2013年学而思杯数学试题(五年级)答案解析
济南护理职业学院-国考常识
2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（五年级）详解
一．
1.
填空题（每题 5 分，共 20 分）
． 两个质数的和是 9，那么这两个质数的乘积是
【考点】数论，质数性质
【难度】☆
【答案】14
【分析】两质数和为奇数，必有偶质数 2，另一质数为
7，故答案为 2 7 14 .
2. 如右图，共有 个正方形．
【考点】组合，几何计数
【难度】☆
【答案】10
个. 【分析】11的正方形有 4 个， 2 2 的正方形有 5 个， 4
4 的正方形有 1 个，共 10
3. 学而思教研部一共购买了
300 本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语
书．那么，英语书共有
【考点】应用题，分数应用题
【难度】☆
【答案】80
2
1
【分析】 300 (1 ) 300 120 100 80
（本）.
5 3
4. 如右图，正方形 ABCD 边长为 40 厘米，其中
M
、
N
、
P
、
Q 为所在边的
中点；分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，
那么形成图中阴影部分的面积是
【考点】几何，圆与扇形面积
【难度】☆☆
【答案】344
【分析】阴影面积的实质是整体减空白：边长 40
厘米的正方形面积减去半径为 20 厘米的圆的面积（4
个扇形刚好拼成一个整圆），故答案为 40
2
3.14
20
2
400 (4 3.14) 344 平方厘米.
平方厘米．（π取 3.14）
本．
二．
5.
填空题（每题 6 分，共 24 分）
对一个大于 1
的自然数进行如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则先减去 1 再除以 2，
如此进行直到得数为 1，操作停止．那么，所有经过 3 次操作结果为 1 的数中，最大的数是
．
【考点】数论，奇偶性，倒推
【难度】☆☆
【答案】15
【分析】从 1 向前倒推，寻找原数的最大值；但发现若上一步是偶数，则须本数 2
；若上一步是奇数，
则须本数 2 1
；明显每次向前推出奇数可使原数更大，倒推过程为：1→3→7→15；故 15 为原
数的可能达到的最大值.
6. 定义： ( A, B,C, D)
A 4 B 3 C 2 D 1 ，那么， (2, 0,1, 3)
=_ ．
【考点】计算，定义新运算
【难度】☆
【答案】13
【分析】按定义式， (2, 0,1,3) 2 4 0 3 12
3 1 13 .
7. 一项工程，由甲队单独做 10
天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了 8 天完成；这项工程，如果
全部由乙队单独做，20
天可以完成．那么，如果全部由甲队单独做，
【考点】应用题，工程问题
【难度】☆☆
【答案】30
1
【分析】把总工作量看做单位“1”，则乙队的工作效率为每天做
，故可在甲乙合作的条件中求出甲
20
1 3 1
30.
队的工作效率为每天做 (1
8) (10 8) 18
；故答案为
20 5 30
8. 如右图，大正方体的棱长为 2
厘米，两个小正方体的棱长均为 1
厘米，那么，组合后整个立体图形的表面积为
【考点】几何，立体几何，表面积
【难度】☆☆
【答案】32
【分析】三个立方体原总表面积为1
2
6 1
2
6
2
2
6 36 平方厘米，之后放在一起时缺失了 4 个11
的表面，故答案为 36 1
2
4 32 平方厘米；
或者可用三视图法求表面积： (5 5 6) 2 32 平方厘米.
平方厘米．
天可以完成．
三．
9.
填空题（每题 7 分，共 28 分）
甲、乙、丙 3 人共有 2013
块巧克力，甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后，甲、乙、丙 3 人的巧克
力数比为
4:
2: 5
，那么，甲原有
．．
块巧克力．
【考点】应用题，比例应用题
【难度】☆☆☆
【答案】726
4
【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得，为 2013 732
块，故甲原有巧克力
4 2 5
732 3 2 726 块.
10. 在 5×5 的方格中，将其中的一些小方格染成红色，使得对于图中任意的
2×2 的方格中，均有至少 1 个小方格是红色的．那么，至少要将
个小方格染成红色．
【考点】组合，构造与论证
【难度】☆☆
【答案】4
【分析】论证：为了保证 4 个角上的互不重叠的 4 个 2 2
的方格中都至少有 1
个红色方格，可知答案必不小于 4； 构造：如
右图，4
是可能的； 综上，答案为 4.
11. 一个五位数，各位数字互不相同，并且满足：从左往右，第一位是
2 的倍数，前两位组成的两位
．．．．．．．．
数是 3 的倍数，前三位组成的三位数是
5 的倍数，前四位组成的四位数是 7 的倍数，这个五位数
是 11
的倍数．那么，这个五位数最小是
【考点】数论，整除特征，最值
【难度】☆☆☆
【答案】21076
【分析】考虑最值确定各位数字：
万位是 2
的倍数，故万位最小应为 2； 前两位组成的数
是 3 的倍数，故前两位最小应为 21；
前三位组成的数
是 5 的倍数，故前三位最小应为 210；
前四位组成的数是 7
的倍数，最小为 2100，但要求各位数字不同，故应为 2107； 这个五位数
是 11
的倍数，故此数应为 21076.
