，所得的余数是（ ）
11
A．3﹣1 B．3﹣1
2012
C．32 D．8
【分析】把分子变形：变成有因数为3

﹣1的形式，所以把5化为32﹣27＝32﹣33，
第6页（共23页）

则：＝，分子再提公因式，相除得结果．
【解答】解：，
＝，
＝
＝27…32，
所以3
2014
，
+5除以3
2012
﹣1，所得的余数是32，
故选：C．
【点 评】本题因式分解的应用，考查了利用因式分解进行指数幂的运算，通过相等关系
的变形：5＝32﹣2 7，与提公因式相结合，同时要熟练掌握有余除法的计算过程，从而得
出结论．
5．（4分） 如图，等边△ABE的顶点E在正方形ABCD内，对角线AC和线段BE交于点F，
若BA＝，则△A BF的面积是（ ）

A． B． C．4﹣2 D．+
，【分析】过F点作F G⊥AB于G，根据三角函数用FG表示出AG，BG，再根据BA＝
得到关于FG的方程，解方程求得 FG，再根据三角形面积公式可求△ABF的面积．
【解答】解：过F点作FG⊥AB于G，
∵AC是对角线，
∴AG＝FG，
∵△ABE是等边三角形，
∴BG＝
∵BA＝

FG，
，
第7页（共23页）

∴FG+FG＝
，
，
解得FG＝
∴△ABF的面积＝
故选：A．
×÷2＝．

【点评】考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据三角函数求得FG，
涉及方程思 想的应用．
6．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（3，2），点C在坐标轴上 ，若△ABC
是等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8 < br>【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以
AC、A B为腰、以AC、BC为腰或以BC、AB为腰．则满足条件的点C可求．
【解答】解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本
题的关键 ．
第8页（共23页）

7．（4分）一个凸n边形， 它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，
则n的最大值是（ ）
A．6 B．26 C．93 D．179
【分析】由于多边形的外角和等于360度，从1 开始，找到不同的整数且和是360度，
再得到整数的个数最大值即为所求．
【解答】解：∵26×（26+1）÷2
＝26×27÷2
＝351
27×（27+1）÷2
＝27×28÷2
＝378
∴n的最大值是26．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．
8．（4分）三条边都是质数的三角形可能是（ ）
①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形⑤等边三角形．
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【分析】可通过分类讨论和特殊值法，确定正确答案．
【解答】解：三边都是质数，当三边都相等时（例如三边都为3，该三角形是等边三角形
也是锐 角三角形），所以①⑤有可能；当两边相等时（例如两边为3，一边为2，该三角
形是等腰三角形），所 以④有可能；当三边都不相等，且都是质数时，三角形不可能为直
角三角形，可能为锐角三角形和钝角三 角形．综上只有C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了质数的定义，三角形的三边关系． 知道“三边都是质数的三角形不
可能是直角三角形”是解决本题的关键．
9．（4分）a和b 都是个位数字和十位数字相同的两位数，c是各位数字都相同的四位数，
且a+b＝c，则a+b﹣c的 最大值和最小值的差是（ ）
A．6600 B．3179 C．6723
2
2
D．3187
【分析】由题意可知，c最小是1111，b最大是99 ，由a+b＝c可知，1111﹣99＝1012，
a最小是33，即a是33、44、55、66、7 7、88、99之中的数，c就是比a的平方大不超
第9页（共23页）

过100的各位数字相同的四位数，依次试算即可解答．
【解答】解：由分析可知：
a＝33，a＝1089，c＝1111，b＝22，符合题意；
a＝44，a＝1936，c＝2222，b＝296，不符合题意；
a＝55，a＝3025，c＝3333，b＝308，不符合题意；
a＝66，a＝4356，c＝4444，b＝88，符合题意；
a＝77，a＝5929，c＝6666，b＝737，不符合题意；
a＝88，a＝7744，c＝7777，b＝33，符合题意；
a＝99，a＝9801，c＝9999，b＝198，不符合题意；
满足要求的解有三组： ①a＝33，b＝22，c＝1111，②a＝66，b＝88，c＝4444，③a＝
88，b＝33 ，c＝7777，
则a+b﹣c的最大值和最小值的差是（33+22﹣1111）﹣（88+33﹣ 7777）＝﹣1056+7656
＝6600．
故选：A．
【点评】本题主要考查数的整除性，数字问题，确定a的取值范围是解答本题的关键．
10． （4分）如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方
向运动 ，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运
动到点A时，点F运 动的路径长是（ ）
2
2
2
2
2
2
2

