雷锋在我身边-蚌埠经济技术职业学院

行程问题经典题型（一）
1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半 时间平均每分钟行80米，后一半时间平
均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？
分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）2=75米，走完全程的时间是60007 5=80分
钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是300080=37.5分钟，后一半路程时间 是80-37.5=42.5
分钟
解法2：设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40分钟
因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间 是
300080=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟
答：他走后一半路程用了42.5分钟。
2、小明从家到学校有两条一样长的路，一 条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明
上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是 平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少
倍？
分析：解法1：设路程为180，则 上坡和下坡均是90。设走平路的速度是2，则下坡速度是3。
走下坡用时间903=30，走平路一共 用时间1802=90，所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样
距离的平路时用时间902=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的4560=0.75倍。

解法2： 因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设
距离是1份，时间 是1份，则下坡时间=0.51.5=13，上坡时间=1-13=23，上坡速度=（12）（23）
=34=0.75
解法3：因为距离和时间都相同，所以：12*路程上坡速度+12*路程1. 5=路程1，得：上坡
速度=0.75
答：上坡的速度是平路的0.75倍。

3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时 多行驶8千
米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？
分析：解法１，第二小时比第一小时多走6千米，说明逆水走1小时还差62=3千米没到乙地。< br>顺水走1小时比逆水多走8千米，说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路< br>程差是5-3=2千米，等于1小时路程差的14，所以顺水速度是每小时5*4=20千米（或者说逆水 速
度是3*4=12千米）。甲、乙两地距离是12*1+3=15千米
解法２，顺水每 小时比逆水多行驶8千米，实际第二小时比第一小时多行驶6千米，顺水行驶时
间=68=34小时，逆 水行驶时间=2-34=54，顺水速度：逆水速度=54：34=5：3，顺水速度=8*5
（5-3 ）=20千米小时，两地距离=20*34=15千米。
答：甲、乙两地距离之间的距离是15千米。
4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙 站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往
乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑 车前往甲站。他出发的时候，恰好有一
辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达 甲站时，恰好又有一辆电车从甲站
开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？
分析：骑车人 一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发
出。骑车中，甲站发出 第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5*8=40（分钟）。
答：他从乙站到甲站用了40分钟。
5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向 同一方向游进。现在甲位于乙的前
方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米 。问：甲现在离起点多少米？
分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同 距离，两人各游了（98-20）
2=39（米），甲现在位置：39+20=59（米）
答：甲现在离起点59米。

6、甲、乙两辆汽车同 时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车
在离两地中点32千米处相遇 。问：东西两地的距离是多少千米？
分析：解法1：甲比乙1小时多走8千米，一共多走32*2 =64千米，用了648=8小时，所以距
离是8*（56+48）=832（千米）
解 法2：设东西两地距离的一半是X千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得X=416，距 离
是2*416=832（千米）
解法3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时， 甲比乙多行=（7-6）（7+6）=113，两地距离=2*32
（113）=832千米。
答：东西两地间的距离是832千米。
7、华步行以每小时4千米的速度从学校出发 到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老
师闻讯前往迎接，每小时比华多走1.2千米。 又过了1.5小时，明从学校骑车去营地报到。结果3
人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多 少千米？
分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与相遇时间是老师出发后（20.4- 4*0.5）（4+5.2）=2
（小时），相遇地点距离学校4*（0.5+2）=10（千米），所 以骑车人速度=10（2+0.5-2）=20（千
米）
答：骑车人每小时行驶20千米。
8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5 小时相遇。已知慢车从乙地到甲
地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留 1小时后返回，那么两车从第一
次相遇到第二次相遇需要多少时间？
分析：解法１，快车 5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离，慢车速度快车速度
=57.5=23。两 车行1个单程用5小时，如果不停，再次相遇需要5*2=10小时，如果两车都停0.5
小时，则需要 10.5小时再次相遇。快车多停30分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要30（1+23）
=18 （分钟）所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟
解法2：回程慢车比快车多开半小时， 这半小时慢车走了0.512.5=125全程，两车合起来少开
125，节省时间=5*125=0. 2小时，所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小时。
答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。