．
12.
右边的乘法竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，那么，“大自然”代表的三
．．．．．．．．
位数是 ．
【考点】数论，数字谜
【难度】☆☆☆☆
【答案】958
我 爱 大 自 然
4
大自 然 爱 我
【分析】由个位可知“我”为偶数，再分析最高位即可知“我”只能为 2；故“然”为 3 或
8；（还可分析知
五个汉字所代表的数字之和必为 3 的倍数，这个小结论可以辅助之后的分析）
若“然”= 8，
① 则分析万位知“大”只能为 9，故千位“爱”乘以 4 后向万位进
1，可知“爱”为 3 或 4；
② 若“爱”= 4，此时十位：“自 4 3
”的末位数字为 4，这表示“自 4 ”的末位数字为 1，奇偶性
矛盾！故确定“爱”只能为
3；
③ 若“爱”= 3，此时十位：“自 4 3 ”的末位数字为 3，这表示“自 4
”的末位数字为 0，“自”为 0
或 5；若“自”= 0，千位要接受进位
8，这不可能；若“自”= 5，则有答案 23958 4 95832 ；
若“然”=
3，
① 分析万位知“大”为 9 或 8；
② 若“大”= 9，则千位“爱”乘以 4
后向万位进 1，可知“爱”只能为 4；此时十位：“自 4 1 ”的末
位数字为
4，这表示“自 4 ”的末位数字为 3，奇偶性矛盾！故知只能“大”= 8；
③ 若“大”=
8，分析十位可知“爱”为奇数，再分析千位可知“爱”= 1；
④ 此时无论十位的“自”为 0
还是为 5，式子的百位和千位都是错误的（ 21803 4 80312 错误；
21853 4 85312 错误），故知“然”= 3 时无解；
综上，本数字谜只有唯一解： 23958 4 95832 ，本题答案为 958.
四． 填空题（每题 8 分，共 32 分）
1
6
2
13. 有 A、B、C、D、E、F
六个人围坐在圆桌吃饭，A 会讲英语，
B 会讲汉语、英语和法语，C
会讲汉语、英语和德语，D 会讲
汉语和德语，E 会讲汉语，F 会讲法语和德语．如果每个人都
能与他相邻的两个人交流，那么，共有 种不同的排
座位方式．（经过旋转、对称后重合的方式不算做一种）
．．．．．
【考点】组合，逻辑推理
【难度】☆☆☆
【答案】24
【分析】本题突破口在于 A，由于 A 只会说英语，英语也只有 A、B、C
三人会说，故座位顺序中必然
有紧邻的 BAC（或 CAB），此时分析 F 可知 F 必须与
B 或 C 中的一个相邻，E 必须在 D、F 的中
间；综上，得到两种圆排列方式：①BACEDF；②BACFDE；每种圆排列方式都有旋转、对称的
12 种排座方式，故答案为12 2 24 种.
5
4
3
14. A、B 两地相距 120 千米．甲、乙从 A
地，丙从 B 地同时出发，相向而行．当甲、丙相遇时，乙
行了 20 千米．甲到达 B
地后立即原路返回，当乙、丙相遇在途中 C 地时，甲也恰好到达 C
地． 那么，当丙到达 A
地时，乙共行了
【考点】行程问题，比例法解行程问题
【难度】☆☆☆
【答案】72
【分析】本题关键点在于甲丙速度之和与乙的速度之比为 120 : 20
6 :1 ；设甲、乙、丙三人到达 C 点
千米．
z y 120
y 3
，解得
（可以解出 x、y、z 的具体值，
时各走了 x、y、z
千米，则有方程组：
x z 120
z 5
(x
z) : y 6 :1
3
但其实不必要）；故丙走了 120
千米时，乙走了120 72 千米.
5
15. 如右图，三角形 ABC
是直角三角形，M 是斜边 BC
中点，MNPQ 是正方形，N 在 AB 上，P 在 AC
上．
如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米．
那么，正方形
MNPQ 的面积是
【考点】几何，面积，弦图
【难度】☆☆☆
【答案】20
【分析】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D；以 AD 为外围正方形的一边，做出以
MNPQ 为内
AC AB
含正方形的弦图，；则 MD 为△ABC 的中位线， MD
4cm ， AD 6cm ；故弦图中外
2 2
2 4
围正方形边长为 6cm， AN MD 4cm ， DN 6 4 2cm
；故所求面积为 6
2
4 20cm
2
.
