新型玻璃-写信范文

5-4-1.约数与倍数（一）

教学目标

1.
2.

本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。
本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，
（2）整数唯一分解定理：让学 生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
... △
☆
的结构，
而且表达形式唯一”

例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
知识点拨


一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约 数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；
(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)0被排除在约数与倍数之外
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以
(231,252)3721
；
21812< br>②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
396
，所以
(12,1 8)236
；
32
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那 个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相
除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大 的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除
小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数 ，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前
一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是 所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原
来的两个数是互质的)．
例如，求600 和1515的最大公约数：
15156002315
；
6003151285
；
315285130
；
28530915
；
30 1520
；所以1515和600的最大公约数是15．
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n
．
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3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假 分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的
b
最大公约 数b；即为所求．
a
4． 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
(2)公倍数:在 两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数
(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以

23 1,252

2
2
3
2
7112772
；
②短除法求最小公倍数；
21812
例如：
396
，所以

18,12

233236
；
32
ab
③
[a,b]
．
(a,b)
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
b
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍 数
a
；求出各个分数分母的最大公约数
b
；即
a
35[3, 5]15

为所求．例如：
[,]
412(4,12)4
< br>14


1,4

4
注意：两个最简分数的最大 公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：

,


23


2,3

4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果
m
为
A
、
B
的最大公约数，且
Ama
，
Bmb
，那么
a、b
互质，所以
A
、
B
的最小公倍数为
mab
，
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所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①
ABmambmmab
，即两个数的最大公约数与最小公倍数 之积等于这两个数的积；
②最大公约数是
A
、
B
、
AB
、
AB
及最小公倍数的约数．
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即
(a,b)[a,b]ab
，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：
567210
，210就是567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：
678 336
，而6,7,8的最小公倍数为
3362168

性质（3）不 是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几
个数最小公 倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为
2
3
5
2
7
，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和
1400本身)
约数个数的计算公式是本讲 的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过
的数字“唯一分解定理”形式 基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌
握。难点在于公式的逆推 ，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有
多少个约数，然后再结 合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依 次从1加至这个质因数的最
高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和 。
如：
210002
3
35
3
7
，所以 21000所有约数的和为
(122
2
2
3
)(13)( 155
2
5
3
)(17)74880

此公式没 有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记
忆即可。

例题精讲


模块一、求最大公约数

【例 1】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能
裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
【考点】求最大公约数 【难度】2星 【题型】解答
5-4-1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 3 of 9

【解析】 要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形 纸块的边长应该是长
方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边 长是长方形的
长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，
(135,105)15
，长方
形纸块的面积为
13510514175 (平方厘米)，正方形纸块的面积为
1515225
(平方厘米)，共可
裁成正方形纸块
1417522563
(张)．
【答案】边长15，裁成63块

【巩固】 一个房间长450厘米，宽330厘米 ．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少
块(整块)，才能正好把房间地面铺满？
【考点】求最大公约数 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 要使方砖正好铺满 地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间
长、宽厘米数的公约数． 由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公
约数．450和330的最大公 约数是30．
4503015
，
3303011
，共需
15 11165
(块).
【答案】边长30，需要165块

【例 2】 将一个长和宽分别是是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是
（ ）个。
（A）78 （B）7 （C）5 （D）6
【考点】求最大公约数 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2008年，第13届，华杯赛，初赛，第3题
【解析】 本题不是求
1 833
与
423
的最大公约数，因为题目没有强调是相同正方形，所以应该用辗转相处 法，
求商，因为
1833423=4141
，所以先切成
423423< br>的共有4个 剩下长方形
141423
的
423141=3
，所以 应该还可以切成3个，所以一共有
43=7
个，选择B
【答案】
B


【例 3】 如图，某公园有两段路，AB＝175 米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点
各设一个路灯，相邻两个路灯间的距 离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯___个.

【考点】
求最大公约数
【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，初赛，第7题
【解析】 175与12 5的最大公约数为25，所以取25米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB段应按7＋1< br>＝8盏灯，BC段应按5＋1＝6盏灯，但在B点不需重复按灯，故共需安装8＋6－1＝13（盏）
【答案】
13
盏

【例 4】 把20个梨和25个苹果平均分给 小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个
小朋友？
【考点】求最大公约数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 此题相当于梨的总 数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，
补充2个苹果后，18 个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求
最多的人数，即是18和 27的最大公约数9了．
【答案】9人
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【例 5】 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多 可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物
中，三样水果各多少？
【考点】求最大公约数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有
(336,252,210)42
, 即可以分42份，每份中有
苹果8 个，桔子6个，梨5个．
【答案】42份，每份中有苹果8 个、桔子6个、梨5个

【巩固】 教师节那天 ，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这
些果品， 最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼
此相等)？在 每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
【考点】求最大公约数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为
(320,240,200)40
，
320 408
，
240406
，
200405
，所以最多可分 40份，每份中有
8个苹果6个桔子，5个鸭梨.
【答案】可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.

