机械工程师简历-串串烧

板块二 梯形模型的应用
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:
b

①
S
{
:S
3
=a
2
:b
2

②
S、: S
y
:S
2
:S
4
=a :b :ab:cibi

③
S
的对应份数为+ ・
22
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论 ，往往在
题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明 ）

【考点】梯形模型 【难度】
2
星 【题型】解答
【解析】 设
5
为份，
S?
为戸份，根据梯形蝴蝶定理，
5
3
=4 = ?,
所以? =
2
；又因为
S
2
=2 = axb
f
所以
a =]
:那么
S
}

=a= , S
4
=axb = 2
f
所以梯形面积
S = &+S?
+禺
+S4 =1 + 2 + 4 + 2 = 9 ,
或者根 据梯形蝴蝶定理，
S =
2
（a + b）2=（l + 2）2=9.
【答案】
9
【巩固】如下图，梯形
ABCD
的平行于
CD,
对角线
AC , BD交于0 ,
已知
△AOB
与
△BOC
的面积分 别为
25
平方厘
米与
35
平方厘米，那么梯形
ABCD
的面积 是 ___________________________ 平方厘米.

【考点】梯形模型 【难度】
2
星 【题型】填空
2
【解析】根据梯形蝴蝶定理，
S
AOti
:S
liOC
.=a:ab = 25:35 ,
可得
a:b = 5:7 ,
再根据梯形蝴蝶定理，
S
Q
S驱=圧
“2 =5^72=25:49 ,
所以
S
驱
=49（
平方厘米）.那么梯 形
ABCL
的面积为

25 + 35 + 35 + 49 = 144（
平方厘米）.
【答案】
144
【巩固】如图所示，在梯形
ABCD
中，
ABCD,
对角线
AC, “D
相交于点
0
。已知
AB=5
f
CD=3
f
且梯形
ABCD
的面积为
4,
求
三角形的面积。



【考点】梯形模型 【难度】
2
星 【题型】解答
【关键词】华 杯赛，决赛，
15
分，第
3
大题第，
1
题
【解析】根据题意，二
5,
CD=3,
CD:AB=3:5,
则根据蝴蝶模型：
S ca =
：：夕：“ =
9:15:25:15,
令
S
初
=25
份，
25
则梯形
ABCD
共有:
9+15+25+15=64
份。所以
1
份为
:4^64=—
,则三角形的面积为—
x25=—< br>。
16 16 16
25
【答案】—
1 1
16
【例
2
】梯形
ABCD
的对角线
4C
与
B D
交于点
0,
已知梯形上底为
2,
且三角形
AB0
的面积等于三角形
7
B0C
面积的—，求三角形
A0D
与三角形
30C
的面积之比.
3

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
2
【解析】根据梯形蝴蝶定理，
S< br>AOfi
:S
BOC
=ab:b=2'.3
f
可以求出。2:3,
再根据梯形蝴蝶定理，
BOC
= ：，= 2? ：32 = 4:9.
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千 辛万苦进
行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【答案】
4:9
【例
3]
如下图，四边形
4BCD
中，对角线
4C
和
3D
交于。点，已知
A0 =
f
并且
那么
0C
的长是多少?
三角形的面积二
3
三角形
CBD
的面积一二


【考点】梯形模型
【关键词】华杯赛
【难度】
2
星 【题型】解答
三角形勺面积
AO
命宀
AO 3
= ,所以 =— 三

【解析】根据蝴蝶定理,
角形
CBDS
勺面积
CO CO 5
又
A0 = ,
所以
C0 = -.

