湖南大学建筑学考研-母校寄语

行程综合问题




教学目标


1. 运用各种方法解决行程内综合问题。
2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。

知识精讲

行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。 它们
大致可以分为两类：
一、 行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题 目中，这就是一道行程内综合
题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合 起来等等。
二、 学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方 法结合
在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。
本讲内容主要就是 针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是
很受“偏爱”的。所以 很重要。

模块一、行程内综合
【例 1】 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对 面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。
他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5 千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返
回，邮递员什么时候可以回到邮局?
【考点】变速问题与走停问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间 ：
12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 =
l
0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12 =5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。
法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上 坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以
共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1= 10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局
的。
【答案】5时

【例 2】 小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟．已知 小红下山的速度
是上山速度的
1.5
倍，如果上山用了3小时50分，那么下山用了多 少时间？
【考点】变速问题与走停问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 上山用了3小时50分，即
60350230
(分 )，由
230
得到上山休息了5次，
（3010）530
，
走 了
23010
(分)．因为下山的速度是上山的
1.5
倍，所以下山走了< br>1801.5120

5180
(分)．由
120

304
知，下山途中休息了3次，所以下山共用
12053135
( 分)
2
小时15分．
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 1 of 14

【答案】
2
小时15分

【例 3】 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑
3步的时间 与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着
周长为300米的圆形 跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？
【考点】环形跑道与猎狗追兔 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为
9:25
，猫与兔 的速度之比为
25:49
．
2549
米，兔跑米．
925

25

675
狗追上猫一圈需
300

1


单位时间，
4

9

设单位时间内 猫跑1米，则狗跑

49

625
兔追上猫一圈需
300

1


单位时间．
252

67 5625
猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍．
42
675 625
与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即
42675,625

16875

675625



4
,
2



4,2


2
8437.5
．

上式表明，经过
8437.5
个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇． < br>2549
23437.5
米，兔跑了
8437.516537.5
米．
925
方法二：根据题意，猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程 相等；而猫跑15
步的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间相同．
此时，猫跑了
8 437.5
米，狗跑了
8437.5
所以猫、狗、兔的速度比为
15252 1
::
，它们的最大公约数为
352125
1

1525 21


15,25,21

,,
，
< br>
352125


35,21,25

355 7
即设猫的速度为
151251
225
，那么狗的速度为
 625
，则兔的速度为
353557213557
211
4 41
．
253557
于是狗每跑
300(625225)兔每跑
300(441225)
3
单位时追上猫；
4
25
单位时追上猫．
18
75

325


3,25

75

而

,


，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇．
2

418


4,18

2
757575
2258437.5
米，狗跑了
62523437.5
米，兔跑了
44116537.5
米．
222
【答案】
16537.5
米

【例 4】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后
甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。
猫跑了
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求甲原来的速度。
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑
一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒
1
的路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V =
7
米秒
3
1
【答案】
7
米秒
3

【例 5】 环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米，乙每分
跑10 0米，两人都是每跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分？
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 55分。解：甲比乙多跑500米， 应比乙多休息2次，即2分。在甲多休息的2分内，乙又跑了
200米，所以在与甲跑步的相同时间里， 甲比乙多跑500＋200＝700（米），甲跑步的时间为700÷
（120－100）＝35（分） 。共跑了120×35＝4200（米），中间休息了4200÷200－1＝ 20（次），
即20分。所以甲第一次追上乙需35＋20＝55（分）。
【答案】55分

【例 6】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲 的
2.5
倍，当乙
第一次追上甲时，甲的速度立即提高
25%
，而乙 的速度立即减少
20%
，并且乙第一次追上甲的
地点与第二次追上甲的地点相距100 米，那么这条环形跑道的周长是 米．
A
C

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5．假设甲、乙从
A
点 同时出发，按逆时针
方向跑．由于出发时两者的速度比为
2:5
，乙追上甲要比甲多跑 1圈，所以此时甲跑了
2
5
1(52)2
，乙跑了
；此时双 方速度发生变化，甲的速度变为
2(125%)2.5
，乙的速
3
3< br>度变为
5(120%)4
，此时两者的速度比为
2.5:45:8；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1
5
5
圈，则此次甲跑了
1(8 5)5
，这个
就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从
3
3< br>52
环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是
1个周长，又可
33
51
能是
2
个周长．
3321
那么，这条环形跑道的周长可能为
100150
米或
100 300
米．
33
【答案】
300
米