模块二、约数

【例 6】 2004的约数中，比100大且比200小的约数是 。
【考点】约数

【难度】
1
星

【题型】填空

【关键词】
2004
年，希望杯，第二届，五年级， 初赛，第
4
题，
5
分

【解析】 2004=3×4×167，所以结果为167
【答案】
167


【例 7】 过冬了，小白兔只储存了180只胡萝卜，小灰兔只储存了120棵大白菜，为了冬天里有 胡萝卜吃，
小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白 菜
可以换__________只胡萝卜。
【考点】约数 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2010年，希望杯，第八届，六年级，一试，第13题
【解析】 方法一：若使他们存储粮食的数量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔

180120
2=30
（只），
但是本题需要去换，即若干次换完后要多30个胡萝卜即可 ，若想用十几颗大白菜换，而
30
里面只
有
15
这个约数是十几，所 以需要换15次，，每次换后要多
3015=2
（只），所以1棵白菜换了
21= 3
只胡萝卜
方法二：设1棵白菜换
x
只胡萝卜，灰兔用
a
棵白菜换胡萝卜，则
a

10,20

，
180ax a120aax⇒a

x1

30215
，∴a15
，
x12
，∴
x3
，
即1棵白菜换了3只胡萝卜
【答案】
3
只

【例 8】 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.
【考点】约数

【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】
2007
年，第十二届，华杯赛，六年级 ，决赛，第
7
题

【解析】

因为
111
是奇数，而奇数＝奇数＋偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。而一个
数的最大约数是 其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数
1

的，设这个次大约数为
a
，则最大约数为
2a
，
a
＋
2a
＝
111
，求得
a
＝
37
，
2a< br>＝
74
，即所求数为
74
。
2
5-4-1.约数与倍 数（一）.题库 教师版 page 5 of 9

【答案】
74


【例 9】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
【考点】约数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个 约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个
约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一 个数包含偶约数，那么它一定是2的
倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的 约数是7，所以这个两位数是
14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只 能是14或98，其中有6个约
数的是98．
【答案】98

【例 10】 如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数n，除掉它的约数1和n外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n
有哪些？
【考点】约数 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设整数n除掉 约数1和n外，最小约数为a，可得最大约数为
15a
，那么
na15a15a
2
35a
2
．则
3、5、a都为n的约数．因为a是n的除掉 约数1外的最小约数，那么
a3
．当
a2
时，
n1522
60
；
当
a3
时，
n153
2135
．所以满足条件的整数n有60和135．
【答案】n有60和135

模块三、公约数与最大公约数综合

【例 11】 马鹏和李虎计算甲、 乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲
数的十位数字看错了，得 乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 乙数是473与407的公约数.473与407的最大 公约数是11，11是质数，它的两位数约数只有11，所
以乙数是11，又
473431 1
，
4073711
，所以甲数是47，甲、乙两数的乘积应为：
47 11517
.
【答案】甲、乙两数的乘积应为：
4711517


【例 12】 用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、 540这三个数的最大公约数
最大可能是___________．
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】填空
5402
2
3
3
5
，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而 540的约数从大到小排列依【解析】
次为：540、270、180、135、108、90……由 于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不
是A和B的约数．由于A和B不能同时被 5整除，所以135也不是A和B的公约数．540的约数除
去这些数后最大的为108，考虑108的 三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、
972，其中由 2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B一个为756、
另 一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540这三个数的最< br>大公约数最大可能是108．
【答案】108

【例 13】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 只知道 三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它
5-4- 1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 6 of 9

们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们 的公约数一定是1111的约数．因为
111111101
，
它的约数只能是1， 11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，
1111 不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求
数是101．
【答案】101

【例 14】 10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设M 为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：
Ma
1
,Ma
2
,...,Ma
10
，其中
(a
1
,a
2
,...,a
10
)1

