关于理想的名言名句-甘国亮

2019年小学数学竞赛辅导材料－－高斯取整

1．（2018• 迎春杯）[x]表示不超过x的最大整数，例如，[4]＝4，[3.4]＝3．已
知对于数a，有[5 a]+5a＝2018.16，那么[[25a]+25a]＝ ．
2．（2017•华罗庚 金杯）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则
[]+[]+[]+[]+[] +[]等
于 ．
3．（2008•陈省身杯）设[x]表示不超过x的最大整数，例 如[3]＝3，[π]＝3，[﹣
1.5]＝﹣2，则方程[x]+2x＝4的解为 ． 4．以[x]表示不大于x的最大整数，那么，满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有 组．
5．已知S＝[]+[]+[]+…+[]，其中[x]表示不超过
x的最大整数，则S的值为 ．
6．[x]表示不超过x的最大整数，则[]，[]，[]，…，[]中共
有 个不同的整数．（提示：（n+1）
2
﹣n
2
＝2n+1）
7．计算：[







8．求[





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]+[]+…+[]+[]．
]+[]+…+[]+[]的和．

9．已知S＝[]+[]+…+[]，求：S＝？






10．求满足方程[x]+[2x]＝19的x的值．






11．解方程：
（1）x+2{x}＝3[x]；




12．求方程2[x]﹣9{x}＝0的解的个数．








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2）3x+5[x]﹣49＝0． （

13．如果[x]＝3，[y]＝0，[z]＝1求：
（1）[x﹣y]的所有可能值；




（2）[x+y﹣z]的所有可能值．





14．解方程[]+[]+[]+[






15．（1）在[
数？




（2）在[]，[]，[]，…，[]中共出现了多少个互不相同的数？
]，[]，[]，…，[]中共出了多少个互不相同的
]＝110，其中x是整数．
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温州育英小学分校数学竞赛辅导材料－－高斯取整
参考答案与试题解析
1．【分析 】设5a的小数部分为x，则5a＝[5a]+x，然后根据[5a]+5a＝2018.16，可以求出x＝0.16，和[5a]＝1009；再进一步解答即可．
【解答】设5a的小数部分为x，则5a＝[5a]+x，
因为[5a]+5a＝2018.16
即，[5a]+[5a]+x＝2018.16
即，2×[5a]+x＝2018.16
所以，2×[5a]＝2018，x＝0.16
即，[5a]＝1009，出x＝0.16
则，25a＝5×5a＝5×（1009+0.16）＝5×1009+0.8
所以[[25a]+25a]
＝[5×1009+5×1009+0.8]
＝10×1009
＝10090
故答案为：10090．
2．【分析】 本题考察高斯取整．观察式子可知首位两项，[]内的数相加等于2017，又因为当
x不是整数时，[ x]+[2017﹣x]＝2016，故两两相加，可以得到答案．
【解答】因为2017和11是质数，所以[]内的数据都不是整数，
则[
同理可得 [
[]+[
]+[
]+[
]＝2017﹣1＝2016，
]＝2016，
]＝2016，
所以原式＝2016+2016+2016＝6048．
故填：6048
3．【分 析】设n≤x＜n+1（n是整数），则[x]＝n，根据方程[x]+2x＝4，求出n，即可得出结论．
【解答】设n≤x＜n+1（n是整数），则[x]＝n，
因为[x]+2x＝4，
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所以2x＝4﹣[x]，
所以2n≤4﹣n≤2n+1，
所以，
所以2x＝4﹣1，
所以x＝1.5，
故答案为1.5．
4．【分析】显然0≤y≤4（否则等式左边＞36），当y＝0时，有 x＝19．当y＝1时，有x ＝15；
当y＝2时，x＝10；当y＝3时，x不存在；当y＝4时，x＝1．
【解答】x 最小是1，此时[1.9x]＝[1.9]＝1，此时[8.8y]≤36﹣1＝35，由于8.8×4＝35. 2，8.8×5
＝44，所以y≤4，
所以满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有4组．
y＝0，x＝19，
y＝1，x＝15；
y＝2，x＝10；
y＝3，x无解；
y＝4，x＝1．
答：满足[1.9x]+[8.8y]＝36的自然数x，y的值共有，4组．
故答案为：4．
5．【分析】本题考察高斯取整，解题关键在于求出每个分数计算结果的整数部分．
【解答】对每个分数进行变形，
S＝[
＝[2﹣
]+[
]+[4﹣ ]+[6﹣
]+[]+…+[
]+…+[200﹣]
]
＝1+3+5+…+199
＝（1+199）×100÷2
＝10000
6．【分析】从[]到[]表示的不超过x最大整数都是0，从[
]到[
]到[]表示的]不超过x最大整数都是1，从[]表示的不超过x最大整数都是2，从[
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到[
[
]表示的不超过x最大整数都是3，…， []表示的不超过x最大整数是126，…，
]表示的不超过x最大整数是2011，此数列是从0到2 011递增排列，所以共有2011+1
＝2012个不同的整数．
【解答】根据题干分析可 得：此数列是从0到2011递增排列，所以共有2011+1＝2012个不
同的整数．
答：共有2012个不同的整数．