【例 7】 如图所示，甲、乙两人从长为
400
米的圆形跑道的
A
点背向出发跑步 。跑道右半部分(粗线部分）
道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为 每秒
8
米，而在泥泞
道路上两人的速度均为每秒
4
米。两人一直跑下 去，问：他们第99次迎面相遇的地方距
A
点还
有 米。
B
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A

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路 和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕
着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道 路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间
也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到< br>A
点，即两人在
A
点迎面相遇，然后再从
A
点出发背向而行， 可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．
在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以 在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人
第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然 后再出发，又在同一个相遇点第三次相
遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相 遇的地点，偶数次相遇点都是
本题要求的是第99次迎面相遇的地点与
A
点的距离，实 际上要求的是第一次相遇点与
A
点
A
点．
的距离．
对于第 一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到
跑完正常道路时 ，乙才跑了
20084100
米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了
10050150米，这就
是第一次相遇点与
A
点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与
A
点的距离．
【答案】
150
米

【例 8】 甲、乙 二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每
人跑完第一圈到达 出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲
跑第二圈时速度比第一圈提 高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两
人第二次相遇点到第一次相遇点的最 短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑 第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的
12
速度为.如下图：
5
3
2
第一次相遇地点逆时针方向距出发点的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了的 跑道长度.
3
5
1
12
1
在乙接下来跑了跑道的距离时，甲 以“4”的速度跑了
24
圈．所以还剩下
的跑道长
33
33< br>112

12


112
度，甲以4的速度，乙以 的速度相对而跑，所以乙跑了




4

< br>
圈.也就是第二
3

5

5


85
1
3119
次相遇点逆时针方向距出发点圈．即第一次相遇点与第二次相 遇点相差

圈，所以，
5840
8
19
这条椭圆形跑道的 长度为
190400
米．
40
【答案】
400
米

【例 9】 如图3-5,正方形ABCD是一条环形公路．已知汽车在AB上时速是90千 米，在BC上的时速是
120千米，在CD上的时速是60千米,在DA上的时速是80千米．从CD上 一点P,同时反向各
发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇．如果从PC的中点M,同时反向各发出一辆 汽车,它们将在
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AB上一点N相遇．问A至N的距离除以N至B的距离所得到的商是多少?

【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD的边长为单位“1”.
有甲从P到达AB中点O所需时间为
PDDAAOPD10.5
.

6
乙从P到达AB中点O所需时间为
PCBCBOPD10.5
.

60
有甲、乙同时从P点出发,则在AB的中点O相遇,所以有：
PD1PC1
=

608060120
1PC1PC1
5
且有PD=DC- PC=1-PC,代入有
,解得PC=
.

608060120
8
5
3
所以PM=MC=,DP=.
16
8
现在甲、乙同时从PC的中点出发,相遇在N点,设AN的距离为
x
.
35

x
MDDAAN
816
1

；
有甲从M到达N点所需时间为

608090
608090
5
11x
MCCBBN
16

乙从M到达N点所需时间为< br>.

6012090
6012090
355

1 x11x
11

16

有
816

，解得
x
.即AN=
.
6
3232
1311
所以AN÷BN


323231
1
【答案】
31

【例 10】 一条环形 道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行
车2辆，乙和丙骑自 行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已
知甲步行的速度是每小时5千 米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每
小时20千米．请你设计一种走法，使3 个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多
少分钟?
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】4星 【题型】解答
1
【解析】 如果甲、乙、丙均始终骑 车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间
；乙、丙情
20
况类似，所以 先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比
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为：

11
11




:



3:4


520

420

而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，
即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．
因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．
4
于是，甲步行的距离为2×=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；
433
0.83.2
所以甲需要时间为(
)×60=19.2分钟

520
环形两周的最短时间为19.2分钟．
参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；
乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ；
丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．


