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6-1-2.还原问题（二）


教学目标

法，并会运用倒推法解决问题．

本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题

已知一个数，经过 某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它
的解法常常是以新数为基础，按运算 顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原
法，这种问题就是还原问题．
还原问题 又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道
理，根据题意的叙述顺序由 后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后 结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变
加为减，变减为加，变乘为 除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲


模块一、单个变量的还原问题

【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起 一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶
1
1
水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口 则喝了剩下的，第四口再喝剩下的
4
3
11
，第五口喝了剩下的．此时瓶子里 还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有
56
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几升矿泉水？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法


1

1
1

1

1


【解析】 最开始瓶子里 有矿泉水：
0.5


1



1



1



1



1


3


2

3

4

5

6

（升）．
【答案】
3
升

【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原
有（ ）斗酒。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级
【解析】 设李白壶中原有
x
斗酒，则三次经过店和花之后变为
0

2[2(2x1)1]10

8x70

7
x
8

7
即壶中原有斗酒.
8
7
【答案】斗
8

【例 3】 有60名学生，男生、 女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着
手的男生和女生放开手，可以分成18个小组 ．那么，如果原本牵着手的男生和
男生放开手时，分成了_ _个小组．
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题
【解析】 方法一：男生和女生放手分成
1 8
个组，说明有男生被计算
18
次，男生与男生放开
手后分成的组数和男生数 相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算
成了两次，所以按照逆推的原则，原来有男生< br>30
人，被计算
302=60
（次），所
以

60 18

2=21
（次）分成了
21
组。
方法二：60
名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有
60
对牵着的手，其中男生 与
女生牵手的有
18
对，假设男生与男生牵手的有
x
人，那么，参与 围圈的男生一共有
所以
x930
，
x21
．那么原来牵手的男 生和男生放手，分成了
21

2x18

2x9
人 ，
个小组．
【答案】
21
个小组

模块二、多个变量的还原问题
【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本， 班主任老师提议让四个组的书一
样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调1 7本给丁，
从丁调18本给甲。这时四个组的书一样多。这说明甲组原来有书______ 本。
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去 1本后，四个人书一样多，为280
÷4=70，所以甲原来有70-4=66本书
【答案】
66
本书

【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们 分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组
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先给乙组5只，乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋
多少只?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋 相等，又知沙袋总数为
140只，所以这时两组各有沙袋70只．解答时可以从
70
开 始倒推．列表倒推如下：

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋 经历了两次交换后数量相
等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．
【答案】甲
67
，乙
73


【巩固】 甲、乙两 班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从
现有的树中也拿出与甲班同样多的 树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、
乙两班原来各有树多少棵？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树
28214
（棵），乙班有
，如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树281442
（棵）
，甲班原有树
142135
（棵）．列表倒 推如下:
42221
（棵）

【答案】甲班原有树
35
棵，乙班原有树
21
棵

【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次
从 甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的
同样多的棋子放到甲堆；第 三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙
堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是 32个．问甲、乙两堆
棋子原来各有多少个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 我们从最后一步倒着 分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果
是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第 三次移动之前，乙堆只有
32216
(个)
棋子，而甲堆的棋子数是
32 1648
(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用
下表来表示，表中的箭头表示逆推的 方向．所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有
20个棋子．
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乙堆棋子
第三次移动后
32
甲堆棋子
32
÷
2
第二次移动后
16
32< br>＋　48
÷
2
第一次移动后
40
＋　16
24
＋　
24
44
÷
2
原有棋子
20

采用列表法非常清楚．

【答案】甲乙两堆棋子原来各有
44
个和
20
个

【巩固】 有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入
下 层，再从下层现有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进
行了一轮调整．若如此共进 行了两轮调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架
原来摆放________本书,下层书架原来摆放 ________本书．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法
【解析】 还原法
结果：上层 112 本；下层 112 本
上层
56
本；下层
168
本
上层 140 本；下层 84 本
上层 70 本；下层 154 本
上层 147 本；下层 77 本
【答案】上层
147
本，下层
77
本