A．8 B．10 C．3π D．5π
【分析】连结DE，作FH⊥BC于H，如图，根据 等边三角形的性质得∠B＝60°，过D
点作DE′⊥AB，则BE′＝BD＝2，则点E′与点E重合 ，所以∠BDE＝30°，DE＝
BE＝2，接着证明△DPE≌△FDH得到FH＝DE＝2，于是可 判断点F运动的
路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，当点P在E点时，作等边三角形DEF1
，
则DF
1
⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF
2
，作F
2
Q⊥BC于Q，则△DF
2
Q≌
△ADE，所以D Q＝AE＝8，所以F
1
F
2
＝DQ＝8，于是得到当点P从点E运动到点A 时，
第10页（共23页）

点F运动的路径长为8．
【解答】解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′＝BD＝2，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE＝30°，DE＝
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF＝60°，DP＝DF，
∴∠EDP+∠HDF＝90°
∵∠HDF+∠DFH＝90°，
∴∠EDP＝∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
，
∴△DPE≌△FDH，
∴FH＝DE＝2，
，
BE＝2，
∴点P从点E运动到点A时，点F运 动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2
当点P在E点时，作等边三角形DEF
1
，∠BDF1＝30°+60°＝90°，则DF
1
⊥BC，
当点P在A点时，作 等边三角形DAF
2
，作F
2
Q⊥BC于Q，则△DF
2
Q ≌△ADE，所以
DQ＝AE＝10﹣2＝8，
∴F
1
F
2
＝DQ＝8，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．
故选：A．

【 点评】本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点
第11页（共23页 ）

运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
11．（4分）已知a，b是不超过1 5的自然数，若关于x的方程ax＝b的解满足＜x＜，
则这样的a，b共有 6 组．
【分析】根据题意可以求得a、b的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵ax＝b，
∴x＝，
∵＜x＜，a，b是不超过15的自然数，
即
解得，
，
或，
故答案为：6．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次方程的解， 解题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件．
12．（4分）如图，在正方形ABCD 中，AE＝ED，且EF＝2FC，△ABF的面积是5，则正方
形ABCD的面积是 12 ．

【分析】方法1、过点F做AD的平行线交AB于M，CD于N，即可得到FM：FN＝5：
6，求出三角形ANB的面积，而正方形面积是三角形ANB面积的2倍，即可．
方法2、先判断出FG＝AB，再用△ABF的面积建立方程求出AB的平方，即可得出结
论．
【解答】解：方法1、如图，
第12页（共23页）

过点F作MN∥AD，连接BN，AN，
∴
∵点E是AD中点，
∴DE＝AD，
∴
∴，
，
，
∵S
△
AFB
＝AB×FM，S
△
AMB
＝AB×MN，
∴，
∵S
△
AFB
＝5，
∴S
△
ANB
＝6，
∴S
正方形
ABCD
＝2S
△
ANB
＝12，
故答案为12．
方法2、
连接FD，过点F作GH∥BC，连接BE交GH于N，
易证，GN＝FH，
过点E作EP⊥BC交HG于M，
∴MN＝MF，
易证，FM＝2FH，
第13页（共23页）

∴FG＝AD＝AB，
∵△ABF的面积是5，
∴AB×FG＝AB×AB＝5，
∴AB＝12，
∴正方形ABCD的面积为12．
故答案为12
【点评 】此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，中点的定义，平行线分线段
成比例定理，比例的基本 性质，解本题的关键是求出
13．（4分）计算：+++…+
，难点是作出辅助线．
＝ ．
2
【分析】化成最简二次根式，然后计算分式的减法即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝．
．