【答案】19.2分钟


【例 11】 甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛．两人从起点同时同 向出发，开始时甲的速
度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2 米，乙的速
度每秒减少0.5米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的 速
度每秒增加
O
.5米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米?
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答．
先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题．
甲、乙速度差为8-6 =2米／秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈400米，即甲跑了
400÷2×8=1600 米，乙跑了400÷2×6=1200米．
相遇后，甲的速度变为8-2=6米／秒，乙的速 度变为6-0.5=5．5米／秒·显然，甲的速度大于乙，
所以仍是甲超过乙．
当 甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为6-5.5=0.5米／秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多跑一
圈400米，于是甲又跑了400÷0.5×6=4800米，乙又跑了400÷0.5×5.5=4400米 ．
甲第二次追上乙后，甲的速度变为6-2=4米／秒，乙的速度变为5.5-0.5= 5米／秒．显然，现在乙的
速度大于甲，所以变为乙超过甲．
当乙追上甲时 ，甲、乙速度差为5-4=1米／秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈400米，于是甲又跑
了400÷ 1×4=1600米，乙又跑了400÷1×5=2000米．。
这时甲的速度变为4+0. 5=4.5米／秒，乙的速度变为5+0.5=5.5米／秒并以这样的速度跑完剩下的全
程．
在这过程中甲共跑了1600+4800+1600=8000米，乙共跑了1200+440 0+2000=7600米．
甲还剩下10000-8000=2000米的路程，乙还剩下10000-7600=2400米的路程．
显然乙先跑完全程，此时甲还剩下
20004.5
即当领先者到 达终点时，另一人距终点
36
24004004
36
米的路程．
5.51111
4
米．
11
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 6 of 14

评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度.
【答案】
36
4
米
11

【例 12】 某人乘 坐观光游船沿河流方向从
A
港前行．发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每
隔20分钟就会有一艘货船迎面开过．已知
A
、
B
两港之间货船发出的间隔 时间相同，且船在静
水中速度相同，均是水速的7倍．那么货船的发出间隔是____________ 分钟．
【考点】流水行船与发车间隔 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】数学解题能力展示,高年级组,初试
【解析】 设水速为
v
，则 船速为
7v
，顺水船速为
8v
，逆水船速为
6v
．设货船发 出的时间间隔为
t
，则顺
水船距为
8vt
，逆水船距为
6v t
．设游船速度为
w
，则有
40


8v
wv



8vt
，
20
< br>
6v

wv



6vt
．解得
t28
，

w1.4v


【答案】28

模块二、学科内综合
【例 13】 甲、乙两辆车从A城 开往B城，速度是55于米／小时，上午10点，甲车已行的路程是乙车已
行的路程的5倍：中午12点 ，甲车已行的路程是乙车已行的路程的3倍．问乙车比甲车晚出发
多少小时？
【考点】行程问题与差倍问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 行程与和差倍问题
路程差不变，画图求解

图中粗线是10点到12点2小时走的路程为1份，从图中 可以看出甲比乙多走4份．则乙车比
甲车晚出发8小时．（注，此题所求的是时间差，不需要将速度带入 ．）
【答案】8小时

【例 14】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行 。张明平均每小时行5千米；而李军第一小时行1
千米，第二小时行3千米，第三小时行5千米，……（ 连续奇数）。两人恰好在甲、乙两地的中
点相遇。甲、乙两地相距多少千米?
【考点】行程问题与数列综合 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 因为李军走的路程为：结果为中间数×个数，而张平走的路程为5×
135< br>若干个奇数相加，
小时数，所以知道李军走的路程为：
1357925
，那么两个人分别走了
2555
（小时），
所以路程为：
2525 0
（千米）。
【答案】
50
千米

【巩固】 甲、乙两 个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行5厘米，乙车第一秒行1厘米，
第二秒行2厘米， 第三秒行3厘米，……，这样两车相遇时，走的路程相同。则轨道长_____厘
米。
【考点】行程问题与数列综合 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】 路程相同，时间相同，甲乙的平均速度是一样的 ，1、2、3、4、5、6、7、8、9，乙走了9秒，
距离为1+2+3+4+5+6+7+8+9= 45厘米，轨道长90厘米。
【答案】90厘米
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 7 of 14

【巩固】 龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米， 乌龟每小时跑3千米．乌龟不停地跑；但兔
子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟 然后玩15分钟，再跑3分钟然后
玩15分钟，……．那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?