【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，
给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲：
2404020260
（元）； 乙：
240403070160
（元）；丙：
240302070300
．
【答案】甲
260
元， 乙
160
元，丙
300
元

【巩固】 小巧、小亚、小红共有
90
个玻璃球，小巧给小亚
6< br>个，小亚给小红
5
个，小红给
小巧
8
个，他们的玻璃球个数正 好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃
球？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由已知条件可知，小 巧比原来多了
2
个，小亚比原来多了
1
个，小红少了
3
个， 三
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人一样多时，都是
903 30
（个），所以小巧原来有
30228
（个），小亚原来
有
3 0129
（个），小红原来有
30333
（个）．
【答案】所以小 巧原来有
28
个，小亚原来有
29
个，小红原来有
33
个．

【例 8】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第
二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三
棵树上的鸟同样 多．原来每棵树上各有几只鸟?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵 数上就是
36312
（只），
第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后 又有10只飞了回来，现在和
原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵 树上的
鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就
能求出 第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了
10只，现在和原来比少了1 只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：
现在一样多的：
36312
（只），第一棵树上的小鸟只数：
121046
（只）
或
12( 104)6
（只），第二棵树上的小鸟只数：
128416
（只）或
，第三棵树上的小鸟只数：
1210814
（只）或
12(84)16
（只）
12(108)14
（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有1 6只小鸟，第
三棵树上有14只小鸟．
【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟

【巩固】 三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从
第 三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 三棵树上的鸟同样多的只数：
2739（只），第一棵数上鸟的只数：
9427
（只），第二棵数上鸟的只数：
9 2310
（只），第三棵数上鸟的只数：
，第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟 ，第三棵数上有
93410
（只）
10只鸟．
【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟

【巩固】 3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，
再 从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求
3个笼子里原来各养了多 少只鹦鹉?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变． 变化后“3个笼子里的鹦鹉
一样多”，可以求出现在每个笼里的是
78326
（只 ）．根据“从第1个笼子里取
出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了
26 834
（只）；再
根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第
2
个笼子里有：
，第3个笼子里原有
26620
（只）．
26 6824
（只）
【答案】第1个笼子里原来养了
34
只，第
2< br>个笼子里有
24
只，第3个笼子里原有
20
只。

【巩固】 3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，
再 从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求
3个笼子里原来各养了多 少只兔子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变． 变化后“3个笼子里的兔子
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一样多”，可以求出现在每个笼里的兔 子是
36312
（只）．根据“从第1个笼子
里取出8只放到第2个笼子里”，可 以知道第1个笼子里原来养了
12820
（只）；
再根据“从第2个笼子里取出6 只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：
，第
2
个笼子里原有：
36 20610
(只)．
1266
（只）
【答案】第1个笼子里原来 养了
20
只，第
2
个笼子里原有
10
只，第3个笼子里原有
6
只。

【例 9】 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本， 为了广泛阅读，张给王13本，
王给李18本，李给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他 们原来各
有多少本？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物2 00本，经过互相交换后，
这200本书的总数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时 ，每个人
的本数是
200450
(本)．
用倒推法，求每个人原来各有 多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，
收进的本数减去，就得到各人原有课外读物 的本数．
⑴张原有读物的本数：
5013261
(本)
⑵王原有读物的本数：
50181355
(本)
⑶李原有读物的本数：
50161848
(本)
⑷赵原有读物的本数：
5021636
(本)
【答案】张原有读物< br>61
本，王原有读物
55
本，李原有读物
48
本，赵原有读物
36
本。

【例 10】 解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人 支援第二队，抽调35人支援第
三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有 30人，
求第一队原有多少人？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由条件“后来又调进
8
人”和“这时第一队还有
30
人”，可知不调进
8
人有
3082 2
(人)．由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有
22
人，可知如果不
抽 调人去支援第四队，一队有
22244
(人)；由“抽调
35
人支援第三 队”后还
有
44
人，可知之前有
443579
(人)；由“从第 一队抽调一半人支援第二队”后
还有
79
人，可知第一队原有
79215 8
(人)．
列式为：
[(308)235]2792158
(人)
还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
【答案】
158
人