3

【答案】：
三角形
OBC
的面积是
9cm
,问三角形
AOD
的面积是多少?
2
【例
4]
【考点】梯形模型 【难度】
2
星 【题型】解答
2
【解析】根据梯形蝴蝶定理，
a:b = l:1.5=2:3,
S
SAOD
:S^
(}C
.=a
:Z?
2
= 2
2
: 3
2
= 4 : 9 ,
所以
^=4(cm
2
).
【答案】
4
【巩固】如图，梯形
ABCD
中，
AAOB.
COD
的面积分别为
1
・
2
和
2.7 ,
求梯形
ABCD
的面积.
【考点】梯形模型【难度】
2
星
【解析】
【题型】解答 根据梯形蝴蝶定理，
S
A0i
:S
ACO)
=a
2
:b
2
=4:9
r
所以
a：b =
2:3 ,
0
3
AOB
= ab:
C
T
= b:a = 3:2,
COB
= 1.2x —= 1.8,
S梯形
ABCD
= 1.2 +1.8 +1.8 + 2.7 = 7.5 .
【答案】
7.5
【例
5
】在梯形
AB CD
中，上底长
5
厘米，下底长
10
厘米，
= 20
平方厘米，则梯形
ABCD
的面积是 平方厘米。

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛，第
4
题，
10
分
「口右人
A AD
BC
AO DO p
CO BO
AD 5
BC 10
1
2
AO DO 1
2
2
【用牟析】因为
ADBC,
故 ---- = ---- = ----- 又 ---- =一=—,故 -------- = ---- =—
CO BO
在
4
BOC
与
4
DOC
中，因其高相等，且
BO:DO=2:1,
故
S^
BOC
: S=2：]
而 S
JOC
=20
。九
2,
故
S
MX)C
= 10cm
o

同理，在
ACOD
与
AAOD
中， 因
CO:AO=2:
,且在相应边上的高相等，故
3
乂现＞:S
HOD
=2:1
即
S
MOD
=
丄
xl0 = 5
期 < br>在
AOB^jBOC
中，因
AO:CO
二
1:2,
且 其在相应边上的高相等，故
S山：
S
册疋=
1:2
。 即
S'® = 10cm
综上，
S
梯形
=
Sg* +
S
MOC
+

SNg) + Sg)
= 10+20+10+5=45
cm ~
【答案】
45
2

< br>【例
6］
如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形
ADG
的面积是
11,
三角形
BCH
的


【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
【解析】如图，连结EF,
显然四边形
ADEF
和四边形
BCEF
都是梯形，于是我 们可以得到三角形
EFG
的面 积等于三角形
ADG
的面积；三角形的面积等 于三角形
EFH的面积,
所以四边形
EGFH的面枳
是
11 + 23 = 34 .
【答案】
34
【巩固】如图，长方形中，若三角形
1
的面积与三角形
3
的面积比为
4
比
5,
四边形2
的面积为
36,
则三角 形
1
的面积
为 ___________________ ・
【考点】梯形模型【难度】
3
星
【关键词】人大附中，入学测试题
【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形< br>2
分成左右两边，其面积正好等于三角形
1
和三角
4 5
形
3,
所以
1
的面积就是
36x—!- = 16, 3
的面积就是
36x^—= 20.
4+5 4+5
【答案】
20
【例
7
】 如图，正方形
ABCD
面积为
3
平方厘米，
M
是
AD
边上的中点.求图中阴影部分 的面积.

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
【解析】因为
M
是
AD
边上的中点，所以
AM:BC = 1:2,
根据梯形蝴蝶定理可以知道
S
厶
AMG : • S3CG : SZCG

=
I
2
: (1 x2): (1 x2): 2
2
= 1:2:2:4 ,
设
S& = 1
份，则
S
厶
MCD
=1 + 2 = 3
份,
所以正方形的面积为
1 + 2 + 2 + 4 + 3 = 12
份，
S
阴彫
=2 + 2 = 4
份，所以
S
阴形：形=
1:3,
所以
S
阴影
=1
平
方厘米.
【答案】
1
【巩固】在下图的正方形
ABCD
中，
E是边的中点，
AE
与相交于尸点，三角形
3£
尸的面积为
1平 方厘米，那么正方形
ABCD
面积是 _______________________________ 平方厘米.