那么根据题意有： < br>M(a
1
a
2
...a
10
)10017 1113

因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为13
【答案】13

100
个非
0
自然数的和等于
2 006
，那么它们的最大公约数最大可能值是（

）。

【巩固】

【考点】公约数与最大公约数综合

【难度】
3
星

【题型】填空

【关键词】< br>2006
年，第
11
届，华杯赛，决赛，第
8
题，
1 0
分

2006=2×17×59
，现在要求最大公约数最大，则让整个一百 个数的和除以约数后的商尽可能的小，且【解析】

59=118
。还应该为
2006
的一个约数，
100
个非
0
自然数的和最小且符合是
2006
的一个约数的为
2×
所以，最大公约数的最大可能值为
17
。

【答案】
17


【例 15】 三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为 ．
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2009年，迎春杯，高年级，决赛，11题
【解析】 假设这三个数分别为a
，
b
，
c
，且
abc
，则
a bc126
，要求的是

a,b



b,c



a,c

的最
大值．
由于

a,b

是
a
和
b
的最大公约数，根据辗转相 除法求最大公约数的过程，可以知道

a,b

也是
ba
和
a
的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以

a,b

a
，

a,b



a,ba< br>
ba
．
同理可得，

b,c

b
，

b,c

cb
；

a,c

a
，

a,c

ca
．
由< br>
a,b

a
，

a,b

b a
得到
7

a,b

2a5

b a

5b3a
；
由

b,c

b
，

b,c

cb
得到
7

b,c

3b4

cb

4cb
； < br>由

a,c

a
，

a,c
< br>ca
得到
7

a,c

7a
； 三式相加可得
7

a,b

7

b,c
7

a,c

5b3a4cb7a4

abc

，
44

abc

12672
．
77< br>也就是说

a,b



b,c



a,c

的最大值为72．
故

a,b


b,c



a,c


要使等号成立，必须使五个不等式

a,b

a
，< br>
a,b

ba
，

b,c

b
，

b,c

cb
，

a,c< br>
a
中的
等号都成立，即

a,b

a
，

a,b

ba
，

b,c

b
，

b,c

cb
，
a,c

a
，得到
b2a
，
c4a
，< br>即
a:b:c1:2:4
时等号成立．在本题中就是
a
，
b
，
c
分别为18，36，72时它们两两最大公约数之
和取得最大值72．
5-4-1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 7 of 9

小结：本题的结论
1:2:4
较容易猜到， 但证明起来较困难．另外可能会有人猜到
a:b:c1:2:3
时取
到最大值，这是 错误的．
【答案】
72


【例 16】 用
19
这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】4星 【题型】解答
【解析】
12945
，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456 798这两个数只
差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的 最大公约数．从
而9是这362880个数的最大公约数．
【答案】9

【例 17】 少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每 2个人合做一
个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃 娃”。这样下
来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有 个小朋友。
【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，1试
【解析】 设有如果有
< br>1,2,3,4

12
个人，12个人做12个纸娃，6个泥娃，4个布娃， 3个电动娃，共25个，
做100要4个12人，即48人.
【答案】
48
人

【例 18】 一根长为L的木棍，用红色刻度 线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份（m>n）。(1)设x
是红色与黑色刻度线重合的条数 ，请说明：x+1是m和n的公约数；(2)如果按刻度线将该木棍锯
成小段，一共可以得到170根长 短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。
【考点】公约数与最大公约数综合

【难度】
5
星

【题型】解答

【关键词】第十一届，华杯赛，决赛，
14
题，
10
分

①
【解析】



同样，
②
由题设，
所以，

，
，

，

，，

13
的因数，
13×13
只有
3
个 因数：
1
，
13
，即
13
＋
n
是
13×.
所以，

甲追上乙的位置
(3
分
)
：③
会判断丙在甲追上乙的时刻所爬行的距离
(3
分
)
。

13
的因数，
13×13
只有
3
个因数：
1
，
13
，
13
。所以，

即
13+n
是
13×
13+n=
，
n=
－
13=156
，
m=12
。

5-4-1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 8 of 9

< br>求出正整
m
，
n
的另一方法：使
设
m
＝Ka
，
n
＝
Kb
，
(a
，
b)=1< br>，代入上式，
(b
一
a)
和
a
，
b
都互质，一定整除
K
。记
d
＝
.
，
.
是正整数，
b
＞
a
则有：
.
由上式和
b >a
，
b=13
，
a=1
，
d=1
。所以，
K=12
，
m
和
n
有唯一解，
m=13
，
n=156
。

符：
m=13
，
n=156
。

【答案】（
1
） ，同样，


（
2
）
m=13
，
n=156
5-4-1.约数与倍数（一）.题库 教师版 page 9 of 9