儿童节英语-物业年终总结

初中列方程解应用题（行程问题）专题
行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。我们常用的基本公式
是:

路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度.

行程问题是个非常庞大 的类型,多年来在考试中屡用不爽,所占比例居高不下。
原因就是行程问题可以融入多种练习,熟悉了行 程问题的学生,在多种类型的习题面
前都会显得得心应手。下面我们将行程问题归归类，由易到难，逐步 剖析。

1. 单人单程：

例1：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后， 列车在两城市间的运行速度从
80kmh
提高到
100kmh
,运行时间缩短 了
3h
。甲，乙两城市间的路程是多少?

【分析】如果设甲，乙两城市间的 路程为
x
km
,那么列车在两城市间提速前的运
行时间为
xx
h
，提速后的运行时间为
h
.

80100
【等量关系式】提速前的运行时间—提速后的运行时间=缩短的时间.

【列出方程】
xx
3
.

80100
例2： 某铁路桥长1000
m
，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥
到完全过桥 共用了1
min
，整列火车完全在桥上的时间共
40s
。求火车的速度和长度 。

【分析】如果设火车的速度为
x
ms
，火车的长度为
y
m
，用线段表示大桥和火
车的长度，根据题意可画出如下示意图：

1000

60x

1000

y 40x

y

【等量关系式】火车
1min
行驶的路程=桥长+火车长；

火车
40s
行驶的路程=桥长-火车长


60x1000y
【列出方程组】


40x1000y

2.单人双程（等量关系式：来时的路程=回时的路程）：

例1：某校组织学生乘汽车去自然 保护区野营，先以
60kmh
的速度走平路，后
又以
30kmh
的速 度爬坡，共用了
6.5h
;返回时汽车以
40kmh
的速度下坡，又以
50kmh
的速度走平路，共用了
6h
.学校距自然保护区有多远。
【分析】如果设学校距自然保护区为
x
km
，由题目条件：去时用了
6. 5h
，则有些
x
kmh
，然后用去时走平路的速度+去时爬坡的速度=总的< br>6.5
x
速度，得出方程
6030
，这种解法是错误的，因为速度 是不能相加的。不妨设
6.5
x
平路的长度为
x
km
，坡路 的长度为
y
km
，则去时走平路用了
h
，去时爬坡用了
60
yy
h
，而去时总共用了
6.5h
，这时，时间是可以相加的；回来 时汽车下坡用了
h
，
3040
同学会认为总的速度为

回来时走平路用了
(xy)km
。

x
，而回来时总共用了
6h
.则学校到自然保护区的距离为
50
【等量关系式】去时走平路用的时间+去时 爬坡用的时间=去时用的总时间

回来时走平路用的时间+回来时爬坡用的时间=回来时用的总时
间

xy
6.5
【列出方程组】
6030

xy
6
5040
3.双人行程:

（Ⅰ）单块应用：只单个应用同向而行或背向而行或相向而行或追击问题。

1)同时同地同向而行：A,B两事物同时同地沿同一个方向行驶

例：甲车的速度为
60kmh
，乙车的速度为
80kmh
，两车同时同地出发，同向而
行。经过多少时间两车相距
280km
。

【分析】如果设经过
x< br>h
后两车相距
280km
，则甲走的路程为
60xkm
，乙走 的路
程为
80xkm
，根据题意可画出如下示意图：


乙
甲
80x km


60x km 280km

【等量关系式】甲车行驶的距离+280=乙车行驶的距离

【列出方程】
60x280280x

2）同时同地背向而行：A，B两事物同时同地沿相反方向行驶

例：甲车的速度为< br>60kmh
，乙车的速度为
80kmh
，两车同时同地出发，背向而
行 。经过多少时间两车相距
280km
。

【分析】如果设经过
xh
后两车相距
280km
，则甲走的路程为
60xkm
，乙走的 路
程为
80xkm
，根据题意可画出如下示意图：


60x km
280 km

【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=280

【列出方程】
60x80x280

3）同时相向而行（相遇问题）:

例:甲，乙两人在相距
10km
的A,B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，
两人同时处发
1.5h
后相遇， 求甲，乙两人的速度。