【例 11】 科学课上，老师说：“土星直 径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24
等于水星直径，水星直径加上2000千米是火 星直径，火星直径除以2减去500
千米等于月亮的直径，月亮直径是3000千米.”请你算一算，地 球的直径是多少？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先求土星直径：
[(3000500)22000]24120000
(千米) < br>再求地球直径：
(1200004800)912800
(千米)，即：地球的直 径是12800千米.
【答案】
12800
千米

【例 12】 有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥
哥看弟弟搬得太多，就抢 过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸
走过来，他从哥哥那拿走一半少2块，从弟弟那儿 拿走一半多2块，结果是爸爸
比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块．问最初弟弟准备搬多少块?
6-1-2.还原问题（二）.题库 教师版
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【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先来看看最后爸爸、 哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸爸给弟弟
3
块，那么3个
人搬的砖数就一样多了， 都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了
1836
(块)，
弟弟搬了
6 33
(块)，爸爸搬了
639
(块)．爸爸从弟弟处搬了一半多2块，
所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是
（32）210
(块)，哥哥的砖数是
18108
(块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下的砖数一样，
是8 块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是
8216
(块)，那时，弟弟的
砖 数是
18162
(块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数
一样，是2块．所以，哥哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是
224
(块)，那时，
哥哥的砖数是
18414
(块)．所以，最初，弟弟准备搬4块砖．即：
⑴最 后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：
1836
(块)，爸爸：
63 9
(块)，
弟弟：
633
(块)
⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：
（62）28
(块)，
弟弟：
（32）210
(块)
⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：
8216
(块)，弟弟：
18162
(块)
⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：224
(块)，哥哥：
18414
(块)
【答案】
4
块

【巩固】 有砖26块，兄弟二人争着去挑．弟弟 抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看
弟弟挑的太多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一 半．哥哥不服，弟
弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块．问最初弟弟准备挑多少块？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是，弟弟是261412（262）214
（块）
（块），然后来还原：⑴ 哥哥还给弟弟 5块：哥哥是
1459
（块），弟弟是
12517
（块）；⑵ 弟弟 把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所
以哥哥就应该是
9918
（块），弟弟是
1798
（块）；⑶ 哥哥把抢走的一半还
给弟弟：那么弟弟原来就是
8816
（块）．
【答案】
16
块

【例 13】 口渴的三个和尚分别捧着一个水 罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没
水喝．于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两 个和尚；接着，大和尚
又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部< br>平均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让了一阵．结果太阳落山时，老
和尚的水罐里有1 0升水，小和尚的水罐则装着20升水．请问：最初大和尚的水
罐里有多少升水？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每 次分完水以后分水的人自
己一定没有水了．于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、 20
升．列表分析如下：

6-1-2.还原问题（二）.题库 教师版
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回到最后的状态，于是发现三个人的水 量是循环变化的，一共只有这三种状态．又因为已知
最初老和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分 水前相同．所以大和尚的水罐里最初有
10升水．
【答案】
10
升

【例 14】 兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果 老三
先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给
老三与老大 ，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子
数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各 多少岁？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等， 因此每人最后都有
2438
(个)桔子.由此列表逆推如下表：

由上 表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，
7岁. < br>逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔
子的人拿 出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半
【答案】三个人的年龄依次为16，10，7岁

【例 15】 甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从 乙的
邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、
丙3人邮票 数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三 次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而
且三人邮票数相同，即3人各有邮票：
1923 64
（张）．第三次交换从丙的邮票
中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票
64232
（张），丙有邮票：
（张），依此类推，就可以推出答案了．最后相等时各有< br>192364
（张），
643296
列表倒推如下：
【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为
88
，
56
，
48
张

【巩固】 有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果 放入乙
堆；第二次再从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出
与甲堆剩 下的苹果数相同的苹果放入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有
个苹果，乙堆有 个苹果，丙对有 个苹果．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法
【解析】 如下表：
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【答案】甲
44
，乙
28
，丙
24