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】填空
【解析】连接
DE,
根据题意可知
BE:AD = V.2
f
根据蝴蝶定理得
S
梯形
=（1 + 2
尸
=9（
平方厘米），
5
A£W
=3（+
方厘
米），那么
S
朋
m =12（
平方厘米）.
【答案】
12
【例
8
】 如图面积为
12
平方厘 米的正方形
ABCD
中，
E,F
是
DC
边上的三等分点，求 阴影部分的面积.

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
【解析】因为是
DC
边上的三等分点，所以
EF:AB = 1:3,
设
S®、
= 1
份，根据梯形蝴蝶定理可以知道
S
△他份，份，
S
△阿二
S
△心
=（1 + 3）
份，因此正方形的面积为
4 + 4 + （1 + 3
尸=
24 份，吊彫
=6,
所以
S
阴影：
S
疋方
形
=6:24 = 1:4 ,
所以
S
阴影
=3
平方厘米.
【答案】
3
【例
9］
如图，在长方形
ABCD
中，
AB = 6
厘米，血=
2
厘米，
AE=EF = FB
f
求阴影部分的面积.
【解析】方法一：如图，连接
DE, DE
将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形
AED
的面积为
2x6+3
宁
2= 2
平
方厘米.
由于
EF:DC = 1:3,
根据梯形蝴蝶定理，
S
DE
°
：
S
Eg
= 3:1 ,
所以
=2

3
平方厘米，所以
S
DEO
=^
X
2

=

］
.5
平方厘米，阴影部分的面积为
2 + 1.5 = 3.5
平方厘米.
方法二：如图，连接
DE,
FC ,
由于
EF:DC = 1:3
，设
S
△笛•=】份，根据梯形蝴蝶 定理，
S^
OED
= 3
份,
S
梯形
时
（1 + 3
尸
=16
份，
S
AADE
= S^
BCF
= 1 + 3 = 44^,
因此
S
长方形磁
+16 + 4 = 24
份，
S
阴彩
=4 + 3 = 7
份，而
S
长方形朋仞
=6x2 = 12
平方厘米，所以
S
阴影
=3.5
平方厘米
【答案】
3.5
【例
10］
已知
ABCD
是平行四边形，
BC:CE = 3;2,
三角形
ODE
的面积为
6
平方厘米.则阴影部分的面积 是 平方厘
米.

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，六年级
【解析】连接
AC .
由于
ABCD
是平行四边形，
BC :CE = 3:2 ,
所以
CE:AD = 2:3,

22
根据梯形蝴蝶定理，
=2:2x3:2x3：3=4:6:6:9 ,
所以
S
A0C
=6（
平方厘 米），
S”o°=9（
平方厘米），又S^^^
ACD
=6

AOD
+

9

=

15（平方厘米），阴影部分面积为
6+15 = 21（
平方 厘米）.
【答案】
21
【巩固】右图中
ABCD
是梯形，初是平行四边形， 已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部 分的面积是
__________________ 平方厘米.

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】填空
【解析】连接
AE.
由于
AD
与
BC
是平行的，所以
AECD
也是梯形，那么
5AC>CZ）
=
x
.
根据蝴蝶足理'
Sap
x SgAE =
S'gE
S'
OAD
=4x9 = 36 ,
故
S込‘
=36 ,
所以
S
SOCD
= 6 （
平方厘米）.
【答案】
6
【巩固】右图中
ABCD
是梯形，遊
D
是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

【考点】梯形模型
【关键词】三帆中学
【解析】连接
AE.
【难度】
3
星 【题型】填空
由于
4D
与
BC< br>是平行的，所以
AECD
也是梯形，那么.
根据蝴蝶定理，理°
X
SgAE =
S'
QQE
X

S心°
=2x8 = 16,
故
S
A2
= 16 ,
所以
另解：在平行四边形中，
Sw）
人呦
=*x（16 + 8）= 12（
平方厘米），
= 4
（平方厘米）.