9、某校和某工厂之 间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1
小时。这位劳模在下午1时便 离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在
下午2时40分到达。问：汽车速 度是劳模步行速度的几倍？
解：汽车走单程需要602=30分钟，实际走了402=20分钟的 路程，说明相遇时间是2：20，2
点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要 走30-20=10分钟，所以车速劳模速度
=8010=8
答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。
10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分 别由A，B两地同时出发。如果相向而行，
0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多 少小时？
分析：两人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是 AB，AB=速度差
*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。所以： 追及时间=速度和速度差
*0.5=2.40.4*0.5=3（小时）
答：甲追上乙需要3小时。

11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔 子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需
跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。问狗追上兔时，共 跑了多少米路程？
分析：狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗5步的 距离，距离缩
小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）
答：狗追上兔时，共跑了60米。
12、、两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。的速度比 的速度每小时快4千米，比早到
20分钟通过途中乙地。当到达乙地时，又前进了8千米。那么甲、乙两 地之间的距离是多少千米？
分析：解法1，速度每小时8（2060）=24（千米），速度每小 时24-4=20（千米），到乙时超
过距离是20*（2060）=203（千米）所以甲乙距离=2 4*（2034）=40（千米）
解法2：比每小时快4千米，现共多前进了8千米，即共骑了8 4=2小时，从甲到乙用了2*60-20=100
分钟，所以甲乙两地距离=（10020）*8=4 0千米。
答：甲、乙两地之间的距离是40千米。

13、上午8时 8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米
的地方追上了他；然后 爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8
千米。问这时是几时几分？
分析：爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家8千米，说明爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=16分钟，时间是8点8分+8分+16分=8点32分。
答：这时8点32分。
14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它 们从起点一起出发后，乌龟
不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000 米；兔子奋起直追，但乌
龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？
分析：兔子跑了10000-100=9900米，这段时间里乌龟跑了9900*15=1980 米，兔子睡觉时乌龟
跑了10000-1980=8020米
答：兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。
15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿 车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大
轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后， 才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途
没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地 。又知大轿车是上午10时从甲地
出发的，求小轿车追上大轿车的时间。
分析：解法1， 大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大车用的时间与小车用的
时间之比是速度 比的倒数，即10.8=54，所以大车行驶时间是16（5-4）*5=80分钟，小车行驶时
间是8 0-16=64分钟，走到中间分别用了40和32分钟。大车10点出发，到中间点是10点40分，离
开中点是10点45分，到达终点是11点25分。小车10点17分出发，到中间点是10点49分，比大< br>车晚4分；到终点是11点21分，比大车早4分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5分。
解法2：大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，大轿车的用时是小 轿车用时的10.8=1.25倍，
大轿车比小轿车多用时17-5+4=16分钟，大轿车行驶时间= 16*（1.250.25）=80分钟，小轿车行驶
时间=16（0.25）=64分钟，小轿车比大 轿车实际晚开17-5=12分钟，追上需要=12*0.8（1-0.8）
=48分钟，48+17= 65分=1小时5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是11时5分
答：小轿车追上大轿车的时间是11点5分。

行程问题（二）
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量 ：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少
米等等；速度在单位时间（例如1小时）行走或移动的距离 ；时间行走或移动所花时间.这三个数量
之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度×时间

很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数 学上说，这是一种最基本的数量
关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
总量=每个人的数量×人数.
工作量=工作效率×时间.
因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似
的问题.
当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点容.因此，我们非常希望大家能学好这
一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.
这一讲，用5千米小时表示速度是每小时5千米，用3米秒表示速度是每秒3米
一、追及与相遇
有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就
能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间，比走得慢的人多走的
距 离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间，
甲走的距离- 乙走的距离
= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
=（甲的速度- 乙的速度）×时间.
通常，“追及问题”要考虑速度差.
例1 小轿车的速度比面 包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一
路线行驶，小轿车比面包车早10 分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问
学校到城门的距离是多少千米？
解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.
此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米小时，因此
所用时间=9÷6＝1.5（小时）.