【例 16】
A、B、C、D、E、F、G
七个人都各有一些珠子。从
A< br>开始依序进行以下操作，
每次都分给其他六个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当< br>G
操作
后，每个人手中都恰好各有
256
颗珠子，请问
D原先有多少颗珠子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，2008年，台湾，小学数学竞赛
【解析】 本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、

于是
D
之前的珠子个数是
114
颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可
以简化一下求解过 程，因为最终结果
D
有
256
颗珠子，所以在
G
操作之前，
D
的珠子个数
应该减半为
128
颗，在
F
操作前应 该再减半为
64
颗，在
E
操作前应该再减半到
32
颗，在< br>D
操作前，其余所有人的珠子应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是
(256732)2880
，这些都是
D
分给他们的 ，所以在
D
操作前，
D
应该有
88032912
颗珠子 ，于是在
C
操作前，
D
的珠子应该减半到
9122456
，于是在
B
操
作前，
D
的珠子数应该减半到
4562 228
，于是在
A
操作前，
D
的珠子数目应该减半到
228 2114
颗。也就是说
D
之前的珠子数目是
114
颗。
【答案】
114
颗

【例 17】 一班、二班、三班各有不同数 目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二
班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也 拿出一部分图书分给一班、
三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、 二
班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三
个班原来各有 图书多少本？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一 次重新变化后，三个班的
图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发 进
行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数
目．依据题 意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各
应有24本，所以一班、二班的图 书数目各应减半，还给三班．其余各次，以此类
推，把倒推解答的过程用下表表示：
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【答案】三个班原来各有图 书
78
本，
42
本，
24
本

【巩固】 3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，
甲输给了乙和丙，使他们 每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这
样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第三局，甲和 丙又赢了，这样他们俩钱袋里
的钱都翻了一倍．结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后 3人
手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100
元．你能推 算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．

从开始到最后甲的份数少 了份，说明每份是
100（138）（138）20
元．
所以刚开始时，甲 有
1320260
(元)，乙有
42080
(元)，丙有
7 20140
(元)．
【答案】刚开始时甲有
260
元，乙有
8 0
元，丙有
140
元．

【巩固】
A
、
B
、
C
三个油桶各盛油若干千克．第一次把
A
桶的一部分油倒入< br>B
、
C
两桶，使
B
、
C
两桶内的油分别增加 到原来的2倍；第二次从
B
桶把油倒入
C
、
A
两桶，使C
、
A
两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从
C< br>桶把油倒入
A
、
B
两桶，使
A
、
B
两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶
的油都为16千克．问
A
、
B
、
C
三个油桶原来各有油多少千克？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报
【解析】 用“倒推法”列出下表，从表中可以看 出：原来
A
桶有油26千克，
B
桶有油14千
克，
C
桶有油8千克．
【答案】原来
A
桶有油26千克，
B
桶有油14 千克，
C
桶有油8千克．

【巩固】 乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处 取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着
乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处 取来一些，也使自
己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆一样多．如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
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【关键词】可逆思想方法
【解析】 先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实
际 上甲原来有51粒，
51317
，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始
有糖豆
17585
（粒）．
【答案】
85
粒

【巩固】 甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使
乙、 丙的铜板数各增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙
的铜板数各增加了1倍；丙把 自己的铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板
数各增加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人 各有几枚？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 甲13枚，乙7枚，丙
4
枚．
【答案】甲13枚，乙7枚，丙
4
枚

【例 18】 三个容器各 放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的
水分别增加到原来的2倍与3倍，第 二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三
个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三 个容器中倒一些水
到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为
96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 可以列一个表，使每一步之间的关系一目 了然，下列的表是从后面向前倒推的，具
体的填法见下面的解答。

先在第一行填上 三个96，第二行的前2个数是
96248
，第3个数是
9634821 92
，
第三行的第1个数是
48316
，第3个数是
1962 96
，第2个数是
第四行第2个数是
176288
，第3个数是
96332
，
48

4816



19296

176
，
第1个数是
16
< br>17688



9632

168
，三个容器原来有水168毫升、88毫升、32
毫升。
【答案】三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升

