徐州三十六中-上海海洋大学分数线

循环小数的计算



教学目标
< br>循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律
进行简算的问题．


知识点拨
1.的“秘密”
1
7

••••••••
1236
0.142857，
0.285714
，
0.428571
,…,
0.857142

7777
2.推导以下算式
34
；
0.12
；
0.1234
；

；
0.123
999339993339999
121111231237 12341231111
⑵
0.12
；
0.123
；
0.1234
；

909000
12341261112341137
⑶
0.1234
；
0.1234


9910
123412611
以
0.1234
为例，推导
0.1234
．

99004950
设
0.1234A
，将等式两边都乘以100 ，得：
100A12.34
；
再将原等式两边都乘以10000，得：
10000A1234.34
，
123412611
两式相减得：
10000A100A123412
，所以
A
．

99004950
⑴
0.1
3.循环小数化分数结论

分子
纯循环小数
循环节中的数字所组成的数
混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分
母，其中9在0的左侧
分母
n个9，其中n等于循环节所
含的数字个数
··
····
abca
aabab1ab
；
0.0ab
；

，……
0.a
；

990
9999910990
·
例题精讲

1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 1 of 8

模块一、循环小数的认识
【例 1】 在小数
l.8
上加两 个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年
10月24日北京时间18 时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火
箭在西昌卫星发射中心升空， 编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】 因为 要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、
02、0 0、07，00最小，所以得到的最小循环小数为
l.8

【答案】
l.8


【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环 点：0.1998

0.1998

0.1998

0.1 998
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最 小数字1的小数，因
此一定是
0.1998
，次小的小数在小数点后第五位出现次小数 字8，因此一定是
0.1998
．其后添加
的循环点必定使得小数点后第五位出现9， 因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循
环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是< br>0.1998
，而次大数为
0.1998
，于是得到不等式：
••••
•••••••
•••
••
••
0.19980.19980. 19980.1998

【答案】
0.19980.19980.19980.1998


a
【例 2】 真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1 992，那么
a
是
7
多少?
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
123456
【解析】
=0.142857
，
=0.285714
，
=0.428571
，
=0.571428
，
=0.714285
，
=0.8 57142
．因
777777
a
此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始 每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又
7
.
a
因为19 92÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以
=0.857142
，即< br>a6
．
7
【答案】
a6


a
【巩固】 真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是
903 9
，则
a
是多少？
7
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
a
【解析】 我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
7成，只是各个数字的位置不同而已，那么
9039
就应该由若干个完整的
14 2857
和一个不
完整
142857
组成。
90 39

124578

33421
，而
21 276
，所以最后一
个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符 合要求，显然，这种情况下
6
完整的循环节为“
857142
”，因此这个分 数应该为，所以
a6
。
7
【答案】
a6


a
【巩固】 真分数化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则
a
是多少？
7
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
a
【解析】 我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数 字组成，
200963345
，
7
因此只需判断当
a
为 几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得
a3
。
1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 2 of 8
•••••••

【答案】
a3


【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题）
67
所得的小数，小数点后的第< br>2009
位数字是 ．
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
6
【解析】
0.85714 2857142
……
6
个数一循环，
20096334
……5， 是4
7
【答案】4

【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式 能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小希望杯，4年级
62
【解析】 0.6+0.06+0.006+……=
0.6
=

=2002÷3003
93
【答案】
3003


【例 4】 下面有四个算式：
①0.6+0.
1330.733;

5
②0.625=；
8
533581
③+===；
142142162
32
1
④3×4=14；
75
5
其中正确的算式是（ ）.
（A）①和② (B) ②和④ (C) ②和③ (D) ①和④
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：
① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；
....
5
② 0.625=是正确的；
8
③ 两个分数相加应该 先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过
31
﹥即可判断出其不正确；
22
3
1
242172
2
④
3
×
4
=×==
14
，所以④不正确。
755
5
7
5
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。
【答案】
B


【例 5】 在混合循环小数
2.7182 81
的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能
大，请写出新的循环小 数。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是
2.718281
。
【答案】
2.718281


【例 6】 将
1
1
化成小数等于0.5，是个有限小数；将化成小数等于0.090…，简记为
0.09
，是纯循环小
2
11
11
1
数；将化成小数等于0.1666…… ，简记为
0.16
，是混循环小数。现在将2004个分数，，
62
3
1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 3 of 8

11
，…，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
42005
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】 凡是分母的质因数仅含2和5 的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含2和5的，化
成小数后为有限小数后为纯循环小数， 所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质
因数2或5的共有多少个.这2004个 数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有
2005÷5＝401个，既含2又 含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－
1002－401＋20 0＝801个.
【答案】
801


模块二、循环小数计算
【例 7】 计算：
0.30.030.003
（结果写成分数形式）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
11189
【解析】 原式

。

330300300
89
【答案】
300

【巩固】 计算：0．3+0．
3
=_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
3119
【解析】 原式=


10330
19
【答案】
30

【巩固】 请将算式
0.10.010.001
的结果写成最简分数．
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
11110010111137
【解析】 原式

.