【分析】如果设甲的速度为
xkmh
，则乙的速度为
2xkmh
，甲走过的路程为
1.5xkm
，乙走过的路程为
1.5 2xkm
，根据题意可画出如下示意图：

甲 乙

80x km

甲
A
1.5x km 1.5×2x km
B

10 km

280 km

乙

【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=10

【列出方程】
1.5x1.52x10

4）追及问题：
< br>例：一对学生从学校步行去博物馆，他们以
5kmh
的速度行进
24min后，一名教
师骑自行车以
15kmh
的速度按原路追赶学生队伍。这名教师从出发 到途中与学生队
伍会合共用了多少时间？

【分析】如果设这名教师从出发到途中与学 生队伍会合共用了
x
h
，则教师走过
的路程为
15xkm
， 学生走过的路程为教师出发前走过的路程加上教师出发后走过的
路程，而学生在教师出发前走过的路程为
5
24
km
，学生在教师出发后走过的路程
60
为
5xkm
，又由于教师走过的路程等于学生走过的路程。根据题意可画出如下示意图：

学生
5
24
km

60
5x km

教师 15x km

【等量关系式】教师 走过的路程=学生在教师出发前走过的路程+学生在教师出

发后走过的路程

【列出方程】
15x5
24
5x

60
5）不同时同地同向而行（与追击问题相似）：

例:甲，乙两人都从A 地出发到B地，甲出发
1h
后乙才从A地出发，乙出发
3h
后
甲，乙 两人同时到达B地，已知乙的速度为
50kmh
，问，甲的速度为多少？

【 分析】如果设甲的速度为
x
kmh
，则乙出发前甲走过的路程为
x
k m
，乙出发
后甲走过的路程为
3xkm
，甲走过的路程等于乙出发前甲走过的 路程加上乙出发后甲
走过的路程，而乙走过的路程为
503km
，甲走过的路程等于 乙走过的路程。根据题
意可画出如下示意图：

甲 x km 3x km

乙 50×3 km

【等量关系式】乙走过的路程=乙出发前甲走过的路程加上乙出发后甲走过的路
程

【列出方程】
503x3x

6）不同时相向而行

例：甲，乙两站相距
448km
，一列慢车从甲站出发，速度为
60kmh
； 一列快车
从乙站出发，速度为
100kmh
。两车相向而行，慢车先出发
32 min
，快车开出后多少
时间两车相遇？

【分析】如果设快 车开出后
x
h
两车相遇，则慢车走过的路程为
60x60
快车走 过的路程为100
x
km
。根据题意可画出如下示意图：

慢车
60
32

60
32
km
，
60
60x 100x 快车

448km

【等量关系式】总路程=快车出发前慢车走过的路程+快 车出发后慢车走过的路
程+快车走过的路程

【列出方程】
44860
32
60x100x

6 0
注：涉及此类问题的还有同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行、不同
时不同地同向而 行、不同时不同地背向而行，与上面解法类似，只要画出示意图问
题就会迎刃而解，就不再一一给出解答 了，此类问题会在后面练习中给出习题。

（Ⅱ）结合应用：把同向而行、背向而行、相向而行、追击问题两两结合起来应
用。

1） 相向而行+背向而行

例：A，B两地相距
36km
，小明从 A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自行车到
A地，两人同时出发相向而行，经过
1h
后两人相遇；再过
0.5h
，小明余下的路程是
小丽余下的路程的2倍。小明和小丽骑 车的速度各是多少？

【分析】如果设小明骑车的速度为
x
，小丽骑车 的速度为
y
，相遇前小明走过的
路程为
x
，小丽走过的路程为
y
；相遇后两人背向而行，小明走过的路程为
0.5x
，小

丽走过的路程为
0.5y
。根据题意可画出如下示意图：

小明 小丽

相遇前
A
36km



x-0.5y 0.5y
小丽
0.5x y-0.5x

小明

x y

B

【等量关系式】相遇前小明走过的路程+相遇前小丽走过的路程=总路程

相遇后小明余下的路程=2×相遇后小丽余下的路程


xy36


y0.5x2(x0.5y)
【列出方程组】

2)同向而行+相向而行

例：一个自行车队进行训练，训 练时所有队员都以35千米时的速度前进，突
然，1号队员以45千米时的速度独自行进，行进10千米 后掉转车头，仍以45千
米时的速度往回骑，直到与其他队员会合。1号队员从离队开始到与其他队员重 新
会合，经过了多长时间？

【分析】由题意“1号队员以45千米时的速度独自行进 ，行进10千米后掉转

车头”可知1号队员从离队到调转车头前的时间为
10< br>h
，不妨设1号队员从调转车
45
头到与其他队员重新回合的时间为
x
h
。根据题意可画出如下示意图：