小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度
是

面包车速度是 54-6＝48（千米小时）.
城门离学校的距离是
48×1.5＝72（千米）.
答：学校到城门的距离是72千米.
例2 小从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75
米. 问家到公园多远？
解一：可以作为“追及问题”处理.
假设另有一人，比小早10分钟出发.考虑小以75米分钟速度去追赶，追上所需时间是
50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）?
因此，小走的距离是
75× 20＝ 1500（米）.
答：从家到公园的距离是1500米.
还有一种不少人采用的方法.
解二：小加快速度后，每走1米，可节约时间（175-150）分钟，因此家到公园的距离是

一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法 呢？对
不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
例3 一辆自行车 在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米小时，要
1小时才能追上；如果速 度是 35千米小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？

解一：自行车1小时走了
30×1-已超前距离，
自行车40分钟走了

自行车多走20分钟，走了

因此，自行车的速度是

答：自行车速度是20千米小时.
解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差
1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：

马上可看出前一速度差是15.自行车速度是
35- 15＝ 20（千米小时）.
解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.
例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好
是8千米，这时是几点几分？
解：画一简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了

8-4＝4（千米）.
而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小
明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.
摩托车的速度是1千米分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
8＋8＋16＝32.
答：这时是8点32分.
下面讲“相遇问题”.
小王从甲地到乙地，小从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小 一起走了甲、乙之间
这段距离.如果两人同时出发，那么
甲走的距离+乙走的距离
=甲的速度×时间+乙的速度×时间
=（甲的速度+乙的速度）×时间.
“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
例5 小从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行 车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，
几分钟后两人相遇？
解：走同样长的距离，小花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度
是步 行速度的3倍，也可以说，在同一时间，小王骑车走的距离是小步行走的距离的3倍.如果把甲
地乙地之 间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小走了1段，小花费的时间是

36÷（3＋1）＝9（分钟）.
答：两人在9分钟后相遇.
例6 小从甲地到乙 地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出
发，然后在离甲、乙两地的 中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.
解：画一示意图

离中 点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地
距离的一半少 1千米.从出发到相遇，小比小王多走了2千米
小比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是
2÷（5-4）＝2（小时）.
因此，甲、乙两地的距离是
（5＋ 4）×2＝18（千米）.
本题 表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点
吗？对小学的 应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还
是考虑速度和，要 针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一
前一后”就是“追及” .
请再看一个例子.
例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇于C点.如果甲车速度不
变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而 行，则相遇地点距C点12千米；
如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同 时出发相向而行，则相遇地点
距C点16千米.求A，B两地距离.
解：先画一行程示意图如下

设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙 相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决
定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原 来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是
在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.
下面的考虑重点转向速度差.
在同样的时间，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28
（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米小时.因此，在D点
（或E点）相遇所用时间是
28÷5＝ 5.6（小时）.
比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.
甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是
12÷0.4＝30（千米小时）.
同样道理，乙的速度是
16÷0.4＝40（千米小时）.
A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
答： A，B两地距离是 420千米.
很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.
例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C 是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.
小和小王步行，下坡的速度都是6千米小时，平路速度都 是4千米小时，上坡速度都是2千米小
时.

问：（1）小和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？
（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？

解：（1）小从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6
×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了

因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小和小王共同相向而行，直到相遇，所需时
间是
2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.
从出发到相遇的时间是
25＋ 15＝ 40 （分钟）.
（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即
他再走 60分钟到达终点.
小走15分钟平路到达D点，45分钟可走

小离终点还有2.5-1.5=1（千米）.
答：40分钟后小和小王相遇.小王到达终点时，小离终点还有1千米.
二、环形路上的行程问题
人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.
例9 小和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米分.
（1）小和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小的速度是多少米
分？
（2）小和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小跑多少圈后才能第一次追上小王？
解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小的速度是
500÷1.25-180=220（米分）.

