成都东软信息技术职业学院-中秋慰问

新课标小学数学奥林匹克辅导及练习容斥原理
（二）(含答案)

【例题分析】

例1.
有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至 少有一次达到优秀.第一次达
到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15 人，
三次都达到优秀的只有1人.只有两次达到优秀的有多少人？

分析与解 ：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的.要求
只有两次达到优秀的人数，就是求重 叠两层的部分（图中阴影部分）.
一次
10人
1人
15人
三次13人
二次
25
人

（人）
101315251211

答：只有两次达到优秀的有11人.

例2.
在一个炎热的夏日，几个小朋友 去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中
有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽 水的有3人，

1 8

只要冰棍和雪碧的没有，只要汽 水和雪碧的有1人；三样都要的有1人.问：
共有几个小朋友去了冷饮店？
分析与解：根据题意画图.
冰
6
0
雪
3
1
41
6
汽
?
人

方法一：（人）
664(31)(01)(11)110

方法二：（人）
664311210

答：共有10个小朋友去了冷饮店.

例3.
有28人参加田径运动会，每人 至少参加两项比赛.已知有8人没参加跑的项
目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17 人.问：只参加跑
和投掷两项的有多少人？

分析与解：“每人至少参加两项 比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项
比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示.

2 8

跑
0
？
投
0
8
0
跳

（人）
281783

答：只参加跑和投掷两项的有3人.

例4.
某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人.老师告诉同学既参加数学小组
又参加语文小组的有 3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文
的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既 参加英语又参加数学小组
的人数.
分析与解：根据已知条件画出图.

3 8

数
30
3
语
质
1
10
质
20
英
49
人

三圆 盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参
加语文又参加英语的有y人，可以列出 这样的方程：
302010xy3149

整理后得：
xy9


由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7.
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人.

例5.
某班同学参加升学 考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语2
0人，数学、英语两科满分者8人，数学、 语文两科满分者7人，语文、英语
两科满分者9人，三科都没得满分者3人.问这个班最多多少人？最少 多少人
？
分析与解：根据题意画图.

4 8

语
数
20
8
英
20
7< br>9
20
3

设三科都得满分者为x
全班人数
202020789x3

整理后：全班人数＝39＋x

39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就 最多，当x取最小值时，
全班人数就最少.x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人< br>数一定不超过两科得满分的人数，即且，由此我们得到.另一方面x最小可
能是0，即没有三科都 得满分的.
当x取最大值7时，全班有人，当x取最小值0时，全班有39人.
答：这个班最多有46人，最少有39人.

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订《少年报》，
有的人订 《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
21

32
2. 小明和小龙两 家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住
房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12

5 8
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44

他们住的一套房子共有多少平方米？
3.
某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又
知百米、跳远都得优者7 人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8
人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没 达优秀，求三项都是优秀
的人数.
4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出1 0名三好学生，又知四、
五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班
最多有多少名同学，最少 有多少名同学？



6 8

【试题答案】

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人 订《少年报》，
有的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
21

32
21
969616(
人
)
32

21
或
96(1)16(
人
)
32
96
答：两种刊物都订的有16人.
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨 房和厕所为公用，在登记住
房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
他们住的一套房子共有多少平方米？

3844128458(
平方米
)
或
2 014128458(
平方米
)

答：这套房子共有58平方米.
3.
某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者2 0人，跳远得优者18人，又
知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者 8
人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀
的人数.

45144(
人
)
2018227683 9(
人
)


44395(
人
)

4. 某班四年级时，五年级时和六年 级时分别评出10名三好学生，又知四、
五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、 六年级两年
评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班
最多有多 少名同学，最少有多少名同学？
设三年连续三好生人数为x人

7 8

全班人数
103543x20

……
全班人数
38x

x最大是3，最小是0
所以这个班最多有名同学，最少有38名同学.






8 8