襄樊四中-山东省高考录取查询

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8-4统筹规划



知识点说明：
统筹学是一门数学学 科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好
先后顺序，能够提高我们 的工作效率．
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是 人们日常生活、工
作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及 的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。
“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。
“小往大靠，支往干靠”。
板块一、合理安排时间
【例 1】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分 钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3
张饼需几分钟？怎样煎？



【巩固】 (2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正 、反面，
各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？



【巩固】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反 面各1分钟)．问：煎2009
张饼需几分钟？
【例 2】 星期天妈妈要做好多事情。擦 玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要
10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要 40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少
用多长时间？



【巩固】 小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂 完胶水后要过
2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不 能再
贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？



【例 3】 小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要
2分 钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把
这4头牛都赶到 对岸，最小要用多少分钟？



【例 4】 有四个人在晚上准备通过一 座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒
.专业资料.

.. .. .. < br>塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：
小 强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟
后桥就要倒 塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？



【例 5】 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩
子们的父 亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持
劳作，动作还算敏捷 ，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正
是初一夜晚又是阴天，不要说月 亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们
有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过 桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟
了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？



【巩固】 (迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已 晚，他们来到一条河的东
岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重 量小，每次只
能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人 拿
着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要
1 .5
分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要
2.5
分钟．那么，4个人都通过 小木桥，最少要
多少分钟？


【例 6】 有甲、乙两个水龙头，6个人 各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间
分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分 钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他
们等候的总时间最短，最短的时间是多少？



【巩固】 6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水 桶所需时间分别是5分钟、4分钟、
3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用， 问怎样安排这6人的打水次序，
可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？



【巩固】 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的 发型，分别需要10、12、
15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等 候所用时间的总和最少？
最少时间为多少？



【例 7】 ( 101培训试题)车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，
1 7，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工，
⑴ 怎样安排才能使得经济损失最少？⑵ 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？



【例 8】 (三帆中学入学考试试题)设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设 水龙头注满第一
.专业资料.

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个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……．如此下去，当只有两个水龙头时，< br>如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？



【例 9】 (小学数学报试题)右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段 路所需要的时间
(单位：分)．小明从
A
到
B
最快要几分钟？ G
6
5
E
4
5
0
3
F
3H
7
6
4
6
B
D
C
A
14


【巩固】 (十一学校考题)下图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某 高峰时段，单位时间进出路口
A
，
B
，
C
的机动车辆数如图 所示，图中
x
1
，
x
2
，
x
3
分 别表示该时段单位时间通过路段
AB
，
BC
，
CA
的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，问：
x1
，
x
2
，
x
3
的大小关系．
5 0
55
X
3
X
1
20
30
X
2< br>30
35


【例 10】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自 行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度
比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间( 候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情
况下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达A 、B、C三地采用最佳方案所需要的时
间.为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少时间？并简述理 由.


板块二、合理安排地点
【例 11】 如图，在街道上有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站
的距离之和最短，车站应该设在何 处？
AB
CDEF




【巩固】 如图，在 街道上有
A
、
B
、
C
、
D
、
E< br>五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车
站应立于何处？
.专业资料.

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ABCDE




【巩固】 有1993名少先队 员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点
集合，可以使他们从各自的 宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？



【例 12】 如图 ，在街道上有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一
个公交站，要想使居民到达车站 的距离之和最短，应该设在何处？
ABCDE




【例 13】 在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨 货物，二号
仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集 中
存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要
0.5
元运输费，那么最少要多少 运费才行？
一
10吨
二
20吨
三四五
40吨



【巩固】 (人大附中分班考试题)在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如 图)，共有五座，图中数字表
示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如 果每吨货物运输1
千米需要运费
0.9
元，那么集中到哪个仓库运费最少？
10吨
A
30吨
B
20吨
C
10吨
D
60 吨
E




【例 14】 在一条公路上，每隔100千 米有一座仓库，共有8座，图中数字表示各仓库库存货物的重量(单
位：吨)，其中
C
、
G
为空仓库．现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输
1千米需 要
0.5
元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？
A
10< br>B
30
C
D
20
E
5
F
10
GH
60




【巩固】 (04年我爱数学夏令营试 题)一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼
的距离都是50米．第1号楼 有1名职工在
A
厂上班，第2号楼有2名职工在
A
厂上班……，第
5 号楼有5名职工在
A
厂上班．
A
厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的 职工上下班，为
使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？
.专业资料.