（2）在环形的跑道上，小要追上小王，就是小比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间
是
500÷（220-180）＝12.5（分）.
220×12.5÷500＝5.5（圈）.
答：（1）小的速度是220米分；（2）小跑5.5圈后才能追上小王.
例10 如图，A、B 是圆的直径的两端，小在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点
第一次相遇，C离A点80米 ；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

解：第一次相遇，两人合 起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开
始算，两个人合起来走了一周半. 因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来
所走的行程的3倍，那么从A到D的距 离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是
80×3＝240（米）.
240-60=180（米）.
180×2＝360（米）.
答：这个圆的周长是360米.
在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.
例11 甲村 、乙村相距6千米，小与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到
达另一村后就马上返 回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米
的地方两人第二次相遇 .问小和小王的速度各是多少？
解：画示意图如下：

如图，第一次相遇 两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距
离的3倍，因此所需时间是

40×3÷60＝2（小时）.
从图上可以看出从出发至第二次相遇，小已走了
6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.
因此，他们的速度分别是
小 10÷2＝5（千米小时），
小王 8÷2=4（千米小时）.
答：小和小王的速度分别是5千米小时和4千米小时.
例12 小与小王分别从甲、乙两村同时出 发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），
他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙 村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点
离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
解：画示意图如下.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此走了
3.5×3＝10.5（千米）.
从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程. 第四次相遇时，两人已共同走了
两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中走了
3.5×7＝24.5（千米），
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地点离乙村1千米.
下面仍回到环行路上的问题.
例13 绕湖一 周是24千米，小和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米小时速
度每走1小时后休息5 分钟；小以6千米小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时
间第一次相遇？
解：小的速度是6千米小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.
出发后2小时10分小已走了

此时两人相距
24-（8＋11）=5（千米）.
由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是
5÷（4＋6）＝0.5（小时）.
2小时10分再加上半小时是2小时40分.
答：他们相遇时是出发后2小时40分.
例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三 等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.
它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是 10厘米秒，B的速度是5厘米秒，C的速
度是3厘米秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置 ？
解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟 B
能追上C（5-3）厘米0.

30÷（5-3）＝15（秒）.
因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘< br>米，需要
90÷（5-3）＝45（秒）.
B与C到达同一位置，出发后的秒数是
15，，105，150，195，……
再看看A与B什么时候到达同一位置.
第一次是出发后
30÷（10-5）=6（秒），
以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要
90÷（10-5）＝18（秒），
A与B到达同一位置，出发后的秒数是
6，24，42，，78，96，…
对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？
例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已 知汽车在AB上的速度是90千米小时，在BC上的速
度是120千米小时，在CD上的速度是60千米 小时，在DA上的速度是80千米小时.从CD上一点
P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点 相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，
它们将在AB上一点N处相遇.求
解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间
的计算.要 计算方便，取什么作计算单位是很重要的.

设汽车行驶CD所需时间是1.
根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出

分数计算总不太方 便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分
别是24，12， 16，18.
从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.
PC上所需时间-PD上所需时间
=DA所需时间- CB所需时间
=18-12
=6.
而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得
PC上所需时间是（24+6）÷2＝15，
PD上所需时间是24-15＝9.
现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC
中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有
BN上所需时间-AN上所需时间
=P→D→A所需时间-CB所需时间
=（9＋18）-12
= 15.
BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间=16.
立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.

从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.
三、稍复杂的问题
在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：
（1）在行程中能设置一个解题需要的点；
（2）灵活地运用比例.
例16 小王 的步行速度是4.8千米小时，小的步行速度是5.4千米小时，他们两人从甲地到乙
地去.小骑自行车 的速度是10.8千米小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小与小相遇后5
分钟，小王又与小 相遇.问：小骑车从乙地到甲地需要多少时间？
解：画一示意图：

图中 A点是小与小相遇的地点，图中再设置一个B点，它是、两人相遇时小王到达的地点.5分
钟后小王与小 相遇，也就是5分钟的时间，小王和小共同走了B与A之间这段距离，它等于

这段距离 也是出发后小比小王多走的距离，小王与小的速度差是（5.4-4.8）千米小时.小比小
王多走这段 距离，需要的时间是
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.
这也 是从出发到、相遇时已花费的时间.小的速度10.8千米小时是小速度5.4千米小时的2
倍.因此小 从A到甲地需要
130÷2=65（分钟）.
从乙地到甲地需要的时间是
130＋65=195（分钟）＝3小时15分.