+﹣+﹣+…+﹣
故答案为
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次
根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特
点，灵活 运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．（4分）若，则|x|+|y|＝ 4或8 ．
【分析】根据方程组可以分别求得x、y的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵
①×2﹣②，得
﹣|x|＝﹣3，
∴|x|＝3，x＝±3，
∴|x﹣y|＝2，x﹣y＝±2，
当x＝3时，y＝5或x＝1，则|x|+|y|＝3+5＝8或|x|+|y|＝3+1＝4，
当x＝﹣3时，y＝﹣1或y＝﹣5，则|x|+|y|＝3+1＝4或|x|+|y|＝3+5＝8，
第14页（共23页）

，

故答案为：4或8．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是明确题意，计算出题目中x、y的值．
1 5．（4分）在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC＝10cm，动点P从点C出发，沿CB
以每秒2cm的速度向B移动，当PA和△ABC的腰垂直时，点P移动的时间至少是 5
秒． 【分析】在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，可得∠B＝∠C＝30°，过点A作AD
⊥BC于D，即可得出BC的长，本题主要分两种情况，
①当PA⊥AC，即有PC＝2AP，利用勾股定理即可得出PC的长，即可得出BP；
②当PA垂直AB时，解答同①．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，根据题意，可得BD＝15，即BC＝30；
①当PA⊥AC，即PC＝2AP，
在Rt△PAC中，可得PC＝20，BP＝10，即此时点P经过5秒．
②当PA⊥AB时，即PB＝2AP，在Rt△PAB中，可得PB＝20，即点P已经经过10秒．
∴点P移动的时间至少是5秒，
故答案为：5．

【点评】本题主要考查是解含有30°角的直角三角形，要求学生能够熟练应用．
16．（4 分）在平面直角坐标系中，已知两点A（﹣2，0），B（4，0），点P（m，n）在一次
函数y＝x +2的图象上，若∠APB＝90°，则|m|＝ ．
【分析】由点P在一次函数图象上，可用m表 示出n，再由点的坐标可分别表示出AB、
AP、BP的长度，再根据勾股定理可得到关于m的方程，求 解即可．
【解答】解：
∵点P（m，n）在一次函数y＝x+2的图象上，
∴n＝m+2，
∵A（﹣2，0），B（4，0），P（m，m+2），
∴AB＝ |4﹣（﹣2）|＝36，AP＝（m+2）+（m+2），BP＝（m﹣4）+（m+2）
第15页（ 共23页）

2222222

2
，
∵∠APB＝90°，
∴AP+BP＝AB，即（m+2）+（m+2）+（m﹣4）+（m+2）＝36，
解得m＝±
∴|m|＝
故答案为：
，
．
，
2 222222
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征和勾股定理，利用点的坐标分别表示出△ABP各边的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．
17．（4分）如图，四边形ABC D是长方形，AC⊥CE，F是AE的中点，CF＝4．设AB＝x，
AD＝y，则的值为 2 ．

【分析】由矩形的性质得出CD＝AB＝x，∠ADC＝∠CDF＝90°，由直角三角形斜 边上
的中线性质得出CF＝AE＝AF＝4，求出DF＝4﹣y，在Rt△CDF中，由勾股定理得出< br>得：CF＝＝4，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝x，∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∵AC⊥CE，F是AE的中点，
∴CF＝AE＝AF＝4，
∴DF＝4﹣y，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF＝
∴
∴
故答案为：2．
第16页（共23页）