【考点】行程问题之数列综合 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟．
兔子如果不休息，则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟．
而兔子休息的规律是跑1、2、3、…分钟后，休息15分钟．
因为15.6=1+2+3+ 4+5+0.6，所以兔子休息了5×15=75分钟，即兔子跑到终点所需时间为
15．6+75=9 0．6分钟．
显然，兔子先到达，先乌龟104-90.6=13.4分钟达到终点．
【答案】兔子先到达，先乌龟104-90.6=13.4分钟达到终点

【例 15】 科技小组演示自制机器人，若机器人从点
A
向南行走1.2米，再向东行走1米，接着 又向南行
走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达
B
点，则
B
点与
A
点的距离是（ ）
米。
（
A
）3 （
B
）4 （
C
）5 （
D
）7
【考点】行程问题与几何综合 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
C

【答案】
C


【例 16】 两条公路成十字交叉，甲从十字路口 南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙
同时出发10分后，两人与十字路口的距离 相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次
相等，此时他们距十字路口多少米？
【考点】行程问题与几何综合 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】 5400米。解：如右图所示，出发后10分两 人与十字路口距离相等，相当于两人相距1200米，
10分后相遇，两人的速度和为1200÷10= 120（米）.出发后100分两人再次与十字路口距离相
等，相当于两人相距1200米，100分后 甲追上乙。由此推知两人的速度差为1200÷100＝12（米）。
乙每分行（120－12）÷2= 54（米），出发 100分后距十字路口5400米。

【答案】5400米
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 8 of 14

【例 17】 如图6，迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲） 机器人和一个圆形机器人（乙），甲的边长和
乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时 出发，则首先到达迷宫中心（☆）
处的是 。
入口
乙
☆
甲

【考点】行程问题与几何综合 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】 甲、乙两机器人走的路程就是正方形，和圆的中心所走的路程，他们走的直线路程都相等，只 是
在拐弯时圆能滚动，如左下图可以由实线位置滚动到虚线位置，这样正方形中心在拐弯时走的是
折线部分，圆的中心在拐弯时走的是弧线部分，如右下图，所以是乙先到达
入口

【答案】乙先到达

【例 18】
A
、
B
两地 位于同一条河上，
B
地在
A
地下游100千米处．甲船从
A
地、乙船从
B
地同时出发，
相向而行，甲船到达
B
地、乙船到达A
地后，都立即按原来路线返航．水速为2米秒，且两
船在静水中的速度相同．如果两船两 次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是
米秒．
【考点】行程问题与几何综合 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，复赛，高年级组
【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．
AD
E
N
M

如图，箭头表示水流方向，
AC E
表示甲船的路线，
BDF
表示乙船的路线，两个交
点
M
、
N
就是两次相遇的地点．
由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和 逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船
和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是
BC
和
DE
的长度相同，
AD
和
CF
的长度
相同．
那么根据对称性可以知道，
M
点距
BC
的距离与
N
点距
DE
的距离相等，也就是说两次相遇地点
与
A
、B
两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分
别 走了

10020
千米和
1004060
千米，可得两船的顺 水速度和逆水速度之比为

240
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 9 of 14
BC
F

60:403:2
．
而顺水速 度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米秒，可得顺水速度为
4

32

312
米
秒，那么两船在静水中的速度为
12210
米秒 ．
【答案】
10
米秒

【例 19】 夜里下了一场大雪，早上 ，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同
向行走，小龙每步长54厘米，爸爸 每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时
雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长 。
【考点】行程问题与数论综合 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，5年级，1试
【解析】 爸爸走3步和小龙走4步距离 一样长，也就是说他们一共走7步，但却只会留下6个脚印，也就
是说每216厘米会有6个脚印，那么 有60个脚印说明总长度是
216102160
厘米，也就是21.6
米。
【答案】21.6米