故答案为：2012．
7．【分析】本题考察高斯取整．[
到[
【解答】[
＝22×40÷2
＝440
8．【分析】本题考察高斯取整．
【解答】因为
所以[]+[< br>+＝42，
]＝41，[]+[
+＝42，…
]＝41，…
， < br>]+[
]+[
]+[]＝23﹣1＝22，同理，其他也都可以得
]＝22，然 后求和，即可得解．
]+…+[]+[]
接下来讨论几个特殊的数，
所以原式＝41×（98﹣2）÷2+42＝2010
9．【分析】根据高斯求和公式和x＝[x]+{x}找到规律解答即可．
【解答】因为，
数，
即
所以，{
0＜{
所以，0＜{+
}+{
}＜1，0＜{
}+{
＝[]+[]+{}+{}
+＝199，199是整数，[]+[]的和也是整
}的和也是整数，
}＜1
}＜2
0和2之间，只有整数1，
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所以，{
所以，[
同理，[
198，
所以S＝[
}+{
]+[
]+[
}＝1
]＝199﹣1＝198
]＝198，…，[]+[]＝198，共有48个整数
] +[]+…+[]＝198×48＝9504．
10．【分析】根据x＝[x]+{x}求2x的整数部分和小数部分．
【解答】因为，x＝[x]+{x}
所以，2x＝2[x]+2{x}
[2x]＝2[x]+[2{x}]
因为0≤{x}＜1，所以，0≤2{x}＜2，
所以分段讨论{x}，
当0≤{x}＜时，
所以，0≤2{x}＜1，
所以，[2x]＝2[x]
则，原式变为：
[x]+2[x]＝19
3[x]＝19
所以，[x]＝，不合题意舍去；
当≤{x}＜1时，
所以，1≤2{x}＜2，
所以，[2x]＝2[x]+1
则，原式变为：
[x]+2[x]+1＝19
3[x]+1＝19
所以，[x]＝6，
所以，≤x＜7
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所以，满足方程[x]+[2x]＝19的x的取值范围是≤x＜7． 11．【分析】本题考察高斯取整．若[x]表示不超过x的最大整数，若x为实数，记{x}＝x﹣
[x]（表示不超过x的最大整数），由此探讨解出方程的解即可．
【解答】（1）∵{x}＝x﹣[x]，x+2{x}＝3[x]，
∴x+2（x﹣[x]）＝3[x]，
∴5[x]＝3x，
∴[x]＝，
∴x能被5整除，
显然此处x＝0或x＝，否则x和[x]不相等．
（2）令[x ]＝n，代入原方程得3x+5n﹣49＝0，即x＝
又∵[x]≤x＜[x]+1，
∴n≤＜n+1．
＜n≤，
．
整理得3n≤49﹣5n＜n+1，
∴n＝6．
代入原方程得3x+5×6﹣49＝0，解得x＝
经检验，x＝是原方程的解．
．
12．【分析】2[x]为偶数，所以9{x}为偶数，由于0≤{x}＜1，所以0≤9{x}＜9， 所以9{x}可
以取的值为0，2，4，6，8．
【解答】
由于0≤{x}＜1，所以0≤9{x}＜9，
因此9{x}可以取的值为0，2，4，6，8．
将这五个值代入
2[x]＝0 9{x}＝0 解得x＝0
2[x]＝2 9{x}＝2 解得x＝1+
2[x]＝4 9{x}＝4 解得x＝2+
2[x]＝6 9{x}＝6 解得x＝3+
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2[x]＝8 9{x}＝8 解得x＝4+
答：原方程有5个解，分别为x＝0，1+，2+，3+，4+．
13．【分析】[]是取整 符号，是指舍去小数点后面的数，不管小数点后面的数有多大，都要
舍去，据此可知[x]＝3，那么x 取值在3≤x＜4，[y]＝0，那么y取值在0≤y＜1，[z]＝1，那
么z取值在1≤z＜2，x ﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3；x+y﹣z值
范围在1≤x+y ﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．
【解答】[x]＝3，x取值在3≤x＜4
[y]＝0，y取值在0≤y＜1
[z]＝1，z取值在1≤z＜2
x﹣y值范围在2≤x﹣y＜4，那么[x﹣y]的所有可能值为2，3
x+y﹣z值范围在1≤x+y﹣z＜4，[x+y﹣z]的所有可能值为1，2，3．
14．【分析】本题考察高斯取整．[x]表示不超过x 的最大整数则[x]包含在[x，x+1]，进一步
利用这个性质分析解决问题．
【解答】[x]表示不超过x 的最大整数，则[x]∈[x，x+1]．
则有：x+﹣1+﹣1+﹣1≤[]+[]+[]+[]≤x++1++1+
+3，
+1，
原等式化为不等式：x+++﹣3≤110≤x+++
解得x可以为[60. 57，63.96]所以x只可能在：61，62，63之中，
代入后可以得出：x＝63．
15．【分析】（1）找出分界点，找分子两数之差是否大于2008的1.5倍，超过1.5倍就会隔
一个整数出现，比如分界点为1506，那么分子在1506之前，每个整数都出现，1506之后，
隔一个才出现一次．
（2）找出分界点，分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个 不同的整数，这之后
会取整都是0．
【解答】（1）找分子两数之差是否大于2008的1. 5倍，超过1.5倍就会隔一个整数出现，比
如分界点为1506，那么分子在1506之前，每个整数 都出现，1506之后，隔一个才出现一
次．因此共出现1506+1506÷2＝2259个不同的整 数．
（2）分母为1000时，分子为1009，这之前出现1000个不同的整数，这之后会取整都 是0，
因此共有1001个不同的整数．
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