所有队员
1号队员

35
10

45

35x
10km

45x


【等量关系式】1号队员从离队到调 转车头这段时间所有队员走的路程+1号队员
从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内所有队员走的 路程+1号队员从调转车
头到与其他队员重新回合这段时间内1号队员走的路程=10。

【列出方程】
35
10
35x45x10

45
4.行程问题中的工程问题：

乍一看，题目中就时间已知，速度、路程 都未知，此类问题同学们做起来觉得无
从下手。其实只要把路程看做单位“1”（至于为什么，结合以下 例题讲解），这就相
当于把行程问题转化为工程问题。

例：甲开汽车从A地到B地需 要
6h
，乙开汽车从A地到B地需要
4h
，如果甲，
乙两人分别从A ，B两地出发，相向而行，经过多少小时后两车相遇。

【分析】题目中就时间已知，速度、路 程都未知，有些同学想如果知道A与B的
距离，就可以得出A与B的速度，那么问题就迎刃而解了，可是 路程未知呀！是不
是路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇呢？为此，我们不妨设A与B的

距离为
a
,经过
xh
后两车相遇。我们可以立马得出关系 式：
x
两边的
a
消去，得到方程

x
6
a
6
a
xa
，可以把
4
x12
1
，立马得出
x
。说明路程无论取什么值，都经
45
过相同的时间两车相遇。 遇到类似问题，我们往往把路程看做单位“1”。

5.环形跑道问题：

环 形跑道问题也是形成问题的一种，环形跑道问题就是闭路线上的追击问题。
在环形问题中，若两人所走同 时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走
路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所 走路程和为一周长。

例1：运动场跑道周长
400m
，小红跑步的速度是爷 爷的倍，他们从同一地点
沿跑道的同一方向同时出发，
5min
后小红第一次追上了爷 爷。你知道他们的跑步速
度吗？那是不是再过
5min
两人第二次相遇呢？如果不是， 请说明理由；如果是，用
方程式表示。

【分析】不妨设爷爷的跑步速度为
x
mmin
，则小红的跑步速度为
x
mmin

5
3
5
3
【等量关系式】小红跑的路程—爷爷跑的路程=400m

【列出方程】
5x5x400

5
3
注：再过
5min
两人第二次相遇，用上面那个方程式就可以表示出来。

例2：甲，乙两车 分别以均匀的速度在周长为
600m
的圆形轨道上运动。甲车的
速度较快，当两车反向 运动时，每
15s
相遇一次;当两车同向运动时，每
1min
相遇一
次，求两车的速度。

【分析】设甲，乙两车的速度分别为
x
ms
和
y
ms
。

【等量关系式】同向而行甲所走的路程- 同向而行乙所走的路程=一周长

反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周长


15x15y600
【列出方程组】


60x60y600

6.水流问题

一般是研究船在“流水” 中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，
它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作 用。基本概念和公式有：

船速：船在静水中航行的速度
水速：水流动的速度

顺水速度：船顺流航行的速度

逆水速度：船逆流航行的速度

顺速=船速＋水速

逆速=船速－水速

船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2

流水速度=（顺流速度—逆流速度）÷2

路程=顺流速度× 顺流航行所需时间

路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例 1：某船在
80km
的航道上航行，顺流航行需
1.6h
，逆流航行需
2h
。求船在静
水中航行的速度和水流的速度。

【分析】设船在静水中航 行的速度和水流的速度分别为
x
和
y
，顺流的速度为
8080
kmh
，逆流的速度为
kmh
，再利用上面的公式。

1.62
【等量关系式】顺速=船速＋水速

逆速=船速－水速

80
xy
【列出方程】
1.6

80
xy
2
例2：甲，乙两艘货船，甲船在前30千米处逆水而 行，乙船在后追赶。甲乙两
人的静水速度分别是36千米小时和42千米小时,水流速度是4千米小时， 求甲
船行多少时间被乙船追上？

【分析】已知甲乙两人的静水速度和水流速度，可以 分别求出甲乙两人的逆水速
度，分别为32千米小时和38千米小时。不妨设甲船行
x
小时后被乙船追上，再
根据公式路程=逆流速度×逆流航行所需时间，则甲行驶的路程为
32x
千米，乙行驶
的路程为
38x
千米，这样就可以把此问题转化为追击问题。< br>
【等量关系式】甲行驶的路程+30=乙行驶的路程

【列出方程】
32x3038x