【例 20】 甲、乙两地相距100千米，张山骑摩托车从 甲地出发，1小时后李强驾驶汽车也从甲地出发，
二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时5 0千米，中途减为每小时40千米；汽车
的速度是每小时80千米，并在途中停留10分钟。那么，张山 骑摩托车在出发 分
钟后减速.
【考点】行程问题与鸡兔同笼 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初试
【解析】 汽车行驶了：
100806075
（分）；摩托车行驶了：
756010145
（分）设摩托车减速前
行驶了
x
分，则减速后行驶 了

145x

分，列方程为：
x145x
40100

6060

5x580x46

0

x20

所以张山骑摩托车出发20分钟后减速.
【答案】20分钟

【例 21】 甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游 进．现在甲位于乙的前方，乙距起点20米；当
乙游到甲现在的位置时，甲已离起点98米．问：甲现在 离起点多少米?
【考点】行程问题中的年龄问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 当乙游到甲现在的位置时，甲也游了同 样的距离，这距离是(98－20)÷2＝39(米)，所以甲现在
离起点39＋20＝59(米).
【答案】59米

【例 22】 某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行1 2小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙
地，如果他从甲地先骑自行车21小时，再换骑摩托车行8 小时，也恰好到达乙地，问：全程骑
摩托车需要几小时到达乙地？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】 对比分析法： 骑摩托车 骑自行车
方案一 12小时 9小时
方案二 8小时 21小时
方案一比方案二 多4 少12
说明 摩托车4小时走的路程=骑自行车12小时走的路程
50
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 10 of 14

推出 摩托车1小时走的路程=骑自行车3小时走的路程
整理全程骑摩托车需要12＋9÷3＝15（小时）
【答案】15小时

【例 23】 甲、乙两人同时从两地出发相向而行，相遇后继续前进，当两人相距
2.5
千米时 ，甲走了全程
23
的，乙走了全程的。两地相距多少千米？
34
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答

23

【解析】
6
千米，解：
2.5

1

6
（千米）

34

【答案】
6
千米

【例 24】 甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需48分，出发后30分
两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
1

1
【解析】
。
80
分，解：
1



80（分）

3048

【答案】
80
分

【例 25】 甲、乙两站相距不到500千米，A，B两列火车从甲、乙两站相对开出，A车行至21 0千米处
1
停车，B车行至270千米处也停车，这时两车相距正好是甲、乙两站距离的。甲乙 两站的距
9
离是多少？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 432千米。提示：分两车未相遇与已相遇两种情况。

1

若未相遇，全 程为

210270



1

5 40
（千米），不合题意；

9


1

若已相遇，全程为

210270



1

432
（千米），符合题意。

9

【答案】
432
千米

【例 26】 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。两车
在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
3
【解析】
450
千米。提示：相遇时客车行了全程的
。
5
3
【答案】
5

【例 27】 小王和小李同时从两地 相向而行，小王走完全程要60分，小李走完全程要40分。出发后5分，
小李因忘带东西而返回出发点 ，因取东西耽误了5分，小李再出发后多长时间两人相遇？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
1

15

1
【解析】
。
18< br>分，解：

1





18
（分）

60

6040

【答案】
1 8
分

3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 11 of 14

【例 28】 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要8时 ，比快车从异地到甲地所需时间
1
多。一直两车同时开出，相遇时快车比慢车多行48千米，求 甲、乙两地的距离。
3
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
43
【解析】 336千米。解：快、慢车行一个单程所需时间之比为3∶4，相遇时两车分别行了全程的
和。
77
【答案】336千米

【例 29】 甲、乙二人在环形自行车赛场上 训练，已知两人骑一圈分别需要23秒和27秒。如果两人同时
从起点出发，背向而行，那么他们再次相 遇需要多长时间？如果是同向行，那么甲超过乙需要
多长时间？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
11
【解析】 背向而行12.24秒，同向而行155.25秒。提示：甲 、乙
1
秒分别骑一圈的
和。
2327
【答案】背向而行12.24秒，同向而行155.25秒

1
【例 30】 甲、乙两汽车先后从A地出发到B地去，当甲车到达A，B两地中点时，乙车 走了全程的
；
5
2
当甲车到达
B
地时，乙车走了全程的。求 甲、乙两车车速之比。
3
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
1217
【解析】
15:14
，解：由题意，甲车从中点到
B
点行了全程的
，此期间，乙车行了全程的
，
23515
1715
两车速度之比为