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【例 15】 (奥数网习题库)右图是
A
，
B
，
C
，
D
，
E
五个村之间的道路示意 图，○中数字是各村要上学的学
生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千米)．现在要在五村 之中选一个村建立一所
小学．为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案．
A< br>40
2
B20
3
20
C
4
35
D< br>50
E
5


【巩固】 (三帆中学分班考试题)有七个村 庄
A
1
，
A
2
，
L
，
A
7
分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与
公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站 到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？
A
1
C
B
A
2
A
3
A
4
A
5
D
E
A
7
A
6
F
公路


【例 16】 (奥数网习题库) 某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？(运输总
量的千克千米数越小越好 ．)
3000千克
F
2000千克
E
A
G
60 00千克
4000千克
B
D
5000千克
C1000千克

板块三、合理布线和调运
【例 17】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水( 如下图，距离单位为千米)，要安装水管有
粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个 村用水，粗管每千米要用8000元，
细管每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以 降低费用，怎样安排才能使这项
工程费用最低？费用是多少元？
自来水厂
3 0
A
5
B
2
C
4
D
2
E
3
F
2
G
2
H
2
I
5
J




【例 18】 (奥数网习题库)有十个村庄，座落在从县城出发的一 条公路上，现要安装水管，从县城供各村
自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管 每千米2000元．粗管足够供应所
有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所 示(图中单位是千米)，现
要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
.专业资料.

.. .. .. < br>30
县城
A
1
52423222
5
A
10< br>
A
2
A
3
A
4
A
5
A< br>6
A
7
AA
89



【例 19】 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费
如右表，如何调运能使总运费最省？
运费元
到站
发站
北京
洛阳杭州
800
700
西安
1000
600


【巩固】 北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的 运
费如右表，如何调运能使总运费最省？
运费元
到站
发站
北京上海
武汉
500
700
西安
600
1000




【例 20】 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本 地外，北京可以支援外地10台，上海可
以支持外地4台．现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机 的运费如右表，上海和北京制
造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多 少？
运费元
到站
发站
北京
上海
汉口
4
3
重庆
8
5

【例 21】 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25 吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需
要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨 ．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：
公里)．已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么 将货物按要求运入各工厂的最小费用是多
少元？
北仓库
10
甲
8< br>6
乙
5
南仓库
16
12
丙


【例 22】
A
、
B
两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙 、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨
大米．从
A
，
B
两 粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？
.专业资料.

.. .. .. < br>运费元
到站
发站
A
B
甲
0
30
乙< br>40
0
丙
30
20


【例 23】 一支 勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，
如何调 动最方便？（调动时不考虑路程远近）


【例 24】 下 图是一个交通示意图，
A
、
B
、
C
是产地(用●表示，旁边 的数字表示产量，单位：吨)，
D
、
E
、
F
是销地(用○表 示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括号的数字表示两地
每吨货物的运价，单位：百元( 例如
B
与
D
两地，由
B
到
D
或由由
D
到
B
每吨货物运价
100
元)．将产品由产地全部运往销地，怎 样调运使运价最小？最小运价是多少？
E
5
(6)
(4)
C
6
(4)
8
(3)
5
F
第3题
A
(3)
D
(1)
9
B
5

板块四、其他最优化问题
【例 25】 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少 要用去原
材料几根？怎么截法最合算？



【例 26】 山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈运送货物。
货车到了某 一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物．各车间由于工作 量不同，所需装卸工人
数也不同，各车间所 需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在
货车上跟车到各车间去干活；也 可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车．问怎样安排跟
车人数和各车间固定人数，才能使装卸工 的总人数最少？最少需多少名工人？
.专业资料.

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【例 27】 现有
5
段铁 链，每段上有
4
个封闭的铁环．现在要打开一些铁环，把这
20
个铁环焊接成 一个一
环套一环的圆圈．如果每打开一个铁环要
2
分钟，焊接上一个铁环要
3
分钟．那么焊成这个圆圈，
至少需要________分钟．
【例 28】 国王准 备了1000
毒，若毒服后则正好第10日发作．有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能 保证
检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？



【巩固】 欢欢、 迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个自然数．两人各出一张卡片，计算两张卡片
上所写数的和，结 果发现一共能得到16个不同的和．那么，两人的卡片上所写的数中最大的数
最小是 ．



【例 29】 一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这 6个货站组织循环运输．每个货站所需
要的装卸工人数如下图．为了节省人力，可安排流动的装卸工随车 到任何一个货站装卸．在最
优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是 人．
第8题
桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下

.专业资料.

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【巩固】 一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运 输产品．每个车间装卸货物所
需工人数为25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人 跟车，部分工人固定在车间，那么
安排多少名装卸工，所用总人数最合理？



【例 30】 一次，齐王与大将赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马 的出场顺序一次
为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次 为自
己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等自己的四等．田
忌有 种方法安排自己的马出场顺序，保证自己至少能赢得两场比赛．


.专业资料.