答：小从乙地到甲地需要3小时15分.
上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思 考时要分几个层次，弄清相互间的关系，
问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观 简明些.
例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口 沿马路往
西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去 快”？
姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千 米
时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？
解：先画一示意图

设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走 到家，
那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：
骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.
具体计算如下：
不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4
个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是
1＋1.5＝2.5（单位）.
每个单位是 2000÷2.5＝800（米）.
因此，从公园到家的距离是
800×1.5＝1200（米）.
答：从公园门口到他们家的距离是1200米.
这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.
例18 快车和 慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到
A用了12.5小时 ，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇
到再相遇共需多少时 间？

解：画一示意图：

设C点是第一次相遇处.慢车从 B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把
慢车半小时行程作为1个单位 .B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小
时走3个单位.
有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.
慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时 快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行
驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往 前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.
现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是
14÷（2＋3）＝2.8（小时）.
慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了
7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.
答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8< br>千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.
解：1小时是行驶全程 的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个
C点，是小船逆水行驶1小时到 达处.如下图

第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3
千米.
为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行
驶3千米时间一样多.因此
顺水速度∶逆水速度=5∶3.

由于两者速度差是8千米.立即可得出

A至B距离是 12＋3=15（千米）.
答：A至B两地距离是15千米.
例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段. 在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二
段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车 速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰
好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时 出发，相向而行.1小时20分后，在第二段
的13处（从甲方到乙方向的13处）相遇，那么，甲、乙 两市相距多少千米？
解一：画出如下示意图：

当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的

到达D处，这样，D把第一段分成两部分

两车在第二段的13处相遇，水明甲城汽车从D 到E走完第一段，与乙城汽车走完第二段的13从C
到F，所用时间相同，设这一时间为一份，一小时2 0分相当于


因此就知道，汽车在第一段需要

第二段需要 30×3＝90（分钟）；

甲、乙两市距离是

答：甲、乙两市相距185千米.
把每辆车从出发到相遇所走的行程都分 成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所
用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一 种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题
简单些.
还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.
解二：走第一段的25,与走第三段时间一样就得出
第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.
D至E与C至F所用时间一样，就是走第一段的35与走第二段的13所用时间一样。
第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.
因此，三段路程所用时间的比是： 5∶9∶2.
汽车走完全程所用时间是 80×2＝160（分种）.

例21 一辆 车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原
速行驶120千米 后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？
解：设原速度是1.
所用时间缩短到原时间的

这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.
就得出，加速20％后，

用原速行驶需要

同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的

换一句话说，缩短了15，现在要充分利用这个15
如果一开始就加速25％，可少时间

现在只少了40分钟， 72-40＝32（分钟）.
说明有一段路程未 加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间的15，因此这段路所
用时间是：

真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长

答：甲、乙两地相距270千米.
十分有意思，按原速行驶120千米， 这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原
速”与“加速”两段行程的时间的比例关系 ，当然也确定了距离的比例关系.
全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有
x∶120＝72∶32.

行程问题（一）（基础篇）
行程问题的 基础知识以及重要知识点★提到行程问题就不得不说3个行程问题中一定会用到的数
——s,t,v
s ——路程

t ——时间
v ——速度
这3个数之间的关系就是：路程=速度X时间 —— s= vt
同时可以得出另外两个关系：速度=路程÷时间—— v= st
时间=路程÷速度—— t= sv
我们来看几个例子：
例1，一个人以5米秒的速度跑了20秒，那么他跑了多远？
5米秒是这个人的速度 v， 20秒是他一共跑的时间 t， 求他跑的距离也就是路程 s， 我们就可以
直接利用这3个数量的关系 s=vt来计算出路程：
s=vt=5x20=100(米）。
例2 ，从A地到B地的直线距离是100米，有一个人从A地 到B地去，每秒走2米，那么他需要多
久可以到达B地？

首先100米是路程 s， 每秒走2米就是速度 v （2米秒） ， 要求的就是需要用的时间 t
所以我们就可以利用 t=sv来计算出时间：
t=sv=100÷2=50（秒）
例3，小明从家上学的路程是500米，他只用了10分钟就走到了学校，那么他走路的速度是多少？