【例 19】 某工厂有
A
、
B
、
C
、
D
、
E< br>五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把
B
车
11
1
间工 人的调入
A
车间，
C
车间工人的调入
B
车间，
D< br>车间工人的调入
C
车
24
3
1
间，
E
车间工人的调入
D
车间．现在五个车间都是30人．原来每个车间各有
6
多 少人？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 采用倒推法，列表如下
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所以原来
A、
B
、
C
、
D
、
E
车间分别有11、 38、33、32、36个工人．解这种还原问题的
关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每 一步运算都是原来运算的逆运算，即变
加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺 序，正确使用括号，这种
逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．
【答案】原来
A
、
B
、
C
、
D
、
E
车间分别有1 1、38、33、32、36个工人

【例 20】 老师在黑板上写了三个不同的整数，小 明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上
另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为1 59．如果开始时
老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数．请问：开始时< br>老师在黑板上写的第一个数是多少？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 由于最后写到黑板上的数是其前两个数的 平均数，且黑板上最后留下的这三个数之
和为159，所以写到黑板上的最后一个数是
159 (21)53
．
假设剩下的两个数中靠前的一个是
A
，靠后的一个是< br>106A
，那么可以依次推出：
第7个被擦掉的数是
2(106A)A2123A
，
第6个被擦掉的数是
2A(2123A)5A212
，
类似地，可 以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为
63611A
、
21A1060、
233243A
、
85A4452
，
最先被擦掉的数是
2008(233243A)(85A4452)412842A
，
由题意，以上这些数均为正整数．
由
233243A0
及
A< br>为整数可以推出
A≤54
，
由
85A44520
及A
为整数可以推出
A≥53
，
另一方面，如果
A53
，有
233243A85A445253
，与条件中最初三个整数不同这一
条件矛盾，所以应该有
A54
．
此时最开始写在黑板上的第一个数为
412842A1860
．
【答案】
1860


【例 21】 有一堆棋子，把它三等份后剩 一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份
后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的 棋子再三等份后还是剩下
一枚，问原来至少有多少枚棋子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 本题的数量关系更加 隐蔽、复杂，应如何解答呢?根据“最后将剩下的棋子三等份
还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“ 最后将剩下的棋子三等份”后，每一份
是几枚棋子?再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后 将剩下的棋子三
等份”后，每一份是一枚棋子．
采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理．
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【答案】
40
枚

【巩固】 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两 个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还
剩
2
个；然后再取其中两份，将这两份三等 分后还剩
2
个．问：这筐苹果至少有
几个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 方法一：如果增加< br>4
个苹果，那么第一次恰好三等分(每份多出
2
个)；第二次取出
其中
2
份(总共多出
4
个)，也恰好三等分(每份又多出
2
个) ；最后取
2
份(共多出
4
个)，也恰好三等分．而且最后一次分总数一定是偶 数，因为是取
2
份来分的，所
以每份也是偶数，且比原来每份多
2
个 ，所以现在每份至少是
4
个．从而上一次每
份为
4326
( 个)，再上次每份为
6329
(个)，那么开始时共有
9327
( 个)苹果，但是我们假设增加了
4
个，所以这筐苹果至少有
27423
( 个)．列表法是还原问题的一个基本方法，教师可以再用列表法重新理
一下题目。
方法二：从 最后的状态往前还原，假设最后一次三等分后，每一份的个数为
x
个，那么最后
一次三 等分之前的苹果个数是
3x2
个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一
3x2
份的个数是个，这个数应该是一个整数；第二次三等分前，苹果的个数是
2

3x2

2
个，同样的这些苹果是第一次三等分中的两份，所以每一份的 个数为
3
2
3

3x2

43
< br>3x2

4
个，这个数也应该是一个整数；所以这筐苹果的总数为
32
44
3x2
3

3x2

4
个．显然
x
越小，这筐苹果的个数最少，但是有和是整数的约束条件．满
4
2
足这两个约束条件的
x
必须被4除余2，所以满足该条件的
x
的最 小值为2，代入得到这筐
苹果最少有23个．
【答案】
23
个

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