小时代评价-店长职责

4-1-3.角度计算


知识点拨

一、角
1、 角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角
2、 表示角的符号 ：∠
3、 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种
（1） 锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2） 直角：等于90°的角叫做直角。
（3） 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4） 平角：等于180°的角叫做平角。
（5） 优角：大于180°小于360°叫优角。
（6） 劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7） 周角：等于360°的角叫做周角。
（8） 负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9） 正角：逆时针旋转的角为正角。
（10） 0角：等于零度的角。
4、 角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，
角就越 大，相反，张开的越小，角则越小。

二、三角形
1、 三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形
2、 内角和：三角形的内角和为180度；
外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、 三角形的分类
（1）按角分 ：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形
（2）按边分 ：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。


模块一、角度计算

【例 1】 有下列说法：
(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，
(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．
(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．
(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．
(5)三角形的三个内角可以都是锐角．
(6)直角三角形中可胄邕有钝角．
(7)
25
的角用10倍的放大镜看就变成了
250

其中，正确说法的个数是
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【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．
【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法

【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
1
2
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 ∠1
【答案】∠1

【例 3】 如图，在直角
AOB
内有一条 射线
OC
，并且
AOC
比
BOC
大20。则
 BOC
是__________
A
C

O
B
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】
9020235



【答案】
35


【例 4】 直线
AB
、
CD
相交，若∠1、∠2和∠ 3的关系如图所示。则∠3

∠1=______ 。
l
1
DB
2
A
C
3
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 ∠1+∠2=90，∠2+∠3=180，所以（∠2+∠3）< br>
（∠1+∠2）

∠3

∠1=
90

【答案】
90


【例 5】 如图，共端点
A
的 线段
a
与
d
，
b
与
e
，
c
与
f
分别垂直，
a
与
b
的夹角是30°，
e与
f
的夹角是
45°，求
c
与
d
的夹角的度数 。
c
b
d
e
a
30°
A
45°
f
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
a
与
b
的夹角为30度，所以
b
与
d
的夹角为
90 3060
度，所以
d
与
e
的夹角是
906030度，
所以
c
与
d
的夹角为
90304515度.
【答案】15度

图4
【例 6】 如图，直角的顶点在直线
l
上，则图中所有小于平角的角之和是 度。
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l
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由一部分组成的角之和是180度，由两部分组成的角之和是180+90度，一共180+ 180+90=450度。
【答案】450度

【例 7】 如图，∠
A OB
的顶点0在直线
l
上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠
AOB
＝________
度。
A
B
l
O

【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 所有小于平角的角之和 =∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠2+∠3=400度，又∠1+∠2+∠3=180度，故
∠2= 40度。
A
B
1
O
2
3
l

【答案】∠
AOB
=40度

【例 8】 两条直线相交，四个交 角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见下图）。如果在
平面上画
L
条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、
90°之 一，问：（1）
L
的最大值是多少？（2）当
L
取最大值时，问所有的“夹角 ”的和是多少？

夹角
【考点】角度计算 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 （1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算, 只能是
15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150° 、165°十一种角度之一，
所以，平面上最多有12条直线。否则，必有两条直线平行。


（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线 相交的情况均有
12种；他们的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生 90°角的有第1和第7条直线；
第2和第8条直线；第3和第9条直线；第4和第10条直线；第5和 第11条直线；第6和第12
条直线共6个，他们的角度和是90×6=540°；所以所有夹角和是2 700+540=3240°。
【答案】（1）12条；（2）3240°

【例 9】 如图，点
O
为直线
AB
上一点，
BOC
是直角，< br>BOD:COD4:1
则
AOD
是______度.
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D
C
A
O
B
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】
BOD:COD4:1
，所以< br>BOC:COD3:1
，所以
COD30
.所以
AOD
是60度.
【答案】60度


模块二、三角形内的角度计算

'
【例 10】 如图，将
△ABC
绕点
C
按顺 时针方向旋转30°，得到
△B
'
AC
，若
AC⊥A
'B
'
，则∠
BAC
的度数
是 。
A< br>B
'
A
'
30°
B
C
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空

'
【解析】 因为
△B
'AC
是
△ABC
绕着点
C
旋转得到的，所以
∠A=∠A
'
,根据三角形的内角和定理知道
∠A180
o
∠ACA
'
90
o
180
o
90
o
30
o
60
o

【答案】∠
BAC
度数是
60
o


【例 11】 如图3，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠
A
= 度。
A
D
B
1
2
5
4
3
C【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 ∠5=130度，那么∠2 +∠4=180-130=50度，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=100度，
∠
A
=180-100=80度
【答案】80度

【例 12】 如图，在三角形
ABC
中，点
D
在
BC
上，且∠
A BC
＝∠
ACB
、∠
ADC
＝∠
DAC
，∠
DAB
＝21°，
求∠
ABC
的度数；并回答：图中哪些三角形是锐角三角 形.
A
21°
B
D
C


【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 ∵∠
DAC< br>＋∠
ADC
＋∠
C
＝，而∠
DAC
＝∠
AD C
＝∠
B
＋21，∠
B
＝∠
C
，
∴3×∠
B
＋21°＝180°, ∴∠
B
＝46°
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∠
DAC
＝46°＋21°＝67°，∠
BAC
＝67°＋21°＝88°
∴△
ABC
和△
ADC
都是锐角三角形.
【答案】△
ABC
和△
ADC
是锐角三角形

【例 13】 如图，将四边形
ABCD
的四条边分别延长一段，得∠
CBE
,∠
BAH
,∠
ADG
,∠
DCF
,那么，这四个 角
的和等于 。
H
A
C
F
B
E
G
D
【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 凸多边形的外角和等于360。
【答案】360


模块三、角度在行程问题中的应用

【例 14】 小明从家里出发，先向东偏北3 0°的方向跑了350米到达点
A
，接着向北偏西30°的方向跑了
200米到达点< br>B
，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点
C
，这时小明距离家 米。
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 通过画图可知小明距离家是200米。
【答案】200米

【例 15】 小明从 家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点
A
，接着向北偏西30°的方向跑了20 0
米到达点
B
，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点
C
，这时小明距家 米。
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 200米
【答案】200米

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