这道题目里给出的500米是上学的路程 s ，10分钟是上学去需要的时间 t， 求的是走这段路的速
度 v，我们就可以利用这3个数量的关系v=st得出：
v=st=500÷10=50（米分）
以上是学习行程问题必须要懂的基本知识。
———————————————————————
在上面的容中所提到的行程问题都是 速度不变的情况，那么如果在走的过程中速度发生了改变，
那么我们就不能再用 s=vt来解决了。
变速的过程中一个重要的知识点就是 —— 平均速度
平均速度=总路程÷总时间
平均速度的计算方法和平均数不同，我们不可以将各个不同的速度加在一起取平均值。
例4，某货车往返于相距60千米的AB两地之间，从A地到B地时速度是6千米小时，从B地返回
时， 速度是12千米小时，那么货车往返的平均速度是多少？

首先我们先算出往返的总路程就是60X2=120（千米）
然后算出往返的总时间，去时的是是 60÷6=10（小时），回来的时间是60÷12=5（小时），那
么总共用时是10+5=15（小 时）
这时再计算平均速度=总路程÷总时间=120÷15=8（千米小时）

【将两个速度加起来求平均（6+12）÷2=9（千米小时）是错误的。】

在上一道题目中，如果将AB两地之间的距离改成120千米，那么平均速度变成了多少呢？
我们来实际操作一下：

总路程=120X2=240（千米）
总时间=120÷6+120÷12=20+10=30（小时）
所以平均速度=总路程÷总时间=240÷30=8（千米小时）

我们发现，在这个过 程中路程变成了2倍，但是平均速度没有变化，同学们试下将总路程改成其
他数字，再计算一次平均速度 。
结论：往返运动中，平均速度不受总路程影响，之跟往返的速度有关。

于是这道题目可以改成：

例5，某货车往返于AB两地之间，从A地到B地时速度是 6千米小时，从B地返回时，速度是12
千米小时，那么货车往返的平均速度是多少？


题目中并没有给我们AB之间的路程，并且我们又知道AB之间的距离不影响往返的平 均速度的
计算，所以我们可以选择自己设一个距离。比如我们设AB之间的距离是60千米，那么计算的 时候就
跟例4一样，得到平均速度是8千米小时。我们还可以不设一个具体的数，设AB之间的路程是“ 1”。

解：设AB之间的路程是“1”。
则货车往返的总路程就是1X2=2
往返的总时间是1÷6+1÷12=14
于是往返的平均速度就是2÷14=8（千米小时）

答：火车往返于AB之间的平均速度是8千
米小时。

————————————————————————
小结： 行程问题的基础，重点是懂得行程问题中三个量的关系、以及理解平均速度的
概念。
行程问题（二）（知识篇）

本贴主要针对行程问题中最常用的相遇与追及问题进行讲解

★相遇问题

学了一个人的行程问题之后我们就可以开始说一下两个人的相遇问题.(当然也包括两辆车,飞< br>机之类),第一种形式就是相遇问题,相遇问题的主要公式就是: 路程=时间X速度
和 ---------- s= t (v
1
+v
2
)
例1,甲乙二 人分别从AB两地相向而行,甲的速度是5米秒,乙的速度是4米秒,经过20秒后两人相
遇,那么AB 两地的距离是多少?


解:这是相遇问题中最简单的例子,首先我们先分别 考虑甲乙二人,甲的速度是5米秒,他走了
20秒,所以他走的距离是5X20=100米.乙的速度是 4米秒,他走了20秒所以一共走了4X20=80米.
两人从AB两地相遇,所以他 们一共走的路程就是AB,所以AB之间的路程就是100+80=180
米.

我们还可以使用相遇问题的公式直接来解决这个问题：
s=t (v
1
+v
2
)=20X(5+4)=180 (米)

这个公式的意义就是,将相遇过程中的两人速度看做一个整体,因为他们所走的时间是相
同的,所以总的相遇过程里可以把两个人的速度和当成一个速度来利用s=vt计算.
这个公式还有几个变形:
t=s(v
1
+v
2
)
v
1
+v
2
=st

(在这个公式中,当我们知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度)

例2,甲乙二人分 别从相距180米的AB两地相向而行,甲的速度是5米秒,乙的速度是4米秒,过了
多久两人相遇?


这道题目中给了两人的速度,还有路程,要求时间,我们可以利用第2条公式计算出时
间:
t=s(v
1
+v
2
)=180÷(4+5)=20(秒)
例3, 甲乙二人分别从相距180米的AB两地相向而行,经过20秒后两人相遇,甲的速度是5米秒,那
么乙 的速度是多少?