990
37
【答案】
300

【例 8】 计算:
2.0042.008
（结果用最简分数表示）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，一试
4806
【解析】 原式＝
2

24
999175
5606
【答案】
4

224775

425

【例 9】 将
5.4250. 63

5

0.63
的积写成小数形式是____.

999

【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
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
5999425

0.63

34146
3.4180< br>

425

【解析】
5.4250.63

5

0.63
9999990

999
【答案】
3.4180


【例 10】 计算：
0.010.120.230.340.780.89

【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 方法一：
0.010.120.230.340.780.89

1121232343787898


9
216

=
2.4

90
方法二：
0.010.120.230.340.780.89


=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+
0.010.020.030.040.080.09

=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)

1

2.127
2.10.32.4

90
【答案】
2.4


【巩固】 计算 （1）
0.2910.1920.3750.526
（2）
0.3300.186

【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
29119213755265291375521191666330
【解析】 （1）原式
1

999990999990
330186 13301855
（2）原式


99999099999081
5
【答案】（1）
1
（2）
81

【例 11】 ⑴
0.540.36

•••
19
⑵
1.21.24

27
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
54536494899
【解析】 ⑴ 法一：原式

．

9
法二：将算式变为竖式：
0.544444
0.363636
0.908080

··9089899
可判断出结果应该是
0.908
，化为分数即是．

990990
224
⑵ 原式
11


99927999279
899
20
【答案】⑴ ⑵
9
990

【巩固】 ⑴计算：
0.160.1428570.1250.1

19
⑵
1.21.24
________．
27
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，1试

1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 5 of 8

【解析】 ⑴ 原式

1611275
；

10019504
224
⑵ 原式
11
．

99927999279
275
20
⑵
9
504

····
11

【巩固】 ⑴

0.150.218

0.3
； ⑵
2.2340.9811
(结果表示成循环小数)
111

【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
12345679

1512182

311
371111
【解析】 ⑴原式



0.012345679



909909111
993999

2342232982 329824222
⑵
2.2342
，
0.98
，所以
2.2340.982211
，
999090
2212
2.2 340.98111110.090.020.113

901190
【答案】⑴
0.012345679
⑵
0.113


【例 12】 。
0.30.030.0032009
（ ）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】中环杯，五年级，决赛
.
1
【解析】
0.30.030.0030.3
，所以 括号中填
200936027

3
【答案】
6027


2009

11

2009

【例 13】 计算

(结果表示为循环小数)


999

【考点】循环小数计算 【难度】4星 【题型】计算
11
【解析】 由于
0.00001
，
0.00001
，
999009999 0
11
所以
0.000010.000010.91
，
9 990099990
而
9009917139901919901
， 2009

1111

2009
0.912009所以，




999901

【答案】⑴


0.911120090.0120090.09

【答案】
0.09


【例 14】 某学生将
1.23< br>乘以一个数
a
时，把
1.23
误看成1.23，使乘积比正确结果减少 0.3.则正确结果该是
多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
••
33
【解析】 由题意得：
1.23a1.23a 0.3
，即：
0.003a0.3
，所以有：
a
．解得
a90
，
90010
••
111
所以
1.23a1. 239090111

90
【答案】
111


【例 15】 计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 方法一：
0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+ 0.3333+0.1666=0.7359=0.736

1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 6 of 8

方法二：
0.1+0.125+0.3+0.16

1131511153
 0.7361

9899018872
【答案】
0.736


【例 16】 将循环小数
0.027
与
0.179672
相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位
小数是多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
27724856
【解析】
0.027
×
0.179672
0.004856
< br>99999999937999999999999
循环节有6位，100÷6=16……4，因 此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l位是5．这样
四舍五入后第100位为9．
【答案】9

2
5
2413
【例 17】 有8个数，如 果按从小到大的顺序排列时，第4个数是
0.51
，
0.51
，,,
0.51
,
,
是其中6个，
3
9
4725
那么按从 大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
252413
【解析】
=0.6
,
=0.5,
0.5106
,
=0.52

394725
24 1352
显然有
0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6
即< br><051<0.51<<<
，8个数从小到大排列第4个
472593
2413 52
是
0.51
，所以有
口<口<<0.51<0.51<<<
．( “□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数
472593
从大到小排列第4个数是
0.51
．
【答案】
0.51


2002
1
【例 18】 和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009
287
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题
2002
1
【解析】 如果将和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较 麻烦，通过观察计算我
2009
287

20021
们发现
1
，而
10.9
，则第100位上的数字和为9.
2009287
【答案】9

【例 19】 将循环小数
0.08 1
与
0.200836
相乘，小数点后第
2008
位是 。

【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
......
3216284
【解析】 ，
0.200836
，所以乘积为
0.0810.016284
，
3799999937999999999999
200863344
，所以第< br>2008
位是
2
。
【答案】
2


....
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