所以
S^OE = S^DE ~ S^OD
=12-8 = 4
（平方厘米）’
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为
8x2
一
4 = 4（
平方厘米）.
【答案】
4

【巩固】
E
是平行四边形
ABCD
的
CD
边上的一点，
BD.
AE< br>相交于点
F,
已知三角形
4FD
的面积是
6,
三 角 形
DEF
的
面积是
4,
求四边形
BCEF
的面积为 多少？

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
【关键词】希望杯，
5
年级，复赛，第
15
题
【解析】如 图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为
6,
而顶上的三角形为
6x6^4=9,
“？ ”处的三角形面 积为
9+6-6-4
二
5
从而所求四边形面枳为
5=6=11.
【答案】
11
【例
11
】如图所示，
BD、
CF
将长方形
ABCD
分成
4
块，
ADEF
的面积是< br>5
平方厘米，
ACED
的面积是
10
平方厘米.
问：四边形佔
EF
的面积是多少平方厘米？
【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
【解析】连接
B F,
根据梯形模型，可知三角形
BEF
的面积和三角形
DEC
的面积 相等，即其面积也是
10
平 方厘米，
再根据蝴蝶定理，三角形
BCE
的面积为
10x10-5=20（
平方厘米），所以长方形的面积为
（20 + 10）x2 =
60（
平方厘米）.四边形的面积为
60-5-10-20 = 25（
平方厘米）.
【答案】
25
【巩固】如图所示，
BD、< br>CF
将长方形
ABCD
分成
4
块，的面积是
4
平方厘米，
ACED
的面积是
6
平方厘米.问：四边形
遊
F
的面积是多少平方厘米？

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】解答
【解析】（法
1 ）
连接
3F,
根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形
3EF
的面积和三角形
DEC
的面积 相等，即
其面积也是
6
平方厘米，再 根据蝴蝶定理，三角形
BCE
的面积为
6x6
一
4 = 9（
平方厘米）， 所以长方形的
面积为
（9 + 6）x2 = 30（
平方厘米）.
四边形ABEF的面积为
30-4-6-9 = 11（
平方厘米）.
2
64—= 9（
平方厘米）•则三角形面枳为
15
平方厘米，长方形面积为
15x2 = 30（
平方厘米）.四边
3
形初£尸的面积为
30-4
一
6-9 = 11（
平方厘米）. < br>【答案】
11
（法
2）
由题意可知，—-,根据相似三角形性质，所以 三角形
BCE
的面积为：
EC 6 3
EB EC
3

【巩固】如图，长方形
ABCD
被
CE
、
DF分成四块，已知其中
3
块的面积分别为
2
、
5
、
8
平方厘米，那么 余下的四
边形
OFBC
的面积为 ____________________ 平方厘米.

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级组，初赛，
4
题
【解析】连接
DE
、
CF .
四边形
EDC
为梯形，所以
S
SAFQD •
、
°=S
ED FOC
,
又根据蝴蝶定理，
EQD
S&
FOC
= &M0F •
S
，所以
^EOD
* ^AFOC =
* ^ACOD
=2x8=16,
所以
S^
= 4
（平方厘米）,
FOC _ fEOF
AFOC —
fEOF
S
WQ
=4

+

8

=

12（平方厘米）.那么长方形
ABCD
的面积为
12x2 = 24
平方厘米，四边形
OFBC
的面积 为
24-
5-2-8 = 9（
平方厘米）.
【答案】
9
【巩固】正方形
ABCD
的边长为
6, E
是
BC
的中点（如图）。四边形
OECQ
的面积为 _______________

【考点】梯形模型 【难度】
3
星 【题型】填空
【关键词】走美杯，
4
年级，决赛，第
4
题，
8
分
【解析】连结
DE,
护二評—評，即
5^=|^
D
= |xlx3x6=6,
以
V
S皿
E
= — x3x6 = 9 ,
所
八
^OECD
= 6 + 9 = 15
。
D
C
【答案】
15
【巩固】如图，长方形
ABCD
中，是直角三角形且面积为
54, 0D
的长是
16, 0B
的长是
9.
那么四边 形
OECD
的面积是 .


【考点】梯形模型【难度】
3
星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，初赛