题目中给了路程和时间,因此我们可以计算出速度和:
v
1
+v
2
=st=180÷20=9米秒
然后利用速度和减去其中一个人的速度求出另一人的速度:
9-5=4米秒
注意:相遇问题不单是两个人相向行走最后相遇的问题,只要两人的前进方向 是相反的,都叫
做相遇问题.
例4,甲乙两人同时从某地出发,甲以每秒5米的速度向东走, 乙用每秒4米的速度向西走,那么20秒
之后两人相距多远?
这道题目中两人并没有相遇 的过程,但是他们的行进方向是相反的,因此这个问题也属于相遇问
题,依然适用公式:
s=t (v
1
+v
2
)=20X(5+4)=180 (米)
例 5，甲乙二人在距离200米的AB两地，向对方所在的地方走去，甲的速度是5米秒，乙的速度是
4米 秒，那么10秒后两人的距离是多远？

题目中给了我们时间和两个人的速度，因此我们可以求出两人在10秒一共走了多远：
s=t (v
1
+v
2
)=10X(5+4)=90 (米)
两人原本距离是200米，经过10秒后缩短了90米，所以这时两人的距离是

200- 90=110（米）
—————————————————————————------★追及问题
追及问题就是两人同向而行，一个人从后面追上另一人的过程，它的公式是：
路程=时间X速度差----s=t(v
1
-v
2
)
变形公式： t=s(v
1
-v
2
)； v
1
-v
2
=st (在这个公式中,当我们知道其中一人的速度就
可以算出另一人的速度)
实际上在 相遇问题与追及问题中，唯一的区别就是两人的速度不再是求和而是求差，两人
的行进方向不再是相向， 而是同向。
例6，甲乙二人沿着一条公路跑步，甲以5米秒的速度追赶前方30米处以2米秒的速度跑 步的乙，
他需要多少时间可以追上乙？
解：这道题给了我们两人的距离，和速度，这样我们可以求出总路程和速度差，所以时间
就是
t=s(v
1
-v
2
)= 30÷（5-2）=10（秒）
注意:只要两个人的行进方向是相同的，都是追及问题。
例7，甲乙两人同时同向从同地出发 ，甲的速度是5米秒，乙的速度是2米秒，那么过了10秒后，
两人的距离是多少？
这道题中 并没有一个人追上另一个人的过程，但是两人的前进方向相同，因此也属于追及问题，依然
可以使用公式 ：
s=t(v
1
-v
2
)=10X（5-2）=30（米）
小结： 行程问题中的相遇与追及，重点是理解“反向=相遇”“同向=追及”这2个概念，
以及相遇、 追及问题的公式。更多的拓展知识将在下一讲里继续讨论。
行程问题（三）（提高篇1）
本贴主要针对行程问题中错车问题（火车过桥）问题进行讲解
★错车问题
例1，两 列火车在两条平行的铁轨上相向行驶，它们的长度分别是40米和50米，速度分别是3米
秒和6米秒， 那么两车从车头相遇到车尾离开一共用了多久？
看这道例题之前我们先要弄明白一件事，两车从车头相遇到车尾离（错车）到底是一个什么样的过程。