2
A
D
N
P
Q
M
D
C
N
A
P
F
M
E
Q
N
A
的
P
平方厘米．
B
M
Q
C
B
16. 有一个自然数 A，它的平方有 9 个约数，老师把 9
个约数写在 9 张卡片上，发给学学三张、思思
三张．
学学说：“我手中的三个数乘积是
A
3
．”
思思说：“我手中的三个数乘积就是 A
2
，而且我知道你手中的三个数和是 625．”
那么，思思手中的三个数和是
【考点】数论，约数个数定理，幻方
【难度】☆☆☆☆☆
【答案】55
【分析】 A
2
有 9 个约数，故由约数个数定理可逆推出：A
的质因数分解形式为 p
4
或 pq （p、q 为不相
同的质数）；
若 A p
4
，那么可把 A
2
的 9
个约数写成如下的表格形式（幻方）：
．
p
7
1
p
4
p
8
p
5
p
6
p
2
p
3
p
学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、 p 、 p
7
）（1、 p
2
、 p
6
）
（1、 p
3
、 p
5
）（ p 、 p
2
、 p
5
）（ p 、 p
3
、 p
4
）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两
组所确定的数需要1 p
4
p
8
625 或1 p
5
p
7
625 ，可是这两种情况 p 均无解；故知 A 的质
因数分解形式不能为
p
4
，只能为 pq ；
若 A pq ，那么可把 A
2
的 9 个约数写成如下的表格形式
1
q
q
2
p
pq
pq
2
p
2
p
2
q
p
2
q
2
思思手中拿到的可能是（1、 p 、 pq
2
）（1、
q 、 p
2
q ）（1、 p
2
、 q
2
）（ p
、 q 、 pq ）；经分析可
知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为
（1、 p
2
q 、 pq
2
），故1 p
2
q pq
2
625 ，（可用枚举法，或因数分析）解得 A
的两个质因数 p、
q 为 3 和 13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为 3
13 39 55 .
五． 解答题（每题 8 分，共 16 分）
17. 计算：
（1）
0.27 103 0.19
（4
分）
201
（2）
20132.3
1
0.4 2013
（4 分）
10 4
3
【考点】计算、巧算
【难度】☆☆
【答案】28；4697
【分析】（1）原式 0.27 100 (0.27 3 0.19) 27
1 28 ；
7 7
（2）原式 2013 2013 4
2013 4 2013 4697 .
3 3
18.
解方程：
（1） 4(2x 1) 3(x 2) 7 （4 分）
（2）
3
【难度】☆☆
【答案】 x 1 ； x
23
【分析】（1）注意去第 2 个括号时要变号；原方程化为： 8x 4 3x
6 7 ，即 5x 5 ，解得 x 1 ；
（2）通分，原方程化为：5(2x
5) 3(4x 7) ，即10x 25 12x 21 ，即 2x 46
，解得 x 23 .
2 x 5 4 x 7
（4
分）
5
【考点】计算、解方程
六．
解答题（每题 15 分，共 30 分）
19. 如图，将
1、2、3……按规律排成一个沙漏型的数表，那么，
（1）下 5 行从左向右数的第 5
个数是多少？（4 分）
（2）上 6 行最左边的数是多少？（4 分）
（3）2013
排在哪一行的从左向右数的第多少个？（7 分）
【考点】计算、数列与数表
【难度】☆☆☆☆
【答案】37；42；上 44 行从左向右第 34 个
3 行
12 13 14
15
上
上 2 行
6 7 8
上 1 行
2 3
0 行
1
下 1 行
5 4
2 行
11
10 9
下
3 行
19 18
17 16
下
【分析】（1）下 n
行从左向右第 (n 1) 个数（即最右数）为 (n 1)
2
；故下 5
行从左向右第 6 个数为 36，
下 5 行从左向右第 5 个数为 37；
（2）上 n 行从左向右第 1 个数（即最左数）为 n(n 1) ；故上 6 行最左数为
42；
（3）上 44 行从左向右第 1 个数为 44 45 1980 ，故
2013 为上 44 行从左向右第
2013 1980 1 34 个数.
20. 思思编了一个计算机程序，在屏幕上显示所有由 0、1、2、3
组成的四位编码（数字可以重复使
用），每个四位编码都是红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种．并且，如果两个编码的每一位数字
均不相同，那么这两个编码的颜色也不相同．如果，0000 是红色的、1000
是黄色的、2000 是蓝
色的，那么：
（1）下列编码中，一定不是红色的是（
A. 0102 B. 0312 C. 2222
）（2 分）
D. 0123
（2）编码 3111 是什么颜色的？（5 分）
（3）编码 2013
是什么颜色的？（8 分）
【考点】组合，构造与论证
【难度】☆☆☆☆
【答案】C；绿色；蓝色
【分析】（1）2222 与 0000
的每一位数字均不相同，故 2222 一定不是红色的，选 C；
（2）3111 与
0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故 3111 不是红色的，不是黄色的，
也不是蓝色的，故 3111 是绿色的；
（3）0222 与
1000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故 0222 是红色的；
1222 与
0000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故 1222 是黄色的；
3222 与
0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故 3222 是绿色的；
2013 与
0222、1222、3222 的每一位数字均不相同，故 2013 是蓝色的.