＝4，
＝4，
＝＝2；

【点评】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、 分数指数
幂等知识；熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
18．（4分）Thesolutionsetof 2|x+1|+x﹣2≤6 is ﹣10≤x≤2 ．
【分析】根据绝对值的性质分x≥﹣1、x＜﹣1两种情况，分别去绝对值符号化 简不等式，
进一步求解可得．
【解答】解：当x≥﹣1时，原不等式可化为2（x+1）+x﹣2≤6，
解得：x≤2，
∴﹣1≤x≤2；
当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣2（x+1）+x﹣2≤6，
解得：x≥﹣10，
∴﹣10≤x＜﹣1；
综上，﹣10≤x≤2，
故答案为：﹣10≤x≤2．
【点评】本题主要考查解绝对值不等式的能力，根据绝对值性质 去绝对值符号化简原式
是解题的关键．
19．（4分）如图，l
1
∥l2
∥l
3
，且l
1
和l
2
间的距离是5，l< br>2
和l
3
间的距离是7，若正方形有三
个顶点分别在三条直线上，则此 正方形的面积最小是 74 ．

【分析】当正方形的第4个顶点落在l
2
与l
3
之间时，正方形的边长最小，如图，四边形
ABCD为正方形，作CE⊥l2
于E，AF⊥l
2
于F，先证明△CBE≌△BAF得到•BE＝AF＝5，< br>再利用勾股定理得到BC＝BE+CE＝74，则•正方形ABCD的面积为74，于是可判断正
方形的面积最小是74．
【解答】解：当正方形的第4个顶点落在l
2
与l
3
之间时，正方形的边长最小，如图，四
边形ABCD为正方形，作CE⊥l
2
于E，AF⊥l
2
于F，
则AF＝5，CE＝7，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABF+∠CBE＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，
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222

∴∠CBE＝∠BAF，
在△CBE和△BAF中
，
∴△CBE≌△BAF，
∴BE＝AF＝5，
在Rt△BCE中，BC＝BE+CE＝5+7＝74，
∴正方形ABCD的面积为74，
即正方形的面积最小是74．
故答案为74．
22222

【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是 直角．解决本
题的关键是画出几何图形和构建全等三角形．
20．（4分）已知∠AOB＝6 0°，点P在∠AOB的内部，P
1
是点P关于OA的对称点，P
2
是
点P关于OB的对称点，若OP＝6，则P
1
P
2
＝ 6 ．
【分析】根据轴对称的性质，结合等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示： < br>∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P
1
、P
2，
∴OP＝OP
1
＝OP
2
＝6，且∠P
1
OP
2
＝2∠AOB＝120°，
∴∠P
1
＝30°，
作OM⊥P
1
P
2
于M，
则P
1
M＝P
2
M，OM＝OP
1
＝3，
∴P
1
M＝OM＝3，
； ∴P
1
P
2
＝2P
1
M＝6
故答案为：6．
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【点评】此题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、< br>勾股定理．熟练掌握轴对称的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
三、解答题（共3小题，满分40分）
21．（10分）若自然数x，y满足x＞y，x+y ＝2A，xy＝G，若A，G都是两位数，且互为反
序数，求x，y．（注：数字排列顺序相反的两个数 互为反序数，如12和21）
【分析】设A＝10a+b，则G＝10b+a，其中a和b都是1到9 的自然数，则求出（x+y）
2
2
＝400a+80ab+4b，（x﹣y）＝2×3 ×11（a+b）（a﹣b），求出x﹣y＝66，x+y＝130，
22222
解方程组求出 即可．
【解答】解：设A＝10a+b，则G＝10b+a，其中a和b都是1到9的自然数，则
x+y＝20a+2b，xy＝（10b+a）＝100b+20ab+a，
∴（x+y）＝（20a+2b）＝400a+80ab+4b，
（x﹣y）＝（x+y）﹣4xy＝396a﹣396b＝2×3×11（a+b）（a﹣b），
因为x、y都是自然数，所以（x﹣y）是完全平方数，
所以（a+b）和（a﹣b）中必有一个是11的倍数，
∵a和b都是1到9的自然数，
∴a+b＝11，
于是a﹣b也是一个完全平方数，
只能a＝6，b＝5，
所以（x﹣y）＝（2×3×11），
∴x﹣y＝66，
x+y＝20a+2b＝130，
解得：x＝98，y＝32．
【点评】本题考查 了解二元一次方程组，完全平方公式的应用，能选择适当的方法得出x
﹣y和x+y的值是解此题的关键 ．
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22
2
222222
2222
222