。
21514
【答案】
15:14


【例 31】 大货车 和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶。大货车先走1.5时，小轿车出发4时后追上
了大货车。如果 小轿车每小时多行5千米，那么出发后3时就可追上大货车。问：小轿车实际
上每时行多少千米？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
41.5
【解析】 55千米。解：以大货车的时速为单位“1”，则小轿 车的实际时速为
，小轿车每时多行
5
4
31.5
31.541 .5
千米的时速为，
5
千米对应的分率是
。大货车每时行

34
3
41.5

31.541.5

5

40
（千米），小轿车每小时行
4055
（千米）

4

4

3
【答案】55千米

【例 32】 星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去。弟弟先走5分，哥哥出发后25分追上了弟弟 。如果
哥哥每分多走5米，那么出发后20分就可以追上弟弟。弟弟每分走多少米？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2星 【题型】解答
2556
【解析】 。如果哥哥每分钟多走
5
米，则哥哥 的速度是
100
米，解：各个的速度是弟弟的

（倍）
255
1
2055

56

100
（米） 弟弟的
。弟弟每分钟走
5



5

（倍）
20
204

45

【答案】
100
米

【例 33】 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以 2米秒和3米秒
的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2米秒和3米秒的速度各划行比 赛
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 12 of 14

时间的一半.你认为这两个方案哪个好？
【考点】行程问题与策略综合 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第二种方案
【答案】第二种方案

【例 34】 一条单线铁 路上有
A
,
B
,
C
,
D
,
E 5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从
A
,
E< br>两站相对开出,从
A
站开出的每小时行60千米,从
E
站开出的每小时 行50千米.由于单线铁
路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车, 才能让开行车轨道.
因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至 少需要停车多
少分钟?
【考点】行程问题与策略综合 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 两列火车同时从
A
,
E
两站相对开出, 假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个
车站停车等待时间最短.从图中可知:

AE
的距离是:225+25+15+230=495(千米),两车相遇所用的时 间是:495÷(60+50)=4.5(小时),相遇
处距
A
站的距离是:60×4 .5=270(千米),而
A
,
D
两站的距离为:225+25+15=26 5(千米),由于270
千米>265千米,因此从
A
站开出的火车应安排在
D
站相遇,才能使停车等待的时间最短.因为相遇
11
处离
D
站距离 为270-265=5(千米),那么,先到达
D
站的火车至少需要等待:
560 550
(小
60
11
时) ，小时=11分钟
60
【答案】11分钟

【例 35】 一辆汽车往线路上运送电线杆，从 出发地装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间距离为50
米，共运了两次，装卸结束后返回原地共用 3时。其中装一次车用30分，卸一根电线杆用5
分，汽车运行时的平均速度是24千米／时，求第一根 电线杆离出发点的距离。
【考点】行程问题与植树问题综合 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 7.75千米。解：装两次车卸8根电线杆，共用30×2＋5×8=10 0（分）。剩下的
60310080
11
（分），即
1
时，是 汽车运行时间，共行驶
24132
（千米）。
33


如上图所示，汽车第一次在A，C间运行一个来回，第二次在A，D间运行一个来回，其中
B，D间的一个来回与B，C间的一个来回共1000米，所以A，B间距离为（32－1）÷4=7.75（千米），即第一根电线杆离出发点7.75千米。
【答案】7.75千米

【例 36】 在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油．现有甲 、乙两辆
汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙< br>车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车．求甲车所能开行的
最远 距离．
【考点】行程问题与策略综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
3-3-2.比例解行程问题.题库 学生版 page 13 of 14

甲车尽可能行驶更远，则乙车离开甲车时，应保证甲车还有可行驶24天的汽油．
设此时乙车 已行驶了
x
天，有甲也行驶了
x
天，乙返程也需要
x
天，有
x
+
x
+
x
+24=48，所以
x
=8，
即乙车行驶8天后返程．
留下还可行驶8天的汽油，将剩下的24-8-8=8天的汽车给甲车．
所以加上开始的24 天的汽油，甲车共得到24+8=32天的汽油．那么甲车单程最多可行驶
32÷2=16天．
即甲车所能开行的最远距离为16×200=3200千米．
【答案】3200千米


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