如图我们看到两车长度分别是l
1
和 l
2
他们车头相遇的时候车头之间的距离是0，当他们车尾离开的
瞬间，他们的车头 之间的距离刚好是两车的总长度，因此在错车的过程中，两车的车头一共拉开了
l
1
+ l
2
的距离，根据上一讲的知识，这是一个相遇问题，所以两车走的路程和是l
1 +l
2
。
我们知道两车一共走的路程，又知道分别的速度，那么时间就是（ 40+50）÷（3+6）=10（秒）
从这里我们可以得出一个结论，两车相向行驶时的错车问题公 式：两车长度和÷两车速度和=错车时
间------ （l
1
+l
2
）÷（v
1
+v
2
）=t
我们来解读一下这个公式，它跟我们上一讲的相遇问题公式：路程÷速度和=时间
（s÷( v
1
+v[sub]2[sub)=t)，是完全一样的，只不过这里的路程就是两车的长度和 ，因此求其他的
量的过程也跟上一讲一样，这里不再重复，只给出相应公式：
两车长度和=两车速度和×错车时间------- （l
1
+l
2
）=（v
1
+v
2
）×t两车速度和=两车长度和÷错车
时间--- ---- （v
1
+v
2
）=（l
1
+l
2
）÷t
例2、甲乙两车在两条平行铁轨上相向行驶，他们的长度分别是40米和50米，甲车的速度是3米秒，两车从车头相遇到车尾离开一共用了10秒，那么乙车的速度是多少？
解：我们知道了两车的 长度和是90米，时间是10秒，那么速度和就可以用公式：（v
1
+v
2
） =（l
1
+l
2
）
÷t =（40+50）÷10=9（米秒） 有了速度和，我们要求其中一个速度： 9-3=6（米秒）
即可求出乙车的速度是6米秒。
★火车过桥问题
火车过桥问题其实就是错车问 题的一个特例，我们只需要把桥想象成一列火车，桥是不会
动的，所以它的速度是0，于是公式就变成了
（火车长+桥长）÷车速=时间 --------（l
1
+l
2
）÷v
1
=t -（因为v
2
=0）

我们来做一下例题：
例3、一列100米长的火车过一座150米长的桥，火车的速度是25米秒，它过桥需要多少时间？
解：（火车长+桥长）÷车速=时间
（l
1
+l
2
）÷v
1

=（100+150）÷25=10（秒）
同时我们根据 速度×时间=路程 （vt=s）的关系可以得出另外几个公式：
车速=（火车长+桥长）÷时间--------- v
1
=（l
1
+l
2
）÷t
火车长+桥长=车速×时间--------- l
1
+l
2
=v
1
×t

例4、一 列长100米的火车过一座桥，火车的速度是25米秒，它过桥一共用了10秒，那么桥的长
度是多少？
解： l
1
+l
2
=v
1
×t
=25×10=250（米）
那么桥长就是：
250-100=150（米）
到这里我们所学的容都是相向行驶时的错车问题，当其中一 辆车的速度是0（变为桥）的
时候，它就是一个火车过桥问题的公式。
事实上错车问题的公式就是相遇问题的公式，只不过它的路程就是两车的长度和。
--------- ------------------------------------------------
★追车问题
例5，两列火车在两条平行的铁轨上同向行驶乙车在前，甲车在后。两车的长度分 别是甲车80米乙
车50米，甲车的速度是35米秒，乙车的速度是25米秒，那么甲车从追上甲车到完 全超过乙车需
要多少时间？
我们仍然是先弄清楚这个从追上到超过的过程是一个什么过程。

我们发现刚开始追上的时候，甲车的车头与乙车的车尾是在一起的，距离是0，而当甲车完全 超过乙
车的时候，他的车头与乙车的车尾已经拉开了l
1
+l
2
的距 离，也就是说，在这个过程甲车比乙车多走
了l
1
+l
2
的路程，那 么根据上一讲的容我们知道这是一个追及问题。

这道题目中有两车的长度和两车的速度求时间，因此我们得出这个过程的公式
两车长度和÷两 车速度差=追车时间------（l
1
+l
2
）÷（v
1
-v
2
）=t
那么这道题目就可以：
（l
1
+l
2
）÷（v
1
-v
2
）
=（80+50）÷（35-25）
=130÷10=13（秒）

同样我们还可以得到2个变形公式：
两车长度和=两车速度差×追 车时间----（l
1
+l
2
）=（v
1
-v
2< br>）×t
两车速度差=两车长度和÷追车时间---（v
1
-v
2< br>）=（l
1
+l
2
）÷t

与错车 问题相同，追车问题的公式事实上就是追及问题的公式，只不过路程变成了两车

的长度和 ，其他都是完全一样的。
如果是一个人追车的问题，或者车超过人的问题时，我们只需要将 其中一个人看做是长度
是0的车就可以了。
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总结一下这次的容，我们一起学习了错车问题，火车过桥问题，追车问题。
错车问题和火车过桥问题是相遇问题，追车问题是追及问题。
据上一讲的结论，只要是两车相 向行驶就是相遇，速度就求和；只要两车同向行驶就是追及，速度就
求差。
然后依据 路程=速度×时间 的关系即可以计算出问题的答案。