22．（15分）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：
（1）AM＝EG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG+BC＝2（AB+AC）．
2222

【分析】（1）延长AM到点N，使MN＝MA，连接BN，先证得△MBN≌△MCA，得到
∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，从而得到BN∥AC，NB＝AG，进一步得到∠NBA＝∠GAE，
根据SAS证得△NBA≌△GAE，即可证得结论；
（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠ AEG，进一步求得∠HAE+∠AEH＝90°，即可证
得∠AHE＝90°，
得到AH⊥EG；
（3）作AT⊥BC于T，则BM＝BT+TM，CM＝CT﹣TM，根据 勾股定理得到AB＝BT+AT，
AC＝CT+AT，AT＝AM﹣TM，从而得到AB＝AM+BM（ BT﹣TM）①，AC＝AM+CM
（CT+TM）②，①+②得：AB+AC＝2AM+BM（BT﹣ TM）+CM（CT+TM），由BM＝
CM，从而得到AB+AC＝2AM+BM（BT﹣TM+CT +TM）＝2AM+BM（BT+CT）＝2AM+BM
•BC，即可证得结论．
【解答】（1）证明：延长AM到点N，使MN＝MA，连接BN，
∵AM是△ABC中BC边上的中线，
∴CM＝BM，
在△MBN和△MCA中

∴△MBN≌△MCA（SAS），
∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，
∴BN∥AC，NB＝AG，
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22222
222
2222222222
222

∴∠NBA+∠BAC＝180°，
∵∠GAE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠NBA＝∠GAE，
在△NBA和△GAE中

∴△NBA≌△GAE（SAS），
∴AN＝EG，
∴AM＝EG；
（2）证明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，
∵∠HAE+∠BAN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝90°，
∴∠AHE＝90°，
即AH⊥EG；
（3）证明：连接CE、BG，
易证△ACE≌△ABG
∴CE⊥BG，
∴EG+BC＝CG+BE，
∴EG+BC＝2（AB+AC），
由（1）可知AM＝EG，
∵BM＝BC，
∴AB+AC＝2（EG）+BC•BC，
∴EG+BC＝2（AB+AC）．
2222
222
2222
2222

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【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质 ，三角形全等的判定和性质，平
行线的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解 题的关键．
23．（15分）水平桌面上有甲、乙、丙三个柱形容器（容器足够高），底面半径之比为 1：2：
1，用两个相同的管子在容器的5cm高处连通（即管子底距离容器底5cm）．三个容器中，
只有甲中有水，水位高1cm，如图所示，以相同的速度向乙和丙注水，1分钟后，乙的水
位上 升cm．问：几分钟后，甲与乙的水位高之差是0.5cm？

【分析】先计算出注水1分钟 ，丙的水位上升cm，水开始向甲容器流入，然后分三种
情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的 水位低于乙的水位时，且甲的水位不变
时，③当甲的水位低于乙的水位，但乙的水位已达到或超过管子的 底部，使甲的水位上
升时，讨论计算即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器 足够高），底面半径之比为1：2：1，
且注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴注水1分钟，丙的水位上升×2＝

①当乙的水位低于甲的水位时，
根据题意得，1﹣t＝0.5，
∴t＝，
②当甲的水位低于乙的水位时，且甲的水位不变时，
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2
cm．

根据题意得，
∴t＝，
但＝6＞5，
，
说明此时丙容器已向乙容器溢水了，
∵5+
而
＝（min），
（cm），
即经过（min）丙容器的 水位达到了管子底部，此时乙的水位上升了（cm），当甲的
水位暂时不变，
∴
∴t＝（min）
，
③当甲的水位低于乙的水位，但乙的水位已达到或超过管子的底部，使甲的水位上升时，
因为乙的水位到达管子底部的时间为
（min），
∴5﹣1﹣2×
∴t＝（min），
min，后，甲与乙的水位高度之差为0.5cm．
，
综上所述，min，
【点评】此题是应用类问题，主要考查了应用题的解题步骤，解本题的关键是读懂题意，
难点是